《1.3勾股定理的应用》导学案2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级数学《1.3勾股定理的应用》导学案 ( 一． 学习 目标 1.   能够熟练运用勾股定理解决实际生活中的简单问题，如计算距离、长度等。 2.   学会将立体图形中的问题转化为平面图形问题，利用勾股定理求解最短路径。 3.   掌握利用勾股定理逆定理判断三角形形状，解决实际场景中直角三角形的判定问题。 ) ( 二 ．重点难点 1.   重点 （1）勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，如测量、建筑等领域。 （2）理解并掌握立体图形（如圆柱、长方体）表面两点间最短路径问题的求解方法。 2.   难点 （1）如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找到直角三角形并运用勾股定理。 （2）立体图形展开图的分析，以及在展开图中确定直角三角形的各边长度。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理及其逆定理回顾： 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边为a、b ，斜边为c，则a2 + b2 = c2。例如在一个直角边分别为3和4的直角三角形中，斜边c2=32+ 42，c=5。 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. （二）实际问题应用 1.测量距离：在测量不可直接到达的两点间距离时，可构造直角三角形，通过测量直角边长度，利用勾股定理计算斜边长度。比如要测量池塘两端A、B的距离，可在池塘外选一点C，使AC与BC垂直，测量出AC = 6米，BC = 8米，根据勾股定理AB2=62+ 82=102,AB=米 。 2.建筑施工：判断一个三角形的地基是否为直角三角形，可测量三边长度，利用勾股定理逆定理判断。若三边a、b、c满足a2+ b2= c2，则该三角形是直角三角形。 （三）立体图形中的应用 1.圆柱表面最短路径：将圆柱侧面展开得到一个矩形，圆柱上两点间的最短路径就是展开图中连接这两点的线段长度。如圆柱高为h，底面圆周长为C，则展开图中矩形一边为h，另一边为C/2，两点间距离根据勾股定理d2=h2+ (C/2)2。 2.长方体表面最短路径：需要考虑多种展开方式，一般有三种展开情形，分别计算不同展开方式下两点间的距离，比较得出最小值。例如长方体长、宽、高分别为a、b、c，从一个顶点到相对顶点的最短路径需分情况计算，如展开前面和上面，路径长d12=(a + b)2+ c2；展开左面和上面，路径长d22=(b + c)2 + a2；展开前面和右面，路径长d32=(a + c)2 + b2，比较d1、d2、d3大小得到最短路径。 四、经典例题 （一）．利用勾股定理求面积 例1．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 例2.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 求S1+S2+S3. （二）．应用勾股定理解决“折竹”问题。 例3.九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ （三）．应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例4、如图1所示，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm 求 ①AD的长；②ΔABC的面积． （四）．勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 例5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2+b2＝c2．若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x．在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2＝c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2．小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高） （2）证明你猜想的结论是否正确． 例6.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5. (1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数． （五）．应用勾股定理:解决楼梯上铺地毯问题 例7.某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，求购买这种地毯至少需要多少元． （六）．应用勾股定理解决梯子的下滑问题 例8.如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. （七）：应用勾股定理解决折叠问题 例9．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD． （1）直接写出AB的长是　 　； （2）求CD的长． 例10.如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． （八）：应用勾股定理解决航行问题 例11.笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． （1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长． 例12.如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ （九）：应用勾股定理解决长方体（正方体）、圆柱、空间最短路径 例13.如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 例14.一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为多少？ （十）应用勾股定理解决台风、噪音问题 例15.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的 破坏力，据气象台观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为 12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东 30度的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变.若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否会受台风的影响？请说明理由 （2）若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 例16．如图，有两条公路OM、ON相交成30度角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【小结】应用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决实际问题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型。 基本思路和步骤如下： 1、明确问题，识别直角三角形 分析实际问题中的几何关系，判断是否存在直角三角形，或能否通过构造辅助线形成直角三角形（比如梯子靠墙、旗杆与地面垂直等场景）。确定直角三角形的三条边中，哪些边是已知的，哪些边是需要求解的。 2、设定未知数，对应边长 用字母（如a、b、c）表示直角三角形的三条边，其中直角所对的边为斜边c，另外两条为直角边a、b。根据题意，将已知数据对应到设定的边中，未知边用未知数表示。 3、应用勾股定理列方程 根据勾股定理a2 + b2 = c2，结合已知条件和设定的未知数，列出数学方程。 4.解方程，求出未知量 求解所列方程，得到未知边的长度（注意单位统一，结果需符合实际意义，比如长度为正数）。 五、易错点分析 1.实际问题建模错误：在将实际问题转化为数学模型时，不能准确判断直角三角形的边和角，导致无法正确运用勾股定理。