第03讲 幂函数与二次函数 （高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第03讲 幂函数与二次函数 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 5 考点一 幂函数的图象 5 考点二 幂函数的单调性与奇偶性 8 考点三 利用幂函数单调性进行大小比较 11 考点四 幂函数的综合应用 14 考点五 二次函数的综合应用 16 三阶突破训练 19 基础过关 19 能力提升 23 真题感知 28 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 解三次不等式 交集的概念及计算 2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算 2023年新I卷，第4题,5分 二次函数单调区间求参数值或范围 函数的单调性求参数值 判断指数型复合函数的单调性 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等) 3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性 4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识点1 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点2 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增 上减，上增 增 上减，上减 增 定点 知识点3 幂函数的奇偶性 知识点4 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 抛物线 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 考点一 幂函数的图象 典例1．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 典例2．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 典例3．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的幂函数图象可得，再变形函数并由函数值的特性得解. 【详解】由幂函数图象可得， 函数定义域为， 而，则恒成立，BCD错误，A正确. 故选：A 跟踪训练1．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 跟踪训练2．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 跟踪训练3．幂函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义域及奇偶性判断图象即可. 【详解】幂函数的定义域为，故D选项错误； 因为,所以为偶函数，故A,C选项错误； 故选：B. 考点二 幂函数的单调性与奇偶性 典例1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 典例2．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 典例3．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 典例4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 跟踪训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 跟踪训练2．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 跟踪训练3．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 考点三 利用幂函数单调性进行大小比较 典例1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义，即可判断. 【详解】由是R上单调增函数，得. 故“”是“”为充要条件. 故选：C. 典例2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义得的值，得，根据对数函数的单调性性质及换底公式得到，再利用幂函数单调性比较大小得到即可. 【详解】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 跟踪训练1．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解. 【详解】因幂函数的图象过点，则，且， 于是得，，函数，函数是R上的增函数， 而，则有， 所以. 故选：D 跟踪训练2．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 考点四 幂函数的综合应用 典例1．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【详解】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 典例2．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】应用为增函数，化简，再分异号和同号或中有一个为0，结合基本不等式计算求解. 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 跟踪训练2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 考点五 二次函数的综合应用 典例1．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 典例2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 典例3．（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 跟踪训练1．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 故答案为：. 跟踪训练2．已知当时，函数的最大值为，则的值为 【答案】或 【分析】根据对称轴和区间中点的关系分类讨论，建立方程解出即可. 【详解】函数的对称轴为， 当，即时，， 解得或（舍）； 当，即时，， 解得或（舍）， 综上知，的值为2或-1. 故答案为：或. 跟踪训练3．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 2．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 3．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性判断方法去分析即可判断A；由指数函数图象性质即可判断B；由得函数定义域，再计算即可判断C；由正弦函数性质即可判断D； 【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误； 对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，，因为， 所以的定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 又在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上不为增函数，故D错误. 故选：C. 4．（2025·云南昆明·一模）已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件代入运算可得，求得. 【详解】根据题意，可得，可得， . 故选：B. 5．（2025·青海西宁·二模）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“复合函数”的单调性的判断方法：“同加异减”，可求参数的取值范围. 【详解】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得． 故选：B． 6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】函数是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 二、填空题 8．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 9．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 10．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 一、单选题 11．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性可得当时，，则由时，恒成立求解即可. 【详解】函数在R上单调递减，当时，， 则当时，恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 14．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的解析式，结合函数的单调性可得：等价于且，从而可知不等式在,上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出的最小值为，进而可得实数的取值范围． 【详解】对于，函数在上为常数1， 在处连续，且在上为增函数， 因此等价于，对任意恒成立， 由①可知，，结合②可得， 而， 当时，即时，等号成立， 结合，可知在,上为增函数，可得， 所以，即实数的取值范围是． 故选：C． 【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. 15．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分类讨论去绝对值，画出函数的大致图象，结合二次函数的性质进行分析即可求解. 【详解】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：D. 16．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【详解】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题. 解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值. 二、填空题 17．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围即可. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为： 一、单选题 18．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 20．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 幂函数与二次函数 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 4 考点一 幂函数的图象 4 考点二 幂函数的单调性与奇偶性 7 考点三 利用幂函数单调性进行大小比较 8 考点四 幂函数的综合应用 9 考点五 二次函数的综合应用 9 三阶突破训练 10 基础过关 10 能力提升 11 真题感知 12 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 解三次不等式 交集的概念及计算 2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算 2023年新I卷，第4题,5分 二次函数单调区间求参数值或范围 函数的单调性求参数值 判断指数型复合函数的单调性 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下 【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质 2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等) 3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性 4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识点1 幂函数的定义及一般形式 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 知识点2 幂函数的图象和性质 （1）常见的五种幂函数的图象    （2）幂函数的性质 ①所有的幂函数在区间上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点． ②如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． ③如果，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． （3）常见的五种幂函数的性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 知识点3 幂函数的奇偶性 知识点4 二次函数及其性质 一元二次函数有如下性质： （1）函数的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ． （2）当时，抛物线开口向上．在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值，即 ． 当时，抛物线开口向下．在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值，即 ． 考点一 幂函数的图象 典例1．若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 典例2．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 典例3．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 跟踪训练2．在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．幂函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 考点二 幂函数的单调性与奇偶性 典例1．已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 典例2．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 典例3．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 典例4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 跟踪训练2．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 跟踪训练3．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 考点三 利用幂函数单调性进行大小比较 典例1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 考点四 幂函数的综合应用 典例1．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 典例2．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 跟踪训练2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 二次函数的综合应用 典例1．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 典例2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 典例3．（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 跟踪训练2．已知当时，函数的最大值为，则的值为 跟踪训练3．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 2．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 3．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南昆明·一模）已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·二模）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 9．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 10．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 一、单选题 11．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知，，，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 17．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 一、单选题 18．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 20．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$