精品解析：2025年江苏省南京市金陵河西学校中考数学模拟试卷（三）

2025年江苏省南京市金陵河西学校中考数学模拟试卷（三） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所确定n即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. 当时，原式，选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，． 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 5. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 6. 四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于F，过点D作，先解，求得，，再证明，得，，再证明四边形是平行四边形，得，，则，然后用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于F，过点D作， ∵正方形， ∴，， ∵改变正方形的内角大小，且其各边长度不变， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题，熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9， 故答案为：x≥9． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10. 实数，满足，则 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 12. 淇淇是一名天文爱好者，他统计了8场流星雨的最大天顶流量（单位：颗/小时）的数据，分别为136，150，123，87，36，150，36，150．这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是_______． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义，是解题的关键．根据众数是指一组数据中出现次数最多的数，进行解答即可． 【详解】解：136，150，123，87，36，150，36，150中，150出现次数最多，因此这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是150． 故答案：150． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，内接于，若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15. 如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】９ 【解析】 【分析】分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，通过证明得到为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到；连接，可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一得到，利用线段垂直平分线的性质得到，这样，根据三角形任意两边之和大于第三边，得到，则的值最小为． 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意将转化为三角形两边之和大于第三边的情形是解题的关键． 【详解】解：分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，如图， 是的中点， ． 四边形是菱形， ． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ． 同理：， ，． 连接， 四边形是菱形， ，． 为等边三角形， 为的中点， ． 是的垂直平分线． ． 为上一点， ． 当点与点重合时，的值最小为． ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式解集为． 在数轴上表示如下： ． 18. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分化简即可． 【详解】解： ． 19. 如图7，反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B，其中． （1）求m，b值； （2）求点B坐标，并写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一次函数图象上点的特点以及反比例函数的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式． （1）先将代入反比例函数与一次函数，可求出m、b． （2）联立列方程组，求出点B的坐标，当时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方，再由图象求出x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 则； ∵一次函数的图象过点， ∴， 则； 综上：，； 【小问2详解】 解：∵， 解得，， ∴点， 根据图象可得，当时，． 20. 某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将4人分配到同一车厢同一排的A，B，C，D四个座位，示意图如下图所示． 窗 A B 过道 C D 窗 （1）若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为__________； （2）若甲员工先坐在A座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率．（注：过道两侧座位B，C不算相邻） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，乙，丙两个员工选择座位共有6种等可能的结果， 其中乙，丙两人相邻而坐的结果有2种 ∴P（两人相邻而坐）． 21. （1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点O，由平行四边形的性质得，，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接交于点O，连接，，先证明是的中位线，得，同理，再证明四边形是平行四边形，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】证明：（1）如图1，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点O，连接，， ∵G、H是对角线的三等分点， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 22. 人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 （填序号）； ①1990～2000； ②2000～2010； ③2010～2020． （3）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 【答案】（1） （2）① （3）1990至2020年我国老年人口数量不断增长（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和折线统计图，解题的关键是根据统计图正确获取信息． （1）根据条折线统计图和条形统计图数据解答即可； （2）根据条形统计图数据判断即可； （3）根据折线统计图信息解答即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，2020年，全国老年人口约为：（亿． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，年间，全国人口增长最快的时间段是，增速为． 故答案为：①； 【小问3详解】 解：由统计图可知， ①我国人口老龄化逐年增长； ②2000全国老年人口达到：（亿）． 23. 如图，在中，，为的角平分线，交于点D，经过C、F、D三点的与交于点E，过点E作交于点T，交线段、分别于点K、H，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为， 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角和角平分线的定义得到，即可得到，进而证明结论； （2）过点F作于点G，设，，利用三角形的面积求出长，再根据勾股定理得到长，然后根据相似三角形求出长，即可得到的值，求出的半径；连接，求出长，再利用相似得到长，然后根据平行线分线段成比例得到求出长即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点F作于点G， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴的半径为； 连接，则， ∴， ∴，即 解得， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴，即∴， 解得：． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 如果一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做两个圆的公切线．