比如在测量问题中，错误确定直角边和斜边。避免方法是仔细分析实际场景，多画图，明确各边关系。 2.立体图形展开图理解有误：在处理立体图形表面最短路径问题时，对展开图的形状和各边对应关系理解不清。如圆柱展开图中，不能正确理解底面圆周长与展开矩形边的关系；长方体展开时，不能全面考虑所有展开方式。解决办法是多进行立体图形展开的实际操作，增强空间想象能力。 3.计算错误：在运用勾股定理进行计算时，出现平方计算错误、开方错误等。平时计算要认真仔细，计算后可进行简单估算或代入原式检验结果的合理性。 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角三角形两直角边为a、b ，斜边为c，则___________________。 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足___________________，那么这个三角形是直角三角形。 3.圆柱侧面展开图中，若圆柱高为h，底面圆周长为C，则两点间最短路径d满足________。 4.长方体长、宽、高分别为a、b、c ，从一个顶点到相对顶点展开前面和上面时，路径长d1满足__________________；展开左面和上面时，路径长d2满足____________________；展开前面和右面时，路径长d3满足________________________. （二）强化训练 一．选择题 1．如图在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2.如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（  ）处． A．5m B．7m C．7.5m D．8m 3．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4.如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（　　） A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13 5.如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 6．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 7.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A．10 B．12 C．13 D．14 8.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（　　） A.5 B.7 C.4 D.5或7 9．如图所示，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（　　） A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm 10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 二．填空题 11.如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 12.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿　　　　方向航行。 13、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行_________. 14.如图一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为___-. 15.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________. 16．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是　 　． 三．解答题 17.沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向130 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=50 km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可远离危险?(游人撤离的速度大于台风中心移动的速度) 18．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°． （1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 19.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求：（1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 20．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版八年级数学《1.3勾股定理的应用》导学案 ( 一． 学习 目标 1.   能够熟练运用勾股定理解决实际生活中的简单问题，如计算距离、长度等。 2.   学会将立体图形中的问题转化为平面图形问题，利用勾股定理求解最短路径。 3.   掌握利用勾股定理逆定理判断三角形形状，解决实际场景中直角三角形的判定问题。 ) ( 二 ．重点难点 1.   重点 （1）勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，如测量、建筑等领域。 （2）理解并掌握立体图形（如圆柱、长方体）表面两点间最短路径问题的求解方法。 2.   难点 （1）如何从实际问题中抽象出数学模型，准确找到直角三角形并运用勾股定理。 （2）立体图形展开图的分析，以及在展开图中确定直角三角形的各边长度。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理及其逆定理回顾： 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边为a、b ，斜边为c，则a2 + b2 = c2。例如在一个直角边分别为3和4的直角三角形中，斜边c2=32+ 42，c=5。 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. （二）实际问题应用 1.测量距离：在测量不可直接到达的两点间距离时，可构造直角三角形，通过测量直角边长度，利用勾股定理计算斜边长度。比如要测量池塘两端A、B的距离，可在池塘外选一点C，使AC与BC垂直，测量出AC = 6米，BC = 8米，根据勾股定理AB2=62+ 82=102,AB=米 。 2.建筑施工：判断一个三角形的地基是否为直角三角形，可测量三边长度，利用勾股定理逆定理判断。若三边a、b、c满足a2+ b2= c2，则该三角形是直角三角形。 （三）立体图形中的应用 1.圆柱表面最短路径：将圆柱侧面展开得到一个矩形，圆柱上两点间的最短路径就是展开图中连接这两点的线段长度。如圆柱高为h，底面圆周长为C，则展开图中矩形一边为h，另一边为C/2，两点间距离根据勾股定理d2=h2+ (C/2)2。 2.长方体表面最短路径：需要考虑多种展开方式，一般有三种展开情形，分别计算不同展开方式下两点间的距离，比较得出最小值。例如长方体长、宽、高分别为a、b、c，从一个顶点到相对顶点的最短路径需分情况计算，如展开前面和上面，路径长d12=(a + b)2+ c2；展开左面和上面，路径长d22=(b + c)2 + a2；展开前面和右面，路径长d32=(a + c)2 + b2，比较d1、d2、d3大小得到最短路径。 四、经典例题 （一）．利用勾股定理求面积 例1．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 解：由勾股定理得c2=32+ 42，c=5（cm），∴长方形的面积为5×1＝5（cm2）． 例2.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 求S1+S2+S3. 解：过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I， ∴∠I=∠DFE=90°，∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，∴∠AEI=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEI≌△DEF(AAS)，∴AI=DF，∵EH=EF，∴S△AHE=S△DEF ， 同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF ， S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF ， ∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16， ∴DE2=DF2+EF2,∴△DEF是Rt三角形，且∠DFE=90°，∴S△DEF= ×3×4=6，∴S1+S2+S3=18.故答案为：18. （二）．应用勾股定理解决“折竹”问题。 例3.九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 解：如图， 我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA＝x，则AB＝10－x．∵∠AOB＝90°， ∴OA2＋OB2＝AB2，∴x2＋32＝（10－x）2．x=；答：折断处离地面尺高。 （三）．应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例4、如图1所示，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm 求 ①AD的长；②ΔABC的面积． 解：AB=AC，ADLBC:.BD=DC·∵BC=6，∴BD=DC=3；在Rt△ABD中,AD²=1B²-BD²=5²-3² AD=4cm， S△ABC=xB0xAD=x6x4=12(cm²) （四）．勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 例5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图①，若∠C＝90°，则有a2+b2＝c2．若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x．在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2＝c2+2ax．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2．小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高） （2）证明你猜想的结论是否正确． 解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2 的大小关系为：a2+b2＜c2； （2）如图③，过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x，在Rt△ADC中，AD2＝b2﹣x2， 在Rt△ADB中，AD2＝c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2＝c2﹣（a+x）2，∴a2+b2＝c2﹣2ax， ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2即当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2． 例6.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5. (1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数． 解：(1)△DEC是直角三角形，理由如下：因为△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，所以△CBE≌△ABD.所以BE＝BD＝3，CE＝AD＝4.又因为∠DBE＝60°，所以△BDE是等边三角形．所以DE＝BD＝3.又因为CD＝5，所以DE2＋CE2＝32＋42＝25＝52＝CD2.所以△DEC是直角三角形． (2)由(1)，得∠DEC＝90°，△BDE是等边三角形，所以∠BED＝60°.所以∠BEC＝90°＋60°＝150°.因为△ABD≌△CBE，所以∠ADB＝∠BEC＝150°. （五）．应用勾股定理:解决楼梯上铺地毯问题 例7.某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，求购买这种地毯至少需要多少元． 解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m，52-32=42 水平直角边是4m， 购买这种地毯的长是3m+4m=7m，楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元 价格是7×2×20=280元．故答案为280． （六）．应用勾股定理解决梯子的下滑问题 例8.如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. 解:(1)在Rt△AOB中, OB2=AB2-AO2=2.52-2.42=0.49,∴OB=0.7 m.∵AO=2.4 m,AC=0.4 m, ∴CO=2 m.在Rt△DOC中, DO2=CD2-CO2=2.52-22=2.25,∴DO=1.5 m,∴BD=DO-BO=1.5-0.7 =0.8 m,故梯子的底端B外移了0.8 m. (2)不能防止梯子下滑.理由:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,梯子顶端若下滑,绳子的长度不变,并不拉伸,不能防止梯子下滑. （七）：应用勾股定理解决折叠问题 例9．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD． （1）直接写出AB的长是　 　； （2）求CD的长． 解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB2=AC2+BC2 AB=10，故答案为：10； （2）由折叠的性质可知，AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE， ∴DC＝DE，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x， ∵DE⊥BE，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，即CD的长是3． 例10.如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 解：（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'FE＝∠B'EF，∴B'F＝B'E，∴B'E＝BF． （2）a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c，由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，∴A'E2+A'B'2＝B'E2，∴a2+b2＝c2． （八）：应用勾股定理解决航行问题 例11.笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． （1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长． 解：（1）△HBC是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=42+32=25，BC2=25， ∴CH2+BH2=BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°； （2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-3）2+42，解这个方程，得x=， 答：原来的路线AC的长为千米． 例12.如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，，甲轮船以16海里小时的速度航行了一个半小时，海里，海里，在中， AO2=AB2-OB2=302-242=182 AO=18，乙轮船每小时航行海里． （九）：应用勾股定理解决长方体（正方体）、圆柱、空间最短路径 例13.如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 解：如图所示：可以把和展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长，矩形的宽，在直角三角形中，，，根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2=82+62=102．AB=10cm。 例14.一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为多少？ 解：侧面对角线，，，AB2=BC2+AC2=52+122=132，空木箱能放的最大长度为， （十）应用勾股定理解决台风、噪音问题 例15.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的 破坏力，据气象台观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为 12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东 30度的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变.若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否会受台风的影响？请说明理由 （2）若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于．在中，，， ，城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，受台风影响范围的半径为．，该城市会受到这次台风的影响． （2）如图以为圆心，200为半径作交于、．则．DE2=2002-1202=1602台风影响该市持续的路程为：EC=2DE=320． 台风影响该市的持续时间（小时）． （3）距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为： （级． 例16．如图，有两条公路OM、ON相交成30度角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 解：（1）作于，，，， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离．（2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，，，在中，BD2=AB2-AD2=502-402=302,BD=30m，，重型运输卡车的速度为18千米时米分钟，重型运输卡车经过的时间分钟秒，答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 【小结】应用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决实际问题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型。 基本思路和步骤如下： 1、明确问题，识别直角三角形 分析实际问题中的几何关系，判断是否存在直角三角形，或能否通过构造辅助线形成直角三角形（比如梯子靠墙、旗杆与地面垂直等场景）。确定直角三角形的三条边中，哪些边是已知的，哪些边是需要求解的。 2、设定未知数，对应边长 用字母（如a、b、c）表示直角三角形的三条边，其中直角所对的边为斜边c，另外两条为直角边a、b。根据题意，将已知数据对应到设定的边中，未知边用未知数表示。 3、应用勾股定理列方程 根据勾股定理a2 + b2 = c2，结合已知条件和设定的未知数，列出数学方程。 4.解方程，求出未知量 求解所列方程，得到未知边的长度（注意单位统一，结果需符合实际意义，比如长度为正数）。 五、易错点分析 1.实际问题建模错误：在将实际问题转化为数学模型时，不能准确判断直角三角形的边和角，导致无法正确运用勾股定理。比如在测量问题中，错误确定直角边和斜边。避免方法是仔细分析实际场景，多画图，明确各边关系。 2.立体图形展开图理解有误：在处理立体图形表面最短路径问题时，对展开图的形状和各边对应关系理解不清。如圆柱展开图中，不能正确理解底面圆周长与展开矩形边的关系；长方体展开时，不能全面考虑所有展开方式。解决办法是多进行立体图形展开的实际操作，增强空间想象能力。 3.计算错误：在运用勾股定理进行计算时，出现平方计算错误、开方错误等。平时计算要认真仔细，计算后可进行简单估算或代入原式检验结果的合理性。 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角三角形两直角边为a、b ，斜边为c，则___________________。 【答案】a2 + b2= c2 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足___________________，那么这个三角形是直角三角形。 【答案】a2 + b2= c2 3.圆柱侧面展开图中，若圆柱高为h，底面圆周长为C，则两点间最短路径d满足________。 【答案】d2=h2+ (C/2)2 4.长方体长、宽、高分别为a、b、c ，从一个顶点到相对顶点展开前面和上面时，路径长d1满足__________________；展开左面和上面时，路径长d2满足____________________；展开前面和右面时，路径长d3满足________________________. 【答案】d12=(a + b)2+ c2 d22=(b + c)2 + a2 d32=(a + c)2 + b2 （二）强化训练 一．选择题 1．如图在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 2.如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（  ）处． A．5m B．7m C．7.5m D．8m 【答案】：D 【解析】：设树顶端落在离树底部xm，由题意得：62+x2=（16-6）2，解得：x1=8，x2=-8（不符合题意，舍去）．所以，树顶端落在离树底部8m处．故选：D． 3．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解答】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C． 4.如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（　　） A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13 【答案】D 【解析】如图，过A作AB⊥BC于B，∵下底面半径是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5， ∴AC＝13，∴a的长度的取值范围是5≤a≤13，故选D． 5.如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 【答案】A 【解析】设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得：∵DE＝CE，∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故102+x2＝（25﹣x）2+152，解得：x＝15，则BE＝25﹣15＝10（km）．故选：A． 6．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】A 【解析】由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，由勾股定理，得CE＝4 m，故离门4米远的地方，灯刚好发光，故答案为：A. 7.如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】设水深为x尺则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C． 8.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（　　） A.5 B.7 C.4 D.5或7 【答案】D 【解析】∵a2-6a+9+|b﹣4|=0，∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，∴a=3，b=4， ∴直角三角形的第三边长=42+32=5，或直角三角形的第三边长=42-32=7 ， ∴直角三角形的第三边长为5或7 ， 故选D． 9．如图所示，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（　　） A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm 【答案】D 【解析】如图，将圆柱的侧面的展开图是矩形ACBD，由题意得AC=30cm，∵BC⊥AC， ∴AB=50cm.故答案为：D. 10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【解析】∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝ ＝10，∴DN＋MN的最小值是10． 故答案为：C． 二．填空题 11.如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144，∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 12.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿　　　　方向航行。 【答案】北偏东50° 【解析】　由题意可知 AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里.∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∴∠APB=90°,由题意知∠1=40°,∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°,即乙船沿北偏东50°方向航行.故答案为北偏东50°. 13、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行_________. 【答案】：10米 【解析】：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米， 在Rt△AEC中，AC=10（米）． 14.如图一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为___-. 【答案】：10米 【解析】：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=10（米）， 15.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为________. 【答案】12cm 【解析】根据题意，画出图形，BC=5m，如图： 设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，在 中，由勾股定理得： ，即 解得： ，即旗杆的高为12m． 16．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是　 　． 【答案】25cm 【解析】只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB2=625； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB2= 725； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB2= 925 ∵625＜725＜925∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm． 三．解答题 17.沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向130 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=50 km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可远离危险?(游人撤离的速度大于台风中心移动的速度) 解：在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,∴BD2=AB2-AD2=1302-502=14 400=1202, ∴BD=120 km,则台风中心经过120÷15=8小时从B点移动到D点.如图,∵距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险,∴人们要在台风中心到达E点之前撤离, ∵BE=BD-DE=120-30=90(km),∴游人在90÷15=6小时内撤离才可远离危险. 18．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°． （1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 解：（1）连接AC，技术人员测量的是A，C两点之间的距离，确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理； （2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2）， S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， ∴150×114＝17100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元． 19.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求：（1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 解：（1）如图：作AE⊥OM，BF⊥OM，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，AE＝OF 即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），∴2EO+EF＝17， 则2×EO＝10，∴OE＝5m，OF＝12m，∴OM＝OF+FM＝15m， （2）由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13，∴MN＝15﹣13＝2（m）． 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米， 20．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 解：（1）由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，又∵CEDC＝4cm，∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm； (2)在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，由勾股定理得DE2=CD2+CE2=82+42=80cm2， 如图，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知AM＝DG，MG＝BC＝CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+∠MIE＝90°，∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），∴∠NMG＝∠EDC．在△MNG与△DEC中，，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN＝DE，∴MN2＝DE2=80cm2，∴以MN为边长的正方形的面积＝80cm2． （3）∵△MNG≌△DEC∴GN＝CE＝4cm，∴DG＝CD﹣CN﹣GN＝8﹣3﹣4＝1cm．∴AM＝DG＝1cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$