1.3 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式进行因式分解”，通过复习平方差公式因式分解题目导入，引导学生类比迁移，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于通过探究式计算填空培养抽象能力，典例分层设计（含公因式、符号、分解彻底等）培养推理意识和运算能力，当堂检测结合简便计算、代数求值培养模型意识。如例7强调分解需彻底，检测题将方程与因式分解结合，助力学生提升综合运用能力，为教师提供清晰教学路径和分层练习资源。

第1章 因式分解 1.3 公式法 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 22051 1. 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，灵活运用完全平方公式把多项式分解因式. 2. 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解． 学习目标 22051 分解下列因式： (1)x2－4y2； (2)(x＋3y)2－(x－3y)2. 解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)； (2)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y)＝12xy. 根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解吗？ 复习导入 22051 探究：计算下列各式： (1)(a－2b)2＝________________； (2)(7a－b)2＝________________； (3)(3a－2b)2＝_______________． a2－4ab＋4b2 49a2－14ab＋b2 9a2－12ab＋4b2 请你根据上面的算式填空，你发现了什么？ (1)a2－4ab＋4b2＝______________； (2)49a2－14ab＋b2＝____________； (3)9a2－12ab＋4b2＝____________ ． (a－2b)2 (7a－b)2 (3a－2b)2 新知讲解 22051 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 整式乘法 (x±y)2=x2±2xy＋y2 因式分解 x2±2xy＋y2=(x±y)2 归纳 22051 x²＋4x＋4＝ . 在完全平方公式中，将 y 用 2 代入得到等式： 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²－25因式分解： 如何把x²＋4x＋4因式分解？ . 这种方法就是利用完全平方公式进行因式分解． 新知讲解 22051 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解： 分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 ，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 典例精析 22051 议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ x2±2xy＋y2=(x±y)2 1、必须是三项式（三项）； 2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同； 3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负. 能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 新知讲解 22051 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². 分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2) 然后再利用公式因式分解. 典例精析 22051 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 解：(2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； 典例精析 22051 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² ＝(x²－1)² 归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号． 注意:分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 到这一步，因式分解完了没有呢？ ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 典例精析 22051 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 归纳：完全平方公式中的x、y无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解. 新知讲解 22051 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 (1)要求多项式有三项； (2)其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 课堂小结 22051 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由. （1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25； （3） 9x2 y2 - 3xy + 1； （4）-2xy - x2 - y2. 解：(1)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点. (2)不能用， x2 与-25不同号. (3)不能用，- 3xy不是首尾项之积的2倍. (4)能用，符合完全平方公式分解因式的结构特点. 当堂检测 基础 22051 2.因式分解： （1） ； 解：(1)原式 . （2） . (2) . 当堂检测 基础 22051 15 3.利用完全平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 = 1. = 2500. 当堂检测 提升 22051 4.已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值. 解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29 因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0， 所以 x - 2＝0，y - 5＝0， 所以 x＝2，y＝5. 所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2＝ 112 ＝ 121. 几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0 ＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25 ＝ (x - 2)2 + (y - 5)2＝0， 当堂检测 提升 22051 $$