3.2 代数式的概念 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册

3.2 代数式的概念 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、代数式的概念 1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 2. 特别规定：单独一个数（如-3、0、π）或一个字母（如a、x、y）也是代数式。 3. 注意：代数式中不含等号（=）、不等号（>、<、≥、≤、≠）等关系符号。 二、代数式的书写规范 1. 乘法运算： 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可写作"·"或省略不写（如a×b可写作a·b或ab） 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面（如3×x应写作3x，不能写作x3） 带分数与字母相乘时，必须化为假分数 2. 除法运算： 除法运算必须写成分数形式 3. 系数规范： 当系数是1或-1时，"1"通常省略不写（如1x写作x，-1x写作-x） 4. 单位表示： 若代数式是和或差的形式，后面有单位时，代数式必须加括号（如(a+b)厘米，不能写作a+b厘米） 5. 乘方表示： 相同字母的乘积要写成乘方形式（如a×a应写作a²） 三、列代数式 1. 定义：把问题中的数量关系用代数式表示出来的过程。 2. 方法步骤： 抓住关键词（如"和、差、积、商、倍、分、平方"等） 明确运算顺序（先读先写，必要时添加括号改变运算顺序） 根据实际问题中的基本数量关系列代数式3. 实例： "x的3倍与5的差"表示为3x-5 "a与b两数平方的差"表示为a²-b² "m与n的和的平方"表示为(m+n)² 四、代数式的意义 1.代数意义：表示运算关系（如2a+b表示a的2倍与b 的和） 2.实际意义:同一代数式可表示不同实际情境 3a可表示"3个a元的笔记本总价" 也可表示"边长为a的等边三角形周长" 3.几何意义:可表示图形的面积、周长等量（如πr²表示半径为r的圆面积） 五、代数式的值 1. 定义**:当字母取定一个数值时，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。 2. 求代数式值的步骤**: 代入:用具体数值代替代数式中的字母 计算:按照指定运算顺序计算结果 3.注意事项: -字母取值必须使代数式有意义 -代入负数或分数时要加括号 -计算时遵循运算顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内） 六、易错点提示 1. 区分代数式与等式/不等式（如x+2=5是等式，不是代数式） 2. 书写规范易错点： 避免 避免 避免"(a+b)2"应写作"2(a+b)"或"(a+b)·2" 3. 列代数式时注意运算顺序（如"a与b的差的平方"是(a-b)²，不是a-b²） 巩固练习 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　）． A．的常数项为0 B．的系数是 C．的次数是2 D．的次数是3 2．单项式的系数和次数分别是（　　） A．2和1 B．和2 C．和2 D．和2 3．下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　） A． B． C． D． 4．在代数式 中，单项式与多项式各有 (　　) A．5个，1个 B．5个，2个 C．4个，1个 D．4个，2个 5．一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（　　） A． B． C． D． 6．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，则第2020次输出的结果为（　　） A．3 B．27 C．9 D．1 7．四四跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐点总共为16份意大利面，x杯饮料，y个蛋挞，则他们点了几份A餐 A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料与两个蛋挞 A．16-x B．16-x- C．16- D．16-x+ 8．一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 二、填空题 9． 用代数式表示 " 的 2 倍与 3 的差" 为　 　。 10．单项式的系数为　 　． 11．若x表示一个两位数，把2放在x的左边，组成的一个三位数是　 　． 12．小强购买绿、橙两种颜色的珠子串成一条手链，已知绿色珠子m个，每个2元，橙色珠子n个，每个5元，那么小强购买珠子需花费　 　元． 13．打年糕是宁波过年的传统习俗，预示着丰收，希望来年有好收成．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使重量增加 ．如果原有糯米 斤，则做成年糕后重量为　 　斤（用含 的代数式表示）． 14．某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级（一）班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少　 　人 三、解答题 15．如图所示是某建筑物的窗框，上半部分为半圆形，下半部分为长方形，已知长方形的长、宽分别为a米、b米，问制作这个窗框需要材料多少米? 16．某校决定采购一批某品牌的足球和跳绳，经市场调查发现，足球每个定价129元，跳绳每根定价19元．现有A，B两家商店提出了各自的优惠方案．A商店：买一个足球送一根跳绳；B商店：足球和跳绳都按定价的90%销售，已知学校要采购足球100个，跳绳x根（）． （1）请用含x的式子分别表示在这两家商店购买，各需付款多少元？ （2）若，通过计算说明此时在哪家商店购买较为划算？ 17．如图所示，将面积为a2的小正方形和面积为b2 的大正方形放在同一水平面上(b>a>0). （1）用含 a，b的代数式表示阴影部分的面积. （2）当a=3，b=4时，求阴影部分的面积. 18．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费元，当研学人数超过人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交元后，每人收费元； 为案二：人免费，其余每人收费打九折九折即原价的 （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费　 　元； 用方案二共收费　 　元； （2）当参加旅游的总人数是人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 19．为了让同学们更爱护城市环境卫生， 养成不乱扔垃圾的好习惯， 某校组织七年级三个班在洺湖、植物园一带收捡随意丢弃的矿泉水瓶，一班捡了 个废弃的瓶子，二班捡的瓶子比一班的 2 倍少 5 个， 三班捡的瓶子比一班的 倍还多 10 个. （1） 求这三个班共捡瓶子多少个? （2） 计算当 时， 这三个班共捡了多个瓶子? 20． 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍6副，乒乓球盒． （1）用代数式表示：在甲店购买需付款　 　元；在乙店购买需付款　 　元； （2）当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 代数式的概念 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、代数式的概念 1. 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 2. 特别规定：单独一个数（如-3、0、π）或一个字母（如a、x、y）也是代数式。 3. 注意：代数式中不含等号（=）、不等号（>、<、≥、≤、≠）等关系符号。 二、代数式的书写规范 1. 乘法运算： 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可写作"·"或省略不写（如a×b可写作a·b或ab） 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面（如3×x应写作3x，不能写作x3） 带分数与字母相乘时，必须化为假分数 2. 除法运算： 除法运算必须写成分数形式 3. 系数规范： 当系数是1或-1时，"1"通常省略不写（如1x写作x，-1x写作-x） 4. 单位表示： 若代数式是和或差的形式，后面有单位时，代数式必须加括号（如(a+b)厘米，不能写作a+b厘米） 5. 乘方表示： 相同字母的乘积要写成乘方形式（如a×a应写作a²） 三、列代数式 1. 定义：把问题中的数量关系用代数式表示出来的过程。 2. 方法步骤： 抓住关键词（如"和、差、积、商、倍、分、平方"等） 明确运算顺序（先读先写，必要时添加括号改变运算顺序） 根据实际问题中的基本数量关系列代数式3. 实例： "x的3倍与5的差"表示为3x-5 "a与b两数平方的差"表示为a²-b² "m与n的和的平方"表示为(m+n)² 四、代数式的意义 1.代数意义：表示运算关系（如2a+b表示a的2倍与b 的和） 2.实际意义:同一代数式可表示不同实际情境 3a可表示"3个a元的笔记本总价" 也可表示"边长为a的等边三角形周长" 3.几何意义:可表示图形的面积、周长等量（如πr²表示半径为r的圆面积） 五、代数式的值 1. 定义**:当字母取定一个数值时，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。 2. 求代数式值的步骤**: 代入:用具体数值代替代数式中的字母 计算:按照指定运算顺序计算结果 3.注意事项: -字母取值必须使代数式有意义 -代入负数或分数时要加括号 -计算时遵循运算顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内） 六、易错点提示 1. 区分代数式与等式/不等式（如x+2=5是等式，不是代数式） 2. 书写规范易错点： 避免 避免 避免"(a+b)2"应写作"2(a+b)"或"(a+b)·2" 3. 列代数式时注意运算顺序（如"a与b的差的平方"是(a-b)²，不是a-b²） 巩固练习 一、选择题 1．下列说法正确的是（　　）． A．的常数项为0 B．的系数是 C．的次数是2 D．的次数是3 【答案】A 【解析】【解答】解：A中，由的常数项为0，故A符合题意； B中，由的系数是，故B不符合题意； C中，由的次数是3，故C不符合题意； D中，由的次数是2，故D不符合题意； 故选：A． 【分析】本题考查了单项式的系数、次数以及多项式的项、项数或次数，其中单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，据此进行，逐项分析作答，即可得到答案． 2．单项式的系数和次数分别是（　　） A．2和1 B．和2 C．和2 D．和2 【答案】C 【解析】【解答】解：单项式的系数是，次数是2． 故选：C． 【分析】本题主要考查了单项式的基本概念，其中单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此分析求解，即可得到答案. 3．下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】A、应该写成，故A不符合题意； B、应该写成，故不符合题意； C、符合书写要求，故C符合题意； D、2y÷x应该写成，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用代数式的书写要求，对各选项逐一判断。 4．在代数式 中，单项式与多项式各有 (　　) A．5个，1个 B．5个，2个 C．4个，1个 D．4个，2个 【答案】B 【解析】【解答】解：代数式中，单项式有：； 多项式有： 【分析】根据单项式和多项式定义进行分类即可： 单项式：只有字母与数字的乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数字或字母也是单项式； 多项式：几个单项式的和叫做多项式. 5．一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：空白部分合并以后是一个边长为的正方形，则花圃中空白部分的面积可以表示为， 故答案为：D． 【分析】利用割补后得到空白部分是一个边长为的正方形解题即可． 6．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，则第2020次输出的结果为（　　） A．3 B．27 C．9 D．1 【答案】D 【解析】【解答】解：由题可知，第一次输出27，第二次输出9，第三次输出3，第四次输出1，第五次输出3，第六次输出1，……由此可得，从第三次开始，每两次一个循环， ∵（2020-2）÷2=1009， ∴第2020次输出结果与第4次输出结果一样， ∴第2020次输出的结果为1， 故答案为：D． 【分析】本题考查数字的变化规律.通过计算可得：第一次输出27，第二次输出9，第三次输出3，第四次输出1，第五次输出3，第六次输出1，……通过计算可得：从第三次开始，每两次一个循环，据此可得：（2020-2）÷2=1009，进而可推出第2020次输出结果与第4次输出结果一样，据此可选出答案． 7．四四跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单，若他们所点的餐点总共为16份意大利面，x杯饮料，y个蛋挞，则他们点了几份A餐 A餐：一份意大利面 B餐：一份意大利面加一杯饮料 C餐：一份意大利面加一杯饮料与两个蛋挞 A．16-x B．16-x- C．16- D．16-x+ 【答案】A 【解析】【解答】解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面， ∴点A餐为 故答案为：A. 【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面解题即可. 8．一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 由图可知：①②③的面积之和是： 平方厘米 答：现在的面积比原来增加了平方厘米． 故答案为：C． 【分析】本题考查列代数式，长方形、正方形面积公．如图，原长方形的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么增加的面积的面积的面积的面积；从图中可知，①是一个长厘米、宽1厘米的长方形，②是一个长厘米、宽1厘米的长方形，③是一个边长为1厘米的正方形；根据长方形的面积长宽，正方形的面积边长边长，再代入数据可得：①②③的面积之和是：平方厘米，再进行化简可求出答案. 二、填空题 9． 用代数式表示 " 的 2 倍与 3 的差" 为　 　。 【答案】2a-3 【解析】【解答】解：由题意得2a-3． 故答案为：2a-3． 【分析】a的2倍即为2a，再减去3即可． 10．单项式的系数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵单项式， ∴ 单项式 的系数为. 故答案为： 【分析】单项式中数字因数是单项式的系数，据此可得答案. 11．若x表示一个两位数，把2放在x的左边，组成的一个三位数是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：三位数是， 故答案为：． 【分析】本题考查列代数式的运算，把数字2放在的左边，2在百位上，由此表示出这个三位数，即可得到答案． 12．小强购买绿、橙两种颜色的珠子串成一条手链，已知绿色珠子m个，每个2元，橙色珠子n个，每个5元，那么小强购买珠子需花费　 　元． 【答案】 【解析】【解答】解：∵绿色珠子每个2元，橙色珠子每个5元， ∴小强购买珠子共需花费元． 故答案为：． 【分析】本题主要考查了列代数式，根据绿色珠子每个2元，橙色珠子每个5元，结合绿色珠子m个，橙色珠子n个，利用代数式的书写要求，即可得到手链的价格，得到答案． 13．打年糕是宁波过年的传统习俗，预示着丰收，希望来年有好收成．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使重量增加 ．如果原有糯米 斤，则做成年糕后重量为　 　斤（用含 的代数式表示）． 【答案】1.2x 【解析】【解答】解：做成年糕后重量为(1+ 20%)x=1.2x， 故答案为：1.2x. 【分析】根据题意列出代数式即可. 14．