如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线，如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线． 如图，已知与，求作与的一条外公切线，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别作两个圆的两条平行的半径，，分别连接，并延长相交于点，以为直径作圆交于点，作直线交圆于点． 本题主要考查了切线的性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：直线即所求 文字说明：分别作两个圆的两条平行的半径，， 分别连接，并延长相交于点， 以为直径作圆交于点， 作直线交圆于点， 则直线即为所求． 25. 如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图1是小床支撑脚CD折叠的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且．在折叠过程中，会先变形为四边形（点C，D分别处在点，），继续折叠后会形成一条线段（点，分别处在点，，且线段与AC共线）．已知，． （1）求CD的长度： （2）小床折叠过程中，如图2，当时，求的值． 【答案】（1）32cm；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理计算出DC的长即可； （2）根据题意作出示意图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，由勾股定理求得AC'，设D'M=x，通过勾股定理列出方程，求得x，进而求结果． 【详解】（1）易求得.设，则． 由题意可得，，，． 在中，可得 ． 解得，． 所以，CD的长度为32cm． （2）如图，连接，过点A作于点M． 在中，可求得． 设． 由，可得 ． 解得，． 在中，可求得． 所以，． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程，是解决问题的关键． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求t的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求a的取值范围； ②若，且，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）1 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）把点代入，得，再由抛物线对称轴方程得解； （2）①由对称轴为得，分和两种情况，根据点和点与顶点的位置关系得不等式，求出的取值范围； ②由已知得，分别把，代入抛物线解析式，得，，两式相减得，再由得，再由，得，从而得，所以． 【小问1详解】 ∵ 点在抛物线上， ∴． ∴． ∴ ． 【小问2详解】 ①当时，，所以． ∵ 点，在抛物线上， ∴ 当时，有． 得，得． 当时，有． 得，得． 综上，的取值范围是或． ②∵且，则，在对称轴右侧，随着的增大而增大， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解． 27. 如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证：为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段上，求的值； （3）矩形中，，，直线交的延长线于点K．若，求线段的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，由折叠的性质得到，即有，易得，进一步可知，再证明垂直平分，可证明，可证明结论； （2）设交于点R，，则，首先解得，再证明，，结合相似三角形的性质可得，然后根据正切的定义求解即可； （3）记直线交边于点T，易知，进而可得；设，则，，，，由折叠可知，，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵由折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 设交于点R，如下图， 可设，则， ∵由折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 记直线交边于点T， 由，可得， ∵， ∴， 设，则，， 同（1）可得， 则， 由折叠可知，， ∴在中，， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省南京市金陵河西学校中考数学模拟试卷（三） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 等腰三角形“三线合一” D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 4. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 5. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 6. 四边形具有不稳定性．对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角大小，且其各边长度不变，得到四边形．连接，若，，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 的算术平方根是______． 8. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 9. 计算：________． 10. 实数，满足，则 ______． 11. 方程的解为________． 12. 淇淇是一名天文爱好者，他统计了8场流星雨的最大天顶流量（单位：颗/小时）的数据，分别为136，150，123，87，36，150，36，150．这8场流星雨的最大天顶流量的数据的众数是_______． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为______． 14. 如图，内接于，若，则的度数是________． 15. 如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 16. 如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解不等式组，并把它们解集分别表示在数轴上． 18. 计算 19. 如图7，反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B，其中． （1）求m，b的值； （2）求点B的坐标，并写出时，的取值范围． 20. 某公司甲、乙、丙、丁四个员工乘坐高铁动车去某地参加商务活动，铁路售票系统将4人分配到同一车厢同一排的A，B，C，D四个座位，示意图如下图所示． 窗 A B 过道 C D 窗 （1）若甲员工从四个座位中随机选一个坐下，则甲员工坐到B座位的概率为__________； （2）若甲员工先坐在A座位，剩余三名员工随机选择剩余三个座位就坐，求乙，丙两个员工相邻而坐的概率．（注：过道两侧座位B，C不算相邻） 21. （1）如图1，四边形是平行四边形，、是对角线的三等分点：求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，四边形中，、是对角线的三等分点，延长、，分别与、交于、，若、分别是、的中点．求证：四边形是平行四边形． 22. 人口老龄化是全球性人口发展大趋势，也是我国发展面临的重大挑战．阅读以下统计图并回答问题． （1）2020年，全国老年人口约为 亿（精确到0.1）； （2）1990～2020年间，全国人口增长最快的时间段是 （填序号）； ①1990～2000； ②2000～2010； ③2010～2020． （3）请结合上图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口老龄化相关的结论． 23. 如图，在中，，为的角平分线，交于点D，经过C、F、D三点的与交于点E，过点E作交于点T，交线段、分别于点K、H，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求半径及的长． 24. 如果一条直线和两个圆都相切，这条直线叫做两个圆的公切线．如果两圆在公切线的同侧，称这条公切线为两圆的外公切线，如果两圆分别在公切线的两侧，称这条公切线为两圆的内公切线． 如图，已知与，求作与的一条外公切线，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 25. 如图，是一张可以折叠的小床展开后支撑放在地面的示意图．图1是小床支撑脚CD折叠的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且．在折叠过程中，会先变形为四边形（点C，D分别处在点，），继续折叠后会形成一条线段（点，分别处在点，，且线段与AC共线）．已知，． （1）求CD的长度： （2）小床折叠过程中，如图2，当时，求的值． 26. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若点在抛物线上，求t的值； （2）若点，在抛物线上， ①当时，求a取值范围； ②若，且，直接写出a的取值范围． 27. 如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证：为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段上，求的值； （3）矩形中，，，直线交的延长线于点K．若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $