精品解析： 河北省石家庄第四十八中学2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试卷

2024-2025学年河北省石家庄四十八中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，如果点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据y轴上点的坐标特征，横坐标为0，求出参数a的值，再代入纵坐标计算即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标是， 故选：B． 2. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 3. 用配方法解方程时，方程两边应同时（ ） A. 加上2 B. 减去2 C. 加上4 D. 减去4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法．方程两边都加上一次项系数一半的平方，本题中将一次项看成，这样就可以知道配方项为从而为求解本题． 【详解】解： ，即 故用配方法解方程时，方程两边应同时加上4， 故选：C 4. 若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 由一次函数的性质可得为正，从而可求得m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的函数值随着的增大而增大， ∴，即． 故选：A． 5. 如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形由平行四边形变成矩形 B. 点B，D之间的距离不变 C. 四边形的面积变大 D. 四边形的周长不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、根据根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意， B、向右推动框架，点B，D之间的距离变大，该选项不正确，符合题意， C、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意， D、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意， 故选：B． 6. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求出交点的坐标，再观察图象，写出直线图象在直线图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ， 解得：， ， 由图象可得：当函数图象在函数图象下方时，， ∴不等式的解集为． 故选：C． 7. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，韦达定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的根的判别式，判断A选项和B选项，利用韦达定理，判断C和D选项，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 故有两个相等的实数根， 故A和B选项不符合题意； 则，； 即两根之积是4，两根之和是4； 故选：D 8. 节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与商品件数的等式是解题关键．根据已知表示出买商品件的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠， 小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（）， 则小明应付货款与商品件数的函数关系式是：， 故选：D． 9. 在中，，是的中点，求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，． …… ， ． 下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形，则正确的顺序是（ ）． A. ③①②④ B. ③②①④ C. ②③①④ D. ②①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．从结论入手，要证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，显然不能应该斜边中线定理，看到提示的两行证明，有对角线相等，由此根据矩形的对角线互相平分且对角线相等的性质，作辅助线补全四边形，先证平行四边形再证矩形，即可推出结论． 【详解】解:根据提示，先由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再由平行四边形证明是矩形， 证明过程应为：③，； ①四边形是平行四边形； ②； ④四边形是矩形． ， ． 即证明过程为 ③①②④， 故选：A． 10. 如图，在中，D，E分别为边，的中点，为高线，，则与的长度大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，先根据中位线的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论． 【详解】解：∵为高线， ∴， ∵D，E分别为边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键． 根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：A． 12. 如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，则可证四边形是平行四边形，由此可判断A正确；再根据矩形和菱形的判定可得B和C正确；先根据等腰三角形的判定可得，再根据菱形的判定可得四边形是菱形，由此即可判断D错误． 【详解】解：∵点，，分别是各边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，则选项A正确； 若，则四边形是矩形，选项B正确； 若，则， ∴四边形是菱形，选项C正确； 若平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵在题中，与不一定垂直， ∴无法得出四边形是正方形，则选项D错误； 故选：D． 13. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 14. 如图，该多边形的内角和等于______． 【答案】##720度 【解析】 【分析】多边形的内角和公式为：，直接利用公式计算即可. 【详解】解：该多边形的内角和， 故答案为： 【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和公式是解本题的关键. 15. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则___________________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：5． 16. 如图，点B的坐标是，将沿x轴向右平移至，点B的对应点E恰好落在直线上，则点B移动的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为，进而可得出沿x轴向右平移的距离． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， 沿轴向右平移个单位得到， 即点B移动的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键． 17. 如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）运用公式法解一元二次方程； （2）运用因式分解法解一元二次方程； （3）运用因式分解法解一元二次方程． 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行计算． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ，； 【小问3详解】 ， ， 或， ，． 19. 某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）条形统计图中某一类型的人数有错误，请写出该类型的正确人数为______； （2）写出这名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这名学生每人植树量的平均数时，嘉淇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①嘉淇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这名学生共植树多少棵． 【答案】（1）2 （2）5；5 （3）①第二步 ②5.3棵；1378棵 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数，众数，中位数以及用样本估计总体，弄清题意从统计图中找出数据以及计算方法是解本题的关键． （1）利用总人数乘对应的百分比求解即可； （2）根据众数、中位数的定义即可直接求解； （3）①根据加权平均数公式，可知从第二步开始出现错误的； 求出正确的平均数，乘以即可得到结果． 【小问1详解】 解：条形统计图中类型为人错了，应该是人； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可知，植树棵人数最多，故众数为， 共有人植树，其中位数是第、人植树数量的平均数， ∵类型4人；类型8人； ∴第、人植树数量均为5， ∴，故中位数为； 【小问3详解】 ①根据题意得：从第二步开始出现错误； （棵）， （棵）， 答：估计这名学生共植树棵． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是菱形： （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再导角证明，即可证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形面积求出，再结合直角三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， 菱形的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、菱形的判定与性质、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 21. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元 （2）的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元 由题意得 ， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． 【小问2详解】 解：由题意得 ， 整理得， 解得， ∵ ， ∴， 答：的值为． 22. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． （1）求线段所在直线的解析式及m的值； （2）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）待定系数法求函数解析式，然后代入点的坐标求值； （2）根据一次函数图像性质列不等式求解； （3）首先分析求得直线必经过定点，然后再通过分析临界点，即当直线经过B点时，当直线经过A点时，直线与线段有交点，从而确定n的取值范围． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，将，代入可得 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 将代入可得：，解得； 【小问2详解】 解：若直线l不经过第一象限，则时，解得； 【小问3详解】 解：由直线整理可得， 当时， ∴直线必经过定点， 当直线经过B点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得； 当直线经过A点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴n的取值范围为． 23. 我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． （1）如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G： ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形． （2）如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ． 【答案】（1） ①证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， （）， ； ②解：画出四边形，如图所示： 由①知，同理可得， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质，易证，再根据“”可证，即可求证；②先证，再证，即可求证； （2）连接，，利用“”得，从而，，即E，O，G三点共线，正方形对角线过点O，分析可得当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，，根据勾股定理、等面积法和正方形的性质，求出，，，，最后计算面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在图2中，连接，， 四边形是菱形， ，， ， ， （）， ，， E，O，G三点共线，正方形对角线过点O， 当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，， 则此时正方形的面积最小，如图所示： 在菱形中，，，， ，，， ， ， ， 正方形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省石家庄四十八中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，如果点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 用配方法解方程时，方程两边应同时（ ） A. 加上2 B. 减去2 C. 加上4 D. 减去4 4. 若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 5. 如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形由平行四边形变成矩形 B. 点B，D之间的距离不变 C. 四边形的面积变大 D. 四边形的周长不变 6. 如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 对于一元二次方程，则下列叙述正确的是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 两根之积是 D. 两根之和是4 8. 节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（） A. B. C. D. 9. 在中，，是的中点，求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接，． …… ， ． 下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形，则正确的顺序是（ ）． A. ③①②④ B. ③②①④ C. ②③①④ D. ②①③④ 10. 如图，在中，D，E分别为边，的中点，为高线，，则与的长度大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 11. 如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点，，分别是各边的中点，连接，，．下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是正方形 13. 如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（ ） A. 点与的距离为，点与的距离为 B. 点与的距离为，点与的距离为 C. 点与的距离为，点与的距离为 D. 点与的距离为，点与的距离为 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 14. 如图，该多边形的内角和等于______． 15. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则___________________． 16. 如图，点B的坐标是，将沿x轴向右平移至，点B的对应点E恰好落在直线上，则点B移动的距离是_________． 17. 如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是______． 三、解答题：本题共6小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 19. 某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）条形统计图中某一类型的人数有错误，请写出该类型的正确人数为______； （2）写出这名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这名学生每人植树量的平均数时，嘉淇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①嘉淇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这名学生共植树多少棵． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是菱形： （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 21. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． （1）求线段所在直线的解析式及m的值； （2）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 23. 我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． （1）如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G： ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形． （2）如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $