3 对数函数&4 指数函数、函数、对数函数增长的比较-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读>商中就学必修第一册BSD色 §3对数函数 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 高考要求学业标准·考情分祈 一考点分布· 学科素养 一学法导引· 1通过具体实例，了解对数函数的概念， 1.注意对数函数的自变量在真数 豆 能用描点法或借助计算工具画出具体 的位置，注意使对数表达式有意义的条 对数函数的图象，探索并了解对数函 件，特别注意函数的定义域，底数的取值 第二章 数的单调性和特殊点 范围及值域分别是(0，十∞)，(0,1)U 数学运算 2.知道对数函数y=log.x(a>0且a≠1) (1,+o∞)，R 直观想象 第三章 与指数函数y=a(a>0且a≠1)互为 2.重点把握y=logf(x)型与 逻辑推理 反函数 y=f(logx)型的复合函数的定义域、值 3,认识增长的概念，结合实例体会指数 域、单调性等函数基本问题的研究。 爆炸、对数增长等不同增长的函数模 3.借助图象的直观性特点，比较指 型的意义并了解其差异. 数函数、幂函数、对数函数增长的快慢. 第五鱼 考点分类考点透析·典例到析 第六章 考点1 对数函数的概念及其应用 ·核心总结 海难点突破… 第七鱼 1.对数函数的概念 1.含有对数符号“1log”的 给定正数a,且a≠1，指数函数y=a是定义在R上、值 画数就是对数函数吗？ 域为(0，十○)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯 不一定.判断一个函数是 一确定的实数x,使得y=,由函数的定义可知，x就是y的 否为对数函数，不仅要含有对 函数，称为以a为底的对数函数，记作x=logy: 数特号“10g”,还要符合对数 习惯上，将自变量写成x,函数值写成y,因此，一般将对 函数的概念如y=2logx 数函数写成y=logx(a>0且a≠1)，其中a称为底数 y=log若都不是对教函数， 2.两种特殊的对数函数 但可称其为对数型函数。 特别地，我们称以10为底的对数函数y=1gx为常用对 2.对数函数的定义中要 数函数，称以无理数e为底的对数函数y=lnx为自然对数 求a>0且a≠1的原因 函数。 根据对数式与指数式的 3.判断一个函数是不是对数函数的依据 关系知，y-logx可化为a' (1)形如y=logx.(2)底数a满足a>0且a≠1.(3)真数 x,联想指效函效中底数的范 为x,而不是x的函数（如y=log(x十1）就不是对数函数). 国可知a>0且a≠1. (4)定义域为(0，+∞) 186 第四章〉对数运算与对数函数 ⊙考题面(2024，成都七中月考)给定下列函数： ②方法梳理 ①y=log1(-x)(x<0): 1.判断一个函数是对数 ②y=2log(x-1)(x>1): 函数的方法 ③y=lnx(x>0): 、系 [对改符号端而的 系欲为1 ④y=loga+ax(x>0,a是常数)， 对效的底数是不 网时 等予1的正数 成立 其中是对数函数的有 (填序号). 对处的真数仅有 解析 自变量x 第 序号 正误 原因 2.由给定条件求对数函 数的方法 ① × 对于①，自变量是一工，故①不是对数函数 (1)设函数为y=lcgr(a 对于②，21og(x一1)的系数为2，而不是1，且真数是x一1， 第 ② × >0且a≠1). 不是x,故②不是对数函数 (2)代入条件，由待定系 ③ 对于③，nx的系数为1，自变量是x,故③是对数函数 教法求a ① 对于0底数+a-(e十）-，当a=一号时，底数小 3.对数型函数定义拔的 于0，故④不是对数函数 求法 答案③. (1)考查的基本题型有两 类：①已知函数解析式求定义 ⊙变式11(2024，唐山一中期中考试)下列函数是对数函 域，即求使解析式有意义的条 数的是( ). 件：②求复合函数的定义域， A.y=log,(2x) B.y=lg 10" 即已知内层函数的值域，求自 C.y=log.