1.3 勾股定理的应用（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. 知识回顾 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 新知探究 问题：装修工人李叔叔想要检测雕塑底座正面的 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解：连接对角线 AC，只要分别量出AB、BC、AC 的长度即可. AB2 + BC2 = AC2 △ABC 为直角三角形 新知探究 （2）如果量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 cm，BD 长是 50 cm，那么 AD 边垂直于 AB 边吗？ 解：AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2， 故∠DAB=90°， 即 AD 边垂直于 AB 边. 新知探究 （3）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？ 解：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直. N M 典例分析 你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 方法技巧 例1. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 典例分析 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺. 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2， 即 52+x2=(x+1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x=24， ∴ x=12，x+1=13. 答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. 归纳总结 （1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面） （2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形） （3）运用勾股定理求出两点之间的距离. 立体图形 平面图形 直角三角形模型 展开 勾股定理 典例分析 根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 方法技巧 例2.某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航” 号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 小明 典例分析 方法技巧 解：设“远航”号轮船为 Q，“海天”号轮船为 R，根据题意可画出如图 1-3-5 的示意图，由题意可得RP=18 海里，PQ =24 海里，QR=30海里 . 因为 182+242=302，所以△ RPQ 是直角三角形， 且∠RPQ =90° . 因为“远航”号沿东北方向航行， 所以“海天”号沿西北方向航行 . 根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 方法技巧 利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长 利用勾股定理及其逆定理求最值 题型一 题型探究 小明 例3.如图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长. 已知滑梯的高度 CE=3m，CD=1m，试求滑道 AC 的长. 故滑道 AC 的长为 5 m. 解：设滑道 AC 的长为 x m，则AB的长也为x m，AE 的长为(x-1) m. 在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°， 由勾股定理得 AE2 + CE2 = AC2， 即 (x - 1)2 + 32 = x2， 解得 x = 5. 课堂小结 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 变式训练 1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 变式训练 2.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现 AB＝CD＝6m，AD＝BC＝8m，AC＝BD＝10 m，请你帮他看一下挖的地基是否合格. 解：因为AD2＋CD2＝82＋62＝100＝102＝AC2， 所以△ACD 是直角三角形，∠ADC ＝ 90°. 同理，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝ 90°， 所以四边形ABCD 四个角都是直角， 所以王叔叔所挖的地基合格. 变式训练 3.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆 AB 的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 2 m； ② 将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为 9 m(如图) . 根据以上信息，求旗杆AB 的高度 . 变式训练 解：设AB＝x m，则易得AE＝(x－1)m，AC＝(x＋2)m. 在Rt△ACE中，根据勾股定理， 得AC2＝AE2＋CE2， 所以(x＋2)2＝(x－1)2＋92，解得x＝13. 故旗杆AB的高度为13 m. 感谢聆听! $$