某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级（一）班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少　 　人 【答案】9 【解析】【解答】解：设三年级（一）班a人，四年级（二）班b人，则三年级（二）班（a−4）人，四年级（一）班（b-5）人， 由题意可得，b-5＋b-（a＋a-4）＝17， ∴2b-2a＝18， ∴b-a＝9， ∴三年级（一）班比四年级（二）班少9人， 故答案为：9． 【分析】设三年级（一）班a人，四年级（二）班b人，则三年级（二）班（a−4）人，四年级（一）班（b−5）人，由题意可得b−5＋b−（a＋a−4）＝17，据此可得b−a＝9，即可求解． 三、解答题 15．如图所示是某建筑物的窗框，上半部分为半圆形，下半部分为长方形，已知长方形的长、宽分别为a米、b米，问制作这个窗框需要材料多少米? 【答案】解：窗框的周长＝半圆的周长＋长方形的周长 =（ ）米. 【解析】【分析】窗户的上半部分为半圆形，下半部分为长方形，所以窗框的周长＝半圆的周长＋长方形的周长，根据图上给出的数据代入半圆和长方形的周长公式计算即可． 16．某校决定采购一批某品牌的足球和跳绳，经市场调查发现，足球每个定价129元，跳绳每根定价19元．现有A，B两家商店提出了各自的优惠方案．A商店：买一个足球送一根跳绳；B商店：足球和跳绳都按定价的90%销售，已知学校要采购足球100个，跳绳x根（）． （1）请用含x的式子分别表示在这两家商店购买，各需付款多少元？ （2）若，通过计算说明此时在哪家商店购买较为划算？ 【答案】（1）解：在网店购买，需付款为：（元）， 在网店购买，需付款为：（元）； （2）解：当时，，， ∵， ∴在A商店购买较为划算． 【解析】【分析】（1）利用足球的单价×足球的数量+跳绳的单价×去掉优惠后跳绳的数量，得出A网店的付款；再利用足球的单价×足球的数量+跳绳的单价×跳绳的数量的总和×90%，得出B网店的付款，即可得到答案； （2）把，代数（1）中的代数式先分别求代数式和，进行求值，然后比较大小，即可得到答案． （1）解：在网店购买，需付款为：（元）， 在网店购买，需付款为：（元）； （2）解：当时，， ， ∵， ∴在A商店购买较为划算． 17．如图所示，将面积为a2的小正方形和面积为b2 的大正方形放在同一水平面上(b>a>0). （1）用含 a，b的代数式表示阴影部分的面积. （2）当a=3，b=4时，求阴影部分的面积. 【答案】（1）解：阴影部分的面积为 （2）解：当a=3，b=4时， 则阴影部分的面积为 【解析】【分析】（1）由图可知，阴影部分的面积=以直角边长为a、b构成的三角形面积+直角边长均为b的三角形面积；（2）代入a、b值到（1）所求得的代数式计算即可. 18．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费元，当研学人数超过人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交元后，每人收费元； 为案二：人免费，其余每人收费打九折九折即原价的 （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费　 　元； 用方案二共收费　 　元； （2）当参加旅游的总人数是人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】（1）； （2）解：把代入元， 把代入元， ， 方案二省钱； 【解析】【解答】解：（1）方案一的收费为：（1500＋240x）元，方案二收费为：300×0.9（x-5）＝270（x-5）＝（270x-1350）元； 故答案为：（1500＋240x）；（270x−1350）． 【分析】（1）方案一的收费为：（1500＋240x）元，方案二收费为：（270x−1350）元； （2）把x＝80代入两个代数式，进而比较即可． 19．为了让同学们更爱护城市环境卫生， 养成不乱扔垃圾的好习惯， 某校组织七年级三个班在洺湖、植物园一带收捡随意丢弃的矿泉水瓶，一班捡了 个废弃的瓶子，二班捡的瓶子比一班的 2 倍少 5 个， 三班捡的瓶子比一班的 倍还多 10 个. （1） 求这三个班共捡瓶子多少个? （2） 计算当 时， 这三个班共捡了多个瓶子? 【答案】（1）解：根据题意可得：二班捡的瓶子为 个，三班的为 个， ∴三个班共捡的瓶子的数量为：， 答：这三个班共捡瓶子 个 （2）解：当 时， ， 答：这三个班共捡了 215 个瓶子。 【解析】【分析】（1）先根据题干中数据之间的关系求出二班和三班的数量，再列出算式求解即可； （2）将x=60代入计算即可. 20． 某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠．该班需购买球拍6副，乒乓球盒． （1）用代数式表示：在甲店购买需付款　 　元；在乙店购买需付款　 　元； （2）当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：当购买20盒乒乓球时， 到甲店需付款： （元）， 到乙店需付款： （元）， ∵， ∴到甲店合算． 【解析】【解答】解：（1）到甲店购买时，根据题意 ，因此赠送乒乓球6盒，超出6盒部分的乒乓球需付钱， 所以到甲店购买需付 （元）， 到乙店购买时需付 （元）， 故答案为，． 【分析】（1）基本关系： 购买需付款= 购买乒乓球费用+购买球拍费用， 金额=单价×数量，售价=定价×折扣，据此列代数式即可； （2）将x=20代入（1）中的代数式计算后进行比较即可； 学科网（北京）股份有限公司 $$