精品解析：江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（    ） A. 相等的角是对顶角 B. 一个角的补角大于这个角 C. 同位角相等 D. 如果，，那么 5. 对于命题“若，则”，下面，的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值（    ） A. 4 B. 8 C. D. 8. 如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A. B. C. 10 D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 某种生物细胞直径约为米，若用科学记数法表示此数据应为______． 10. 计算结果中不含的一次项，则______． 11. 不等式的正整数解是______． 12. 若，则_______． 13. 若n边形内角和与外角和相等，则_______． 14. 已知方程是关于二元一次方程，则______． 15. 关于x的二次三项式x2+mx+4是一个完全平方式，则m＝_____． 16. 已知是二元一次方程组的解，则______． 17. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 18. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则的大小为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： ，其中，． 21. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 22. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）的面积为______． 24. 已知关于x，y二元一次方程ax+2y=a-1． （1）若是该二元一次方程的一个解，求a的值； （2）若x=2时，y>0，求a取值范围； （3）不论实数a(a≠0)取何值，方程ax+2y=a-1总有一个公共解，试求出这个公共解． 25. “阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 26. 将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空①若，则______； ②若，则______． （3）如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 27. 新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： （1）填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； （2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 28. 【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义；轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 3. 若，则下列各式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质：加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A．若，则，故选项A成立，符合题意； B．若，则，故选项B不成立，不符合题意； C．若，则，故选项C不成立，不符合题意； D．若，则，故选项D不成立，不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（    ） A. 相等的角是对顶角 B. 一个角的补角大于这个角 C. 同位角相等 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义和定理．利用对顶角的定义、互补的定义、平行线的性质及等式的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、一个角的补角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、如果，，那么，正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 5. 对于命题“若，则”，下面，的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，命题真假的判定，掌握不等式的性质是关键． 根据不等式的性质，代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； B、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； C、当时， ，则，即，原命题为假，符合题意； D、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； 故选：C． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为， 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可． 7. 已知，则代数式的值（    ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式、代数式求值、完全平方公式，对原式的左边进行变形是解题的关键．先对原式的左边进行变形，进而得出答案． 【详解】解： ， ， 则， 故选：C． 8. 如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 某种生物细胞的直径约为米，若用科学记数法表示此数据应为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此写出结论． 【详解】解： 故答案为： 10. 计算结果中不含的一次项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可得到答案． 【详解】解：，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 11. 不等式的正整数解是______． 【答案】1，2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤； 先按照解一元一次不等式的一般步骤，求出x的取值范围，从而求出它的正整数解即可． 【详解】解：解不等式得 ， 不等式的正整数解是：1，2， 故答案为：1，． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把原式通过幂的运算法则转化成 ，再根据条件算出结果． 【详解】解：∵ 2x−3y+2=0 ， ∴ 2x−3y=-2 ， ∴ ． 故答案是：． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 13. 若n边形的内角和与外角和相等，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据n边形的内角和为，外角和为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：4． 14. 已知方程是关于的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义、绝对值方程及解不等式等知识，熟练掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得且，解得的值即可得到答案． 【详解】解：方程是关于的二元一次方程， 且， 解得， 故答案为：． 15. 关于x的二次三项式x2+mx+4是一个完全平方式，则m＝_____． 【答案】±4 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】∵x2+mx+4＝x2+mx+22， ∴mx＝±2×x×2， 解得m＝±4． 故答案为±4 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 16. 已知是二元一次方程组的解，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加，可得，即可得出答案． 【详解】解：， 由①＋②得，， ， 故答案为：． 17. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出，再解得，可得答案． 【详解】解：不等式组的解集为：， ， 解这个不等式得， 故答案为： 18. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，使得，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等边对等角等，由平行线的性质可得，由旋转得，，即得，进而由三角形内角和定理得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 由旋转得，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据有理数乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，涉及、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 22. 解下列方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的一般步骤． （1）把方程①＋②，消去，求出，再把代入①求出即可得到答案； （2）先求出各个不等式的解集，然后按照判断一元一次不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”进行判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 由①＋②得， 把代入①得， 方程组的解为； 【小问2详解】 ， 由①得，解得； 由②得，解得； 不等式组的解集为． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）的面积为______． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图中心对称变换、三角形的面积、作图－平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可得到答案； （2）根据中心对称的性质作图即可得到答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示： 的面积为． 24. 已知关于x，y的二元一次方程ax+2y=a-1． （1）若是该二元一次方程的一个解，求a的值； （2）若x=2时，y>0，求a的取值范围； （3）不论实数a(a≠0)取何值，方程ax+2y=a-1总有一个公共解，试求出这个公共解． 【答案】（1）a=1；（2）a＜-1；（3） 【解析】 【分析】（1）将代入即可解得的值； （2）时，，即得，故，解得； （3）变形为，公共解与的取值无关，可得，从而，即可得到答案． 【详解】解：（1）是的一个解， ， 解得； （2）时，， 时，， ， 解得； （3）变形， 不论实数取何值，方程总有一个公共解， ，此时， 这个公共解为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握公共解与的取值无关，则的系数需为0． 25. “阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该学校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； （2）学校共有3种购买方案，方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜；方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜；方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元，根据“购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设每个甲种书柜的价格是元，每个乙种书柜的价格是元， 根据题意得， 解得， 答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元； 【小问2详解】 解：设购进个甲种书柜，则购进个乙种书柜， 根据题意得， 解得， 又，均为正整数， 可以为8，9，10， 学校共有3种购买方案， 方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜； 方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜； 方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜． 26. 将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空①若，则______； ②若，则______． （3）如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）将两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； （2）①设，则，，利用完全平方公式求得的值即可；②设，，则，，利用完全平方公式求得的值即可； （3）由题意易得，，则，设，，那么，，利用完全平方公式求得的值即可． 本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如、等），并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①设，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； ②设，，则，， ∴， ， ， ， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，，， ，， ， 设，， 那么，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积和为． 27. 新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： （1）填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； （2）若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）①利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围． 【小问1详解】 解：①由题意，； ②， ， ， 故答案为：①3；②； 【小问2详解】 解：由题意，解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个，得， ， 故答案为：． 28. 【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得到，，利用三角形的外角的性质得到，再利用三角形的外角的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的结论得到，利用角平分线的定义和平角的应用求得，再利用直角三角形的性质解答即可； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的内角和定理，平角的定义和（1）的结论得到，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：为的平分线， ， 为的平分线， 为的外角， ， ， 为外角， ， ， ； （2）解：点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）延长交于点，延长交于点，如图所示： ，， ， ， 点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及其推论、平角的定义、四边形的性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$