精品解析：天津市第十一中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

天津十一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ） A. 3或4 B. 5或 C. 5 D. 5. 三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. 中国的射击项目在世界上居于领先地位．某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示，射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是（ ） 甲 乙 丙 丁 /环 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A 3 B. C. D. 4 9. 某班要从9名百米跑成绩各不相同同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 10. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ） A. 9：15 B. 9：20 C. 9：25 D. 9：30 12. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题） 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 15. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分． 16. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 17. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m． 18. 如图，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB, OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____________. 三．解答题（共7小题） 19. （1）4--（-4） （2）（2+5）（2-5） 20. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元学生人数． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2． （1）求证：AE=CF； （2）求证：四边形EBFD是平行四边形． 22. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 23. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量/kg 30 50 150 … 甲批发店花费/元 300 … 乙批发店花费/元 350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中________批发店购买数量多． 24. 如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． （1）________°； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． （3）如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 25. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D （1）如图1，连接BC，求的面积； （2）如图2，在直线上存在点E，使得，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点E作的垂线交y轴于点F，点P在直线上，在平面中存在一点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津十一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故选． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一、三象限，根据b＜0确定函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限，从而判断得解． 【详解】解：一次函数y=x﹣2， ∵k=1＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣2＜0， ∴函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限， ∴函数图象不经过第二象限． 故选B． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 由二次根式在实数范围内有意义可得，然后求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故选：B． 4. 若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ） A. 3或4 B. 5或 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴m-3=0且n-4=0， 则m=3，n=4， 当4是直角边时，斜边长， 当4是斜边时，另一条直角边， 综上，第三条边长为5或． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【详解】解：， ， ， 这个三角形是直角三角形． 故选：C． 6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、矩形及正方形的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：A、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等； C、不正确，矩形的对角线不垂直； D、正确，三者均具有此性质； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形、矩形及正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形及正方形的性质是解题的关键． 7. 中国的射击项目在世界上居于领先地位．某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示，射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是（ ） 甲 乙 丙 丁 /环 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据射击比赛时，平均成绩代表平均水平，越大成绩越好；方差代表稳定性，越小越稳定． 【详解】解：从平均成绩看甲、丁最好，但是丁的方差更小， 所以选拔丁， 故选：D． 【点睛】本题考查了运用平均数和方差做决策；解题的关键是理解平均数和方差的意义． 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，坐标与图形，先由矩形的性质得，再由勾股定理算出的值即可作答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， 则的长是， 故选：B 9. 某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断． 【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩， 即中位数． 故选B. 10. 如图，直线与相交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当时，的图像在图像的上方，据此即可解答． 【详解】解：由函数图像可知：当时，，即不等式的解集为：． 故选：B． 11. 某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ） A. 9：15 B. 9：20 C. 9：25 D. 9：30 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6， ∴y1=6x+40； 设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4， ∴y2=-4x+240， 联立，解得， ∴此刻的时间为9：20． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义． 12. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取有用信息是解题的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度为（米/分）， 故①正确； 设乙速度为x米/分， 由题意得：， 解得：． ∴乙的速度为80米/分． ∴乙走完全程的时间为（分）， 故②正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分）， 故③错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）， 故④错误． 综上，正确的有①②共2个， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 故答案为：24． 15. 某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比，计算学期成绩．小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是______分． 【答案】85 【解析】 【分析】按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小明本学期的体育成绩为：=85（分）， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 16. 若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 17. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m． 【答案】4600 【解析】 【详解】小敏行走的路程为，则， 小聪行走的路程为 . 连接CG， 在正方形ABCD中，， 在△ADG和△CDG中， ∴， ∴AG=CG. 又∵， ∴四边形GECF是矩形， ∴. 又∵∠=45°， ∴DE=GE， ∴小聪行走的路程为. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形和矩形的判定等知识，正确作出辅助线是解题的关键.. 18. 如图，已知点C（1，0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点，D,E分别是AB, OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____________. 【答案】10 【解析】 【分析】点C关于OA的对称点C′（−1，0），点C关于直线AB的对称点为C″，连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△CDE周长最小，这个最小值就是线段C′C″，然后求出C″的坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，点C关于OA的对称点C′（−1，0），点C关于直线AB的对称点C″， ∵直线AB的解析式为y＝−x＋7， ∴设直线CC″的解析式为y＝x+b， 代入C（1，0）得：0=1+b， 解得：b=－1， ∴直线CC″的解析式为：y＝x−1， 联立，解得：， ∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3）， ∵K是CC″中点， ∴C″（7，6）， 连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△CDE周长最小， △CDE的周长＝DE＋EC＋CD＝EC′＋ED＋DC″＝C′C″＝， 故答案为10． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点坐标的求法以及两点间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E的位置，属于中考常考题型． 三．解答题（共7小题） 19. （1）4--（-4） （2）（2+5）（2-5） 【答案】（1）;（2）3. 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式＝4--（-4） ＝4--﹢4 ＝； （2）原式＝ ＝4×7-25 ＝3. 20. 四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　　　，图①中m的值是　　　　； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】（1）50； 32；（2）16；10；15；（3）608人． 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量：4+16+12+10+8=50（人）；根据扇形统计图得出m的值：； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可． （3）根据样本中捐款10元的百分比，从而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【详解】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100-20-24-16-8=32； 故答案为：50； 32． （2）∵， ∴这组数据的平均数为：16． ∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：， （3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%， ∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数有1900×32%=608人． ∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608人． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2． （1）求证：AE=CF； （2）求证：四边形EBFD是平行四边形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）通过证明△ADE≌△CBF，由全等三角的对应边相等证得AE=CF． （2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论． 【详解】证明：（1）如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，，∠3=∠4 ∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6， ∴∠1=∠2 ∴∠5=∠6 ∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6， ∴△ADE≌△CBF（ASA） ∴AE=CF （2）∵∠1=∠2， ∴ 又∵由（1）知△ADE≌△CBF， ∴DE=BF ∴四边形EBFD是平行四边形 22. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 【答案】（1）20° （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得△ABC≌△BAD，从而得到∠ACB=∠ADB=40°，再由BD=CE，可得AC=CE，从而得到∠E=∠CAE，即可求解； （2）根据勾股定理可得BC=4，从而得到BE=9，再由勾股定理，即可求解． 小问1详解】 解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； 【小问2详解】 解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． （Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量/kg 30 50 150 … 甲批发店花费/元 300 … 乙批发店花费/元 350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式； （Ⅲ）根据题意填空： ①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多． 【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）；当时，；当时，．（Ⅲ）①100；②乙；③甲． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．可以分别把表一和表二补充完整； （Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格一次购买数量，可得出关于x的函数关系式，注意进行分段； （Ⅲ）①根据得出x的值即可；②把x=120分别代入和的解析式，并比较和的大小即可；③分别求出当和时x的值，并比较大小即可． 【详解】解：（Ⅰ）当x=30时，， 当x=150时，， 故答案为180，900，210，850． （Ⅱ）． 当时，； 当时，，即． （Ⅲ）①∵ ∴6x ∴当时，即6x=5x+100 ∴x=100 故答案为100 ②∵x=120 ， ∴； ∴乙批发店购买花费少； 故答案为乙 ③∵当x=50时乙批发店的花费是：350 ∵一次购买苹果花费了360元，∴x50 ∴当时，6x=360，∴x=60 ∴当时，5x+100=360, ∴x=52 ∴甲批发店购买数量多． 故答案为甲 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 24. 如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． （1）________°； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． （3）如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 【答案】（1）45； （2）①见解析；②DF的长为2； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义得出，由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理即可得解； （2）①作于，先证明四边形为矩形，再由角平分线的性质定理得出，即可得证；②设，由正方形的性质得出，证明，得出，同理可得：，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：作于， 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，外角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形； ②设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 【小问3详解】 解：如图，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠得：， ，， ， 由（2）得：四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题关键． 25. 在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D （1）如图1，连接BC，求的面积； （2）如图2，在直线上存在点E，使得，求点E的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点E作的垂线交y轴于点F，点P在直线上，在平面中存在一点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）11； （2）E； （3）点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）利用平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线，令，则，故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； 【小问2详解】 解：由题意，，观察图象可知，点E只能直线在的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点； 【小问3详解】 解：如图3，设交x轴于点M， ∵点， ∴，， ∵过点E作的垂线交y轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得： ， 解得，， 所以，直线的表达式为， 设点，点， 点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E， 同样点向右平移2个单位向上平移个单位得到， 当点P在点Q的下方时，则且①， ，即②， 联立①②并解得：a=2或， 故点Q的坐标为（不合题意的值已舍去）； 当点P在点Q的上方时， 同理可得，点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $