第9讲　二次函数与幂函数讲义——2026届高三数学一轮复习

第9讲　二次函数与幂函数 一、知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项. （2）幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. （3）比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 单调递减区间是;  单调递增区间是 单调递增区间是　;  单调递减区间是 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 二、幂函数三大核心原则 （一）定义判定原则 ‌标准形式‌：必须符合（为常数）形式，系数为1且为单项式 ‌定义域特性‌：幂函数定义域随指数变化，需特别注意为分数时的定义域限制 ‌图象过定点‌：所有幂函数必过(1,1)点 （二）图象性质原则 ‌第一象限规律‌：>0时图象过(0,0)和(1,1)；<0时图象以坐标轴为渐近线 ‌奇偶特性‌：为奇数时是奇函数；为偶数时是偶函数 ‌单调规律‌：>0时在(0,+∞)单调增；<0时在(0,+∞)单调减 （三）比较大小原则 ‌图象法‌：利用函数图象直观比较 ‌中间值法‌：选取适当中间值（如0,1）比较 ‌幂指转化法‌：转化为指数函数比较 三、二次函数三大核心原则 （一）解析式选择原则 ‌一般式‌：已知三点坐标时使用 ‌顶点式‌：已知顶点或最值时使用 ‌零点式‌：已知与x轴交点时使用 （二）图象分析原则 ‌三点一线一开口‌分析：（1）三点：顶点+两个对称点（2）一线：对称轴（3）一开口：的符号决定 ‌参数影响‌：（1）决定开口大小和方向（2）与共同决定对称轴（3）决定轴截距 （三）最值应用原则 ‌区间定轴动‌：分类讨论对称轴与区间位置关系 ‌轴定区间动‌：根据对称轴分析区间变化影响 ‌分离参数法‌：将参数与变量分离求解 四、题型分类与解题策略 （一）幂函数典型题型 1、‌定义判定题‌ 解题步骤：（1）验证系数为1（2）确认单项形式（3）确定幂指数 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2、‌图象识别题‌ 解题要点：（1）根据第一象限特征判断α>0或α<0（2）根据奇偶性判断对称性 【例2】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 3、‌性质综合题‌ 解题策略：（1）先确定幂指数α（2）分析定义域和奇偶性（3）结合单调性解题 【例3】已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 （二）二次函数典型题型 1、‌解析式求解题‌ 解题模板：（1）根据条件选择适当形式（2）建立方程组（3）解方程组求参数 【例4】已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1. ①求b·c的值; ②设0<m<n,若当m≤x≤n时,f(x)的最小值为,最大值为,求m,n的值. 2、‌最值应用题‌ 解题关键：（1）确定对称轴位置（2）分析区间与对称轴关系（3）分类讨论 【例5】已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2. (1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值. 3、‌恒成立问题‌ 解题方法：（1）分离参数法（2）图象分析法（3）最值转化法 【例6】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 五、典例欣赏 【例7】已知函数f(x)=tx2+x-3t+1(t∈R). (1)若f(x)在(-∞,2)上单调递增,求t的取值范围; (2)若t>0,设函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为g(t),求g(t)的解析式,并求出g(t)的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲　二次函数与幂函数 一、知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项. （2）幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. （3）比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 单调递减区间是;  单调递增区间是 单调递增区间是　;  单调递减区间是 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 二、幂函数三大核心原则 （一）定义判定原则 ‌标准形式‌：必须符合（为常数）形式，系数为1且为单项式 ‌定义域特性‌：幂函数定义域随指数变化，需特别注意为分数时的定义域限制 ‌图象过定点‌：所有幂函数必过(1,1)点 （二）图象性质原则 ‌第一象限规律‌：>0时图象过(0,0)和(1,1)；<0时图象以坐标轴为渐近线 ‌奇偶特性‌：为奇数时是奇函数；为偶数时是偶函数 ‌单调规律‌：>0时在(0,+∞)单调增；<0时在(0,+∞)单调减 （三）比较大小原则 ‌图象法‌：利用函数图象直观比较 ‌中间值法‌：选取适当中间值（如0,1）比较 ‌幂指转化法‌：转化为指数函数比较 三、二次函数三大核心原则 （一）解析式选择原则 ‌一般式‌：已知三点坐标时使用 ‌顶点式‌：已知顶点或最值时使用 ‌零点式‌：已知与x轴交点时使用 （二）图象分析原则 ‌三点一线一开口‌分析：（1）三点：顶点+两个对称点（2）一线：对称轴（3）一开口：的符号决定 ‌参数影响‌：（1）决定开口大小和方向（2）与共同决定对称轴（3）决定轴截距 （三）最值应用原则 ‌区间定轴动‌：分类讨论对称轴与区间位置关系 ‌轴定区间动‌：根据对称轴分析区间变化影响 ‌分离参数法‌：将参数与变量分离求解 四、题型分类与解题策略 （一）幂函数典型题型 1、‌定义判定题‌ 解题步骤：（1）验证系数为1（2）确认单项形式（3）确定幂指数 【例1】下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求.故选：B. 2、‌图象识别题‌ 解题要点：（1）根据第一象限特征判断α>0或α<0（2）根据奇偶性判断对称性 【例2】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C. 3、‌性质综合题‌ 解题策略：（1）先确定幂指数α（2）分析定义域和奇偶性（3）结合单调性解题 【例3】已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得，∴函数，定义域为，关于原点对称，∴，∴函数是奇函数， 根据反比例图象在上单调递减．故选：A． （二）二次函数典型题型 1、‌解析式求解题‌ 解题模板：（1）根据条件选择适当形式（2）建立方程组（3）解方程组求参数 【例4】已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1. ①求b·c的值; ②设0<m<n,若当m≤x≤n时,f(x)的最小值为,最大值为,求m,n的值. 【详解】①因为f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1,所以解得所以b·c=-4. ②由①得f(x)=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1,则f(x)≤1,由题意得0<≤1,则m≥1,所以当m≤x≤n时,f(x)单调递减,所以f(m)=-2(m-1)2+1=,且f(n)=-2·(n-1)2+1=,所以m,n是关于x的方程-2(x-1)2+1=的两个解,即(x-1)(2x2-2x-1)=0,解得x1=1,x2=,x3=,又1≤m<n,所以m=1,n=. 2、‌最值应用题‌ 解题关键：（1）确定对称轴位置（2）分析区间与对称轴关系（3）分类讨论 【例5】已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2. (1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值. 【详解】(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2, 则函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增, 所以当x∈(-1,2)时,f(x)≥f(1)=-2,f(x)<f(-1)=14, 所以f(x)在区间(-1,2)上的取值范围为[-2,14). (2)f(x)=4-2a+2. ①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增, 所以当x∈[0,2]时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2,由a2-2a+2=3,得a=1±, 因为a≤0,所以a=1-. ②当0<<2,即0<a<4时,当x∈[0,2]时,f(x)min=f=-2a+2, 由-2a+2=3,得a=-∉(0,4),舍去. ③当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,当x∈[0,2]时,f(x)min=f(2)=a2-10a+18, 由a2-10a+18=3,得a=5±,因为a≥4,所以a=5+. 综上所述,a=1-或a=5+. 3、‌恒成立问题‌ 解题方法：（1）分离参数法（2）图象分析法（3）最值转化法 【例6】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以，故选：A. 五、典例欣赏 【例7】已知函数f(x)=tx2+x-3t+1(t∈R). (1)若f(x)在(-∞,2)上单调递增,求t的取值范围; (2)若t>0,设函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为g(t),求g(t)的解析式,并求出g(t)的最小值. 【详解】(1)当t=0时,f(x)=x+1,则f(x)在(-∞,2)上单调递增,满足条件; 当t≠0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象的对称轴为直线x=-,要使f(x)在(-∞,2)上单调递增, 则解得-≤t<0. 综上,若f(x)在(-∞,2)上单调递增,则t的取值范围为. (2)当t>0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象的对称轴为直线x=-,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增. 当-1≤-,即t≥时,f(x)max=g(t)=f(-2)=t-1. 当-≤-2,即0<t≤时,f(x)max=g(t)=f(-1)=-2t. 当-2<-<-1,即<t<时,f(-2)=t-1,f(-1)=-2t. 当t-1=-2t,即t=时,f(x)max=g(t)=f(-1)=f(-2)=-; 当t-1>-2t,即<t<时,f(x)max=g(t)=f(-2)=t-1; 当t-1<-2t,即<t<时,f(x)max=g(t)=f(-1)=-2t. 综上,g(t)= 所以g(t)min=g=-. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$