(x2+r) D.y=In x 变量的取值范围。 ⊙考题2(2024，江西师大附中月考)若对数函数f(x)的图 (2)定义城是研究函致的 第 象过点(4，-2)，则f(8) 基础，求西数的定义域，首先 要分析自变量x的约束条件， 解设f(x)=logx(a>0且a≠1)，则f(4)=1og4=-2. 常见的有：偶次被开方数非负： ∴a=4,又a>0且a≠l,a-2即f)=log4 分母不为0，零次暴、负指数幂 的底数不为0：对数的真数大 ∴.f(8)=log8=-3. 于0，底数大于0且不为1， 登累-3. ⊙变式12(2024，河南师大附中月考)已知对数函数f(x) (m2一3m十3)l0gmx,则m= 考点2 反函数 根据指数与对数的关系，将指数式y=(a>0且a≠1) 难点突破 (其中x是自变量且x∈R,y是x的函数，y∈(0，十∞)化成 1.互为反函数的两个函 对数式，即x=logy,于是对于任意一个y∈(0，十o),通过式 数的单调性有怎样的关系？ 当a>1或0<a<1时， 子x=logy都有唯一一个x∈R与之对应，这样将y看成自 函数y=logx(a>0且a≠1) 187 考点同步解读>商中效学必修第一册BSD色 变量，x是y的函数，这时我们就说x=logy(y∈(0，+o∞)是 与y=d(a>0且a≠1)的单调 性相同，因此，互为反函数的两 函数y=(x∈R)的反函数， 个函数具有相同的单调性 由于我们习惯上将x看成自变量，将y看成因变量，因 2.任意一个函数都有反 此，我们将x=logy中的x,y互换，写成y=logx(x∈(0， 品数吗？ 十o)),即对数函数y=l1ogx(x∈(0，十o)是指数函数y 由反函数的定义可知，任 (x∈R)的反函数， 意一个函数y=f(x)不一定有 反函数，只有定义域和值域满 ⊙考题3函数y=lnx十1(x>0)的反函数是( 第 足“一一对应”的函数才有反函 A.y=e+(x∈R) B.y=e-I(.x∈R) 位 数.互为反函数的两个函数的 C.y=e+(.x>1) D.y=e(r>1) 定义减、值域的关系如下： 碧 解预，lnx=y-l,∴x=e1,即y=e. 函数 反函数 章 在原函数中，由x>0知y=(lnx十1)∈R, yf(z) y-g(T) 故y=lnx十1(x>0)的反函数为y=el(x∈R). 定义城 第三章 答系B 值城 A ②方法梳理… 第 ⊙变武2求下列函数的反函数： 1求反函数的基本步骤： 0y-2子 2+1 x2-1,0≤x≤1， (2)y= (1)确定函数y=∫(x)的 x2,-1≤x<0. 第五章 值城，它是反函数的定义域 (2)由y=f代x)解出r=g(以 (3)交换xy,得y=g(x). 第六章 ⊙考题4已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x) (4)写出反函数的定义城 (5)对于分段函数的反函 第 十1，则f(x)的反函数的图象大致是( 数，可以分别求出各段的反函 数，再合成.注意分段函数的 反函数仍然是分段函数 12 2.求反函数在某点处的 值常用以下两种方法： B D (1)先求反函致，然后求值 解析当x>0时，1<f(x)<2,此时可解得反函数为g(x) (2)不求反函数，直接将 反函数与原函数的相互关系 log(x一1)(1<x<2),对照选项可知只有A正确. 化为方程求解 答率A 山规律总结” ⊙变式22函数y=1十V1一x(一1≤x≤0)的反函数的图 若函数y=f(x)图象上 象是( 有一点(a,b),则点(b,a)必在 其反函数图象上；反之，若 点(b,)在反函数图象上，则 点(a,b)必在原函数图象上. 即原函数的图象与其反函数 的图象关于直线y=x对称， 1188 第四章)对极运算与对极函极 考点3 对数函数y=logx与y=log4x的图象和性质 ,核心总结· 女难点突破， 函数 y=logx y=logx 1.y=2与y=logx的 y 图象关于直线y=x对称。 y=log y=log 图象 2.y=(侵)与y=1og (1.0) 01,0) 的图象关于直线y=x对称 第 定义域：(0，+) ②方法梳理 值域：R 1.对数函数y=logx的 主要 当x=1时，y=0,即图象恒过定点(1,0) 图象的作法 第 性质 当x>1时，y>0:当0<x<1当x>1时，y<0:当0<x<1 方法一（描点法）先列 时，y0 时，y>0 出x,y的对应值表，如下表 第 在(0，十∞)上是增函数 在(0，十∞)上是减函数 1 4 ⊙考题5作出函数y=|log(.x十1)|十2的图象，并说明其 ylogr -2-1 0 单调区间， 2 4 8 解析第一步：作出y=l0g2x的图象（如图1）. y=log: 1 2 3 第二步：将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度， 再用描点法画出图象 得y=log(xr十1)的图象（如图2）. (如图)， 9第 第三步：将y=log(x十1)的图象在x轴下方的部分以x轴为 对称轴翻折到x轴的上方，得y=|log(x十1)川的图象（如图3）. log.r y log(r-1) 2 1234x O1234x 方法二画出函数x 1ogy的图象，再变换为y= 图1 阁2 logr的图象. 由于指效西数y=a和 对数函数x=l0gy所表示的 3y=log,x+1川 y=log(.x+1)1+2 x和y这两个变量间的关系 0124立 1o123元 是一样的，因而函数x=1ogy 和y=2的图象是一样的（如 图3 图4 图1). 第四步：将y=|log2(x十1)川的图象沿y轴向上平移2个单 通常，用x表示自变量 位长度，得到y=log2(x十1)十2的图象（如图4） 把x轴，y轴的字母表示互 由图4可知，函数y=|log2(x十1)|十2的单调递减区间为 换，就得到y=ogx的图象 (一1,0)，单调递增区间为[0，十∞). (如图2). 189 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD② ©变式31①(2024，南昌二中期末考试)若0<b<1<,则函 /=0y =2 2 数y=log(x十a)的图象不经过( ). A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⊙考题6(2024，漳州一中单元测试)关于函数f(x)= O log 图1 图 log4(1一2x)的单调性的叙述正确的是( y=log Af(x)在(2，十上是增函数 Bf(x)在（受+∞）上是减函数 第 ☒3 Cf(x)在(-∞，)上是增函数 习惯上，x轴在水平位 置，y轴在竖直位置，把图翻 第 D.x)在(-0，号)上是减函数 转，使x轴在水平位置，得到 y=1ogx的图象（如图3）. 第三章 爵玩由1-2x>0,得x<2,所以f(x)=log41-2x)的定 2.与对数函数y=l0gx 和y-log,x单调性有关问题 义线为(-0，》由于底数)∈(0,1)，所以函数f(x)= 的求解方法 第 (1)充分利用y=1ogx 1og1(1一2x)的单调性与y=1一2x的单调性相反.因为y=1一2x 在(0，十∞)上是增函数，y= log4x在(0，十∞)上是减西 第五鱼 在(-©，）上是减通数，所以fx)在(-∞，)上是增函数。 数的特征」 答案C (2)借助复合函数单调性 第六章 ⊙变式32(2020，全国Ⅱ卷)设函数f(x)=1n|2x十1一 的性质。 ln2.x-1,则f(x)( (3)利用y=logx和y= logx的图象 第七鱼 A是偶函数，且在（分，十∞单调递增 3.与函数y=log2x的图 象相关问题的求解方法 B.是奇函数，且在 2,)单调递减 (1)充分利用y=1ogx 的图象 C.是偶函数，且在 -o∞，- 单调递增 (2)借助图象的平移、对 称、翻折变换求解 D.是奇函数，且在（一∞， e 单调递减 考点4 对数函数y=logx的图象及其应用 ·核心总结 ②方法梳理… 1.对数函数y=logx的图象 快速画出对数函数y=logx (a>0且a≠1)草图的方法 底数 a>1 0a<1 根据对数函数的性质可 y x=] 知，对数函数的图象经过，点 y=log.x 图象 (L,0 (日-小1.0.aD且图 10) 象都在第一、第四象限内，据 y-logr 此可以快速地画出对数函数 y=logx的草图. 190 第四章〉对数运算与对数函投 2.对数函数y=logx图象的特征点 ②方法梳理… 1.根据函数解析式判断 y=logx(a>0且a≠1)图象的特征点为（信，-1） 函数的图象，应首先考虑函数 (1,0),(a,1),利用其特征点可以快速作出对数函数的简图. 对应的基本初等函数是哪一 如y=l10g4x图象的特征点为2，-1)，1.0)，(21 种：然后找出函数图象的特殊 点，判斯函数的基本性质：定 ⊙考题7(2024，大连三中测试)函数y=1og(x十1)一2 义域、单调性以及奇偶性等： (a>0且a≠1)的图象恒过点 最后综合上述几个方面选出 第 解析依题意可知，当x=0时，y=10g(0十1)一2=0-2=一2， 图象.此类题目常用排除法， 故图象恒过定，点(0，一2). 即根据函数性质逐一排除， 第 答案(0，一2). 2.对数函数图象过定，点 ⊙变式4(2024，武汉十一中调考)函数f(x)=4十1og(x一1) 问题的求解方法：求函数y= 第 (a>0且a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是 m+log.f(x)(a>0且a≠1) 的图象所过的定点时，只需令 ⊙考题8已知a>0且a≠1，则函数y=a与y=log(一x) f(x)=1,求出x,即得所过定 的图象只能是( 点为(x,m). 3.根据对数函数图象判 断底致大小的方法：作直线 y=1与所给图象相交，交，点 的横坐标即为各个底数，依据 解配首先指数函数y=的图象只可能在x轴上方，函数 在第一象限内，自左向右，图 y=log(一x)的图象只可能在y轴左方，从而排除A,C:再看单 象对应的对数函数的底数逐 调性，y=与y=og(一x)的单调性正好相反，排除D.只有B中 浙变大，可比较底数的大小 的图象符合。 4.对数型复合函数图象 答案B 的作法 ⊙变式42(2024，河南省实验中学 (1)一般地，函数y=f(x 期中考试)若函数f(x)=1og(x十b)的图 士a)士b(a,b为正数)的图象 象如图所示，其中a,b为常数，则函数g 可由函数y=f(x)的图象变 (x)=a十b的大致图象是( 换得到 将函数y=f(,x)的图象 先向左或向右平移：个单位 长度，可得到函数y=∫(x士 a)的图象，再向上或向下平移 b个单位长度，可得到函数 ©考题9(2024，山东省实验中学检测)如图所示的曲线是 y=f(x士a)士b的图象（记忆 对数函数y=logx,y=logx,y=logx,y=log.x的图象，则a, 口诀：左加右减，上加下减). 191 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑BSD色 b,c,d与1的大小关系为 (2)会有绝对值的函数的 y=log 图象变换是一种对称变换。一 y=log. 般地，函数y=f(|x一a)的图 象是关于直线x=a对称的轴 -y=log.x 对称图形：将函数y=f(x)的 y=log 图象在x轴下方的部分以x轴 解析由图可知函数y=logx,y=logx的底数a>1,b>1, 为对称轴翻折到x轴上方，可 函数y=logx,y=logx的底数0<c<1,0<d1. 得到函数y=f(x)川的图象 过点(0,1)作平行于x轴的直线1（图略），则直线【与四条曲 量 线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然b>a>l>d>c. 第 答案b>a>1>d>c. 冷视野拓展， ⊙变式43(2024，荆州中学调考)对数函数 底数a对对数函数图象的影响 C 1.底数a与1的大小关 第三意 y=logx的图象如图所示，已知a的取值可为 系决定了对数函数图象的“升 ,号号0则与C,C,GC的图象相对应的 降”：当a>1时，对数函数的 图象“上升”：当0<a<1时， a的值依次是( 对数函数的图象“下降”， 第五鱼 A8含号b 青 2.底数的大小决定了对 数西效图象相对位置的高低： c D. 不论是a>1还是0<a<1,在 第六章 第一象限内，自左向右，图象 @考题0若不等式r2-logx<0在(0,2)内恒成立，则a 对应的对数函数的底数逐渐 第 的取值范围是 变大 解标已知不等式可化为x2<logx, y↑y=log 3.函数y=logx与y= logx(a>0且a≠1)的图象 所以不等式2<lgx在(0，)内恒成立 y=log 关于x轴对称。 可转化为：当x(0,)时，函数y=的 4.设y1=log.x,为 log.x,其中a>1,b>1(或0< 图象在函数y=logx的图象的下方（如图），可得a∈(0,1). a<1,0<b<1).当x>1时， x=2时y==只要x-2时y=lg> 11 “底大图低”，即若a>b,则 为<：当0<x<1时，“底大 <,即a≥故a的取值范围是[6l月 图高”，即若a>b,则为>为 (如图). 多6小 y=log r ⊙变式44新定义：区间[1，x2](<x2)的长度等于x2 y=log c x.函数y=logx(a>1)的定义域为[m,](n<n),值域为[0， 3=0g1t y=logir 1,若区间[m,n]的长度的最小值为，则实数a的值为 192 第四章>对数运算与对数函超儿 考点5 对数型复合函数的定义域和值域 ·核心总结 女难点突破… 1.与对数函数有关的函数的定义域 1.若对数函数的底数是 fx)>0, 含字母的代数式（或单独一个 (1)形如y=logf(x)的函数，定义域由g(x)>0,来确定 字母)，要考查其单调性，就必 g(x)≠1 须对底数进行分类讨论，如果 (2)形如y=f(logx)的复合函数在求定义域时，必须保 忽略底数a对函数y=logx 证每一部分都要有意义。 (a>0且a≠1)的单调性的影 第 2.与对数函数有关的函数的值域 响，就会出现漏解或错解，一 (1)求形如y=logf(x)(a>0且a≠1)的复合函数的值 般考虑a>1与0<a<1两种 第 域，先求f(x)的值域，然后结合函数y=logx(a>0且a≠1) 情况 2.求对数函致的值城时， 的单调性确定函数y=log.f(x)(a>0且a≠1)的值域. 一定要注意定义城对它的影 (2)求形如y=f(1ogx)的复合函数的值域，其中复合函 响.当对数函数中含有参数时， 数f(logx)(a>0且a≠1)一般是关于logx(a>0且a≠1) 有时需讨论参数的取值范围， 的二次函数，可采用换元法求解，注意新元的取值范围. ⊙考题门求下列函数的定义域： (1)fx)=lg(2+x-2) x一x 1 (2)f(x)= ln(1-2x) 山规律总结… 2+x-x2>0, 解(1)要使函数式有意义，需满足 外 求函数的定义域就是求 |x一x≠0， 使函数的解析式有意义的自 x2-x-2<0, 变量的取位范围，经常考虑的 lx≠x, 几种情况如下： 解得一1<x<0,因此函数f(x)的定义域为（一1,0）. 1-2x>0. 1a中f0 (2)要使函数式有意义，需满足 ln(1-2x)≠0. 2.fx(n∈N)中 解得<号，且x≠0，即fx)的定义城为(-0,0U0,2) f(x)≥0. 3.logf(x)(a>0且 ⊙变式51(2024，大理一中单元测试)求下列函数的定义域： a≠1)中f(x)>0. 1 4.loga(a>0)中f(.x) (1)y=1og(x-1D (2)y=√1g(x-3). >0且f(x)≠1. (3)y=1og2(16-4). (4)y=log-)(3-x). 5.[f(x)]中f.x)≠0. 6.求抽象函数或复合函 数的定义城，霄正确理解函数 的特号及其定义域的含义. 193 考点同步解读>商中就学必修第一册BSD色 ⊙考题12(2024，成都二中诊断)已知函数y=f(lg(x十1)】 的定义域为(0,99]，则函数y=f(1og(x十2)的定义域为 解析，y=f(1g(x十1)中的x∈(0,99]， .1<x+1≤100，.0<1g(x+1)≤2. 设u=lg(x十1)，则f(u)的定义域为(0,2]. .0<log(x十2)≤2，即1<x+2≤4，∴.-1<x≤2. 第 .函数y=f(10g2(x十2)的定义域为（一1,2]. 量 答案(-1,2]. 第 ⊙变式52(2024，准安中学期末考试)设函数f(x)的定义 域为（一1,3），则函数g(.x)= 的定义域为 第三章 A.(-2,1) B.(-2,0)U(0,1) C.(0,1) D.(-∞，0)U(0,1) 第 ⊙考题13(2022，南京一中测试)设函数y=f(x)且 Ig (Ig y)=lg (3.x)+lg (3-x). 方法梳理， 第五鱼 (1)求f(x)的表达式及定义域： 1.由定义城或值域为R (2)求f(x)的值域. 求参数取值范围的方法 解析(1)，lg(1gy)=1g(3.x)+lg(3-x)=lg[3.x(3-x)], (1)若y=logf(z)的定 .lgy=3x(3-x),y=108. 义城为R,求参数的取值范 第 .'y=f(x)Eg (Ig y)=lg (3x)+lg (3-x), 围，一般转化成f(x)>0恒成 立的问题：若y=logf(x)的 x>0, 0<x3, 值城为R,求参数的取值范 ∴.x,y应满足3-x>0,即 y>1. 围，一般转化成(0，十∞)为西 Ig y0 数f(x)的值域的子集问题. y=f(x)的定义域为(0,3) (2)解决涉及由对数函数 23x3-)=-3一+贸且y=)的定义战为 构成的复合函数的定义城为 y的值城为(1,10]. R的问题，转化时应抓住“对 (0,3), 于任意实数x,都有真数恒大 ⊙变式53(2024，西安中学月考)若函数f(x)=l0gx(a>0 于0”这一隐含条件来分析 且a≠1)在区间[4,8]上的最大值比最小值大5，则实数a的值为 2,求函数值域或最值的 常用方法 (1)直接法：极据函数解析 ⊙考题14已知函数f(3一2)=x一1，x∈[0,2]，将函数 式的特征，从函数自变量的变 y=(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 化范围出发，通过对函数定义 度可得到函数y=g(x)的图象 域及性质的观察，结合函数的 (1)求函数y=f(x)与y=g(x)的解析式. 解析式，直接得出函数的值域. 194 第四章)对运算与对极函极 (2)设h(x)=[g(x)]2+g(x2),试求函数y=h(x)的最值， (2)配方法：当所给的函 解析(1)设1=3-2，t∈[-1,7]，则x=l1og(t十2)， 数是二次函数或可化为二次 于是有f(t)=log(t+2)-1,t∈[-1,7]. 函数形式（形如y=a[f(x)] .f(.x)=log3(x+2)-1,x∈[-1,7]， 十bf(x)十c),求函数的值城 根据题意得g(x)=f(x-2)十3=logx十2，x∈[1,9]. 时，可以用配方法 (3)单调性法：根据在定义 故函数y=f(.x)的解析式为f(x)=log(.x+2)-1,x∈ 城（或定义域的某个子集）上的 [-1,7],函数y=g(x)的解析式为g(.x)=1ogx十2，x∈[1,9]. 单调性，求出函数的值战 (2),g(x)=logx+2,x∈[1,9]. (4)换元法：求形如y 第 .h(x)=[g(.x)]2+g(x2)=(log3x+2)2+2+logz2 lOg.f(x)型函数值战的步骤： (1log3x)2+610g3x+6=(1ogx+3)2-3, ①换元·令u=f(x),利 第 函数g(x)的定义城为[1,9]， 用西效的图象和性质求出 .要使函数h(x)=[g(x)]十g(x2)有意义，必须有 的范国： 1∠<9·即1≤r<3. ②利用y=logu的单调 1≤x≤9， 性及图象求出y的取值范国. ∴.0logx≤1，∴.6≤(log8x+3)2-3≤13. 故函数y=h(x)的最大值为13，最小值为6. ⊙变式5-4(2024，重庆南开中学月考)已知函数f(x)= lg(e+是-a. (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.。 (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 第七盘 考点6 对数函数单调性的应用 ·核心总结 衣难点突破， 1.对数函数与指数函数在它们各自定义域内的单调性是 L.如何进行含有参数的 一致的，即a>1时，它们都是增函数，0<a<1时，它们都是减 对数值的大小比较？ 函数 对于含有参数的两个对 2.含有未知量的对数不等式，主要是借助对数函数的单调 数值的大小比较，要根据底数 性将复杂的不等式转化为简单的不等式求解， 是否大于1进行分类讨论.如 比较1og(-b+1)(b∈R) 195/儿参考答秦与提示>7 一f(x),且f(x)的定义域为{xx≠0，关于原点对 求，且y=x2-2x一3在(3，十∞)上单周递增，故函数 称，得f(x)为奇函数，排除C.D: 的单调递减区间是(3，十∞). 又)=0，f()=g2=-< 8.[e,十oo).提示：因为f(x)是定义在(0，十oo)上的 连续单调函数， 0,排除B故选A 所以存在唯一的实数t,使得f(t)=1,故令f(x)一 5.BD提示：因为f(x)的定义域为R,f(x)=log(1十 lnr=t,则f(x)=lnx十，所以f()=lnt十t=1,因 )-1og,4t=1og1=log(2+2). 2 为g()=n1十1一1在(0，十∞)上单调递增，且g(1)=0, 所以f(-x)=log:(2+2)=f(x), 所以t=1,所以f(x)=nx十1.因为f(x)≥2，所以ln 所以f(x)为偶函数，故A错误，B正确： x≥1，解得x≥e,故x的取值范围为[e,十oo). 令=2，>0.则y=l0g（(+）,令=1+ 9Dh题意得=L,。 a2+4=8. 所以 a=2, k=1. 0,则y=log1s,当x∈[0，十c∞)时，1∈[1，十o∞)，s=t 所以fx)=21.得f-(x)=logr-1. 十为增函数。 将f-1(x)的图象向左平移2个单位长度，得到y 1og(x+2)一1的图象，再向上平移1个单位长度，得 又y一lgs为增函数，所以y=g(什)为增函数。 到y=1og(x十2)的图象。 又1=2为增函数，所以f(.x)在[0，十)上是增函数， 所以g(x)=log2(x+2). 又f(x)为R上的偶函数， (2)要使g(x)≥3m-1在x∈[2，+o)上恒成立，只 所以f(x)≥f0)=2: 1 需当x∈[2，+oo)时，g(x)n≥3m-1. 因为g(x)在[2，+∞)上单调递增， 1 所以f代x)的值域为之，+∞)，故C错误，D正确. 所以g(.x)a=g(2)=1og=(2十2)=2， 6.AB提示：因为f(x)的定义域为R,所以mx2+2x十 则2≥3m-1,解得n≤1. m>0, 所以实数m的取值范围是（一∞，1门. m一1>0恒成立，则 解得> △=4一4n(m-1)<0. I0.(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数， 1安.故A正确因为)的值线为[-1，十. 所以f(一1)=f(1). 即log(31+1)十k=l0g1(3+1)-k, 1m>0, 所以m.x2+2x+m-1≥ ，所以 即2k=log4-lbg号=log(4×)=1,解得 m 2· 解得m=2,故B正确.因为函数f(x)在[2，十o∞)上单 调递增，所以当m≠0时，由复合函数的单调性可知 此时-x)=0g3+1D+号x=l6g(3）十 n0, 之=og（gr+1）-x十7=.满足题意。 解得m>0:当m=0时，f(x)= 4m十4十m一1>0， 所以)=l6gg+D-女 1og(2x-1)(z>2),满足f()在[2，+∞)上单调 (2)依题意，存在1∈[log2,8]对任意的x∈[1.4] 都有g(x)≤h(x), 递增.综上，m≥0，故C错误.当m=0时，f(x)= log(2r-1)(x>2),由fx)<1,可得0<2r-1< g(z)-f(r)+r-log(3+D), 则g(,x)在区间[1og2,8]上单调递增，g(x)在区间 2,解得<<受，故D错误 [☐og2,8]上的最小值为gog2)=log(3*2+1)=1. 7.(3,+).提示：函数f(x)=log4(x2一2x-3)的定 h(x)=x2一21x十5(1≤x≤4)的图象开口向上，对称 义域满足x2-2x-3>0,∴.x>3或x<-1.由于 轴为直线x=t, (x)外层是递减函数，则内层函数的递增区间即为所 当≤1时，h(x)在[1,4门上单调递增，最小值为h(1) 43 考点同步解读)高中数学必修第-一D色 =1-21+5=6-21. 是-3和1，即方程x2+a.x+b=0的实根是-3和1，由 依题意可知6-2≥1，得≤号，故心1. 根与系数的关系可得a=2,b=一3，所以g(.x)的零点就 是方程1og(2.x一3)=0的根，解得x=2. 当1<1<4时，h(x)的最小值为h(1)=2一2r+5= [变式1-3]B提示：令f(x)=0得logx=2,在 5-2, 同一平面直角坐标系中作出y=g4x,y=2的大致 依题意可知5一≥1，即≤4，得1<1≤2. 图象，如图所示，由图可知两个图象有两个交点，故函数 当t≥4时，(x)在[1,4]上单调递减，最小值为h(4) f(x)有两个零点. =16-81+5=21-81. y= 9- =0g到 依题意可知21一81≥1，得号，不符合. 综上所述，t的取值范围是（一o,2]. 【实验班选做题】 1注意到f(x)=lg音在(0,9)上单调递减，在 [变式2-1]AC提示：观察知函数f(.x)在(-o∞，1)上 [9,十∞)上单调递增. 的函数值恒为正，在(1，+十∞)上单调递增，结合函数的 由a,b,c所满足的条件，可知0<a<b<9<c,并且 零点存在定理，知函数f(x)只有一个零点，且f(x) g县=2he号=2e号 0.f(x2)>0. 于是16gg=l6g(9·号·号号)=2-16g县+ [变式2-2]A提示：令f(x)=x十lnx一4，易知 f(x)在(0，十∞)上为增函数，又f1)=-3<0,f(2)= 6g号+log号-2.即有g-3=9, 1n2>0,由零点存在定理知存在唯一一个∈(1,2)， 使得f(.x)=0,此时a=1,b=2,满足-a=1,所以a十 2号提示：用r表示函数y=x)的图象 b=3. 对任意的x0∈(0,1)，令%=log(1十m),则(m,为) [变式2-3]B提示：设f(x)=t,令f(t)=0,则t=1 ∈，且%∈(0,1). 或=-1.当x≥0时，由f(x)=1得x=√2，由f(x)= 利用厂的中心对称性与轴对称性，可依次推得 -1得x=0:当x<0时，x)=1,即上+1=1，无解，由 (2-0,2-m)∈，(%-2，m-2)∈T,(4-m,4一 %)∈ f)=-1,即1+上=-1得x=一名：综上，函数y 取=号，此时4-地=4-log(1十)=log10, f(f(x)有3个零点. [变式3-1]{一1}U[0,十∞).提示：当m=0时，零 因此/6g10)=4-)=4-6=4-是=号 点为x=号，满足题意.当m≠0时，4=4十m≥0，解得 第五章函数应用 m≥一1且m≠0，设x,2是函数的两个零点，则十 §1方程解的存在性及方程的近似解 【变式训练】 五=一品=一品若m=一1.则函数只有一个零 [变式1-1]0.提示：由题可知f(x)=2一（一x十1）. 点1，符合题意：若一1<m<0,则，均为正数，不符 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2,y=一x十1 合题意，舍去：若m>0,则1，一正一负，符合题意.综 的图象（如图），由图可知函数f(x)的零点为0. 上，实数m的取值范围是（一1}U[0,十）. 1y=2 [变式32]D1)=a+b+c=-登 y=-x+】 3 c=-2a- ∴j)=ar+h加-2a-bo>0 [变式1-2]2.提示：函数f(x)=x2十ax十b的零点 令fx)=0,则△=B-4a(-受a-b)=B+6a2+4ab 44