4.函数的概念及其表示复习专题-2025届高三数学一轮复习全题型

石可破也，而不可夺坚；丹可磨也，而不可夺赤． 函数的概念与性质 【函数的概念及其表示】 基础知识梳理 一、函数的概念 1.函数的概念 (1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域．显然值域是集合的子集． 2.函数三要素：定义域、值域、对应法则． 3.同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同． 二、函数的定义域 1.函数的定义域 函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合． 2.具体函数定义域的求法： ①分式中的分母不为0； ②偶次方根下的数（或式）大于或等于0； ③零指数幂的底数不为0； ④指数式的底数大于0且不等于1； ⑤对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； ⑥正切函数且，； ⑦实际问题具体分析． 3.复合函数的定义域的求法 (1)复合函数的概念 如果函数的定义域为，函数的定义域为，值域为，则当时，称函数为与在上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内层函数，叫做外层函数． (2)核心：①定义域指的是的取值范围；②“( )”内的取值范围是等同的， 即． 三、函数的值域 1.函数的值域 对于函数，与的值相对应的值叫函数值．函数值的集合叫函数的值域． 2.基本初等函数的值域 (1)的值域是． (2)的值域是： 当时，值域为； 当时，值域为． (3)的值域是． (4)且的值域是． (5)且的值域是． 3.求函数值域的常用方法 (1)观察法：根据最基本函数值域（如，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． (2)配方法：与二次函数有关的函数，可用配方法(注意定义域)； (3)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当时可利用单调性法． (4)换元法：形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域(注意)； (5)分离常数法：形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，可转换为，这种函数的值域为； (6)判别式法：形如(、中至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元． (7)数形结合法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． (8)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． (9)有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． (10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域． 四、求函数的解析式 1.函数表示法： (1)列表法；(2)图象法；(3)解析法：函数书写方式为，． 2.求函数解析式的方法 (1)赋值法：对于自变量多于一个的函数方程，将其中一个或几个自变量用一些特殊值代入原方程，从而简化方程，达到求解的目的． (2)配凑法：已知的解析式，要求的解析式时，可先从的解析式中配凑出，即用表示，再将解析式两边的用代替即可． (3)换元法：已知的解析式，要求的解析式时，也可令，注意新元的取值范围，求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可． (4)待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入已知条件解方程(组)，求出参数，即可确定函数解析式． (5)方程组法(消元法)：已知函数满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如，等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组(如用或替换)，通过解方程组求出的解析式． 五、分段函数 1.分段函数的定义 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 2.分段函数的性质 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的并集． 3.常见类型 (1)取整函数：(表示不大于的最大整数)． (2)符号函数：． (3)含绝对值符号的函数．如． (4)自定义函数．如． 关键能力突破 考向一 函数的概念 1.下面式子中不能表示函数的是( ) A. B. C. D. 2.定义函数，如下表： 2 0 1 7 0 1 2 7 7 2 1 0 则满足的的值是( ) A.0或1 B.0或2 C.1或7 D.2或7 3.(多选)下列各组函数相等的是( ) A.， B.， C.， D.， 4.(多选)下列说法正确的是( ) A.，是同一个函数 B.，是同一个函数 C.函数与定义域相同，值域相同，但对应关系不同，不是同一个函数 D.函数与值域相同，对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数 考向二 求给定解析式的函数的定义域 1. ①函数的定义域为 ； ②函数的定义域为 ； ③函数的定义域为 ； ④函数的定义域为 ； ⑤函数的定义域为 ； ⑥函数的定义域为 ； ⑦函数的定义域 ． 考向三 求复合函数的定义域 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 2.若函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 3.已知的定义域为，则的定义域是 ． 4.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ． 5.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ． 考向四 已知定义域确定参数问题 1.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 2.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 3.若函数的定义域是，则实数的值为 ． 4.若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 考向五 求函数值域的方法 a.观察法 1.函数的值域是 ． 2.函数的值域是 ． 3.函数的值域是 ． b.配方法 1.函数的值域是 ． 2.函数的值域是 ． 3.函数的值域是 ． 4.设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ． c.单调性法 1.若函数的定义域是，则函数的值域为 ．【0,1】 2.函数的值域为 ． 3.若函数，则函数的值域是 ． 4.函数，的值域为 ． 5.函数的值域是 ． 6. (1)函数的值域 ． (2)函数的值域是 ． 7. (1)函数的值域是 ． (2)函数的值域是 ． d.换元法 1.函数在上的值域为 ． 2.函数的值域为 ．， 3.函数的值域为 ．[1,3＋4] e.分离常数法 1.已知函数，则它的值域为 ． 2.已知函数，则该函数在上的值域是 ．, 3.函数的值域是 ． 4.函数的值域是 ．, 5.函数的值域为 ． f.判别式法 1.函数的值域是 ． 2.求函数的值域． 3.求函数的值域． g.数形结合法 1.求函数的值域． 2.求函数的值域． 3.求函数的值域． 4.求函数的值域． h.基本不等式法 1.求函数的值域． 2.已知，求函数的值域． i.有界性法 1.求函数的值域． 2.已知函数，求函数的值域． j.导数法 1.求函数的值域． 2.若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域． 考向六 已知函数的值域求参数 1.已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 2.已知函数的值域为，求的值. 3.已知函数的定义域为，值域为，求的值． 考向七 求函数的解析式 a.赋值法 1.若函数对任意实数，均有，则的解析式为 ． 2.已知是奇函数，是偶函数，并且，求和的函数解析式． 3.若函数满足，且对任意，都有，则 ． b.配凑法 1.已知，则的解析式为 ． c.换元法 1.已知，则的解析式为 ． 2.已知函数满足，则 ． 3.已知，则 ． 4.已知函数满足，则的解析式为 ． d.待定系数法 1.已知为一次函数，，则的解析式为 ． 2.已知为一次函数，且满足，则 ． 3.已知为二次函数且，，则的解析式为 ． 4.已知是二次函数，且，则的解析式为 ． e.解方程组法 1.已知函数满足，则的解析式为 ． 2.已知函数满足，则的解析式为 ． 3.已知函数满足，则的解析式为 ． 考向八 分段函数及其应用 a.求分段函数的函数值 1.已知函数，则 ． 2.设函数，则 ． b.已知分段函数的函数值，求自变量(或参数)的值 1.已知函数，若，则实数 ． 2.设函数，若的最小值为，则实数的值为 ． 3.设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 ． c.分段函数与不等式 1.已知函数，则的解集为 ． 2.已知函数，则 ；若当时，，则的最大值是 ． d.分段函数的值域 1.已知函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则参数的取值范围是 ． e.分段函数的图象与性质的应用 1.已知函数，其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 ． 考向九 高斯函数(能力提升) 定义在全体实数集的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数，又称高斯函数．为了方便，用表示不超过的最大整数，函数又可记为． 1.世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为( ) A. B. C. D. 2.（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数( ) A.若，则的最小值为 B.若，则的最大值为 1 C.若正数，满足，则的最小值为 9 D.若，则的最小值为 3.（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素　　 A. B.0 C.1 D.2 4.（多选）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数，正确的结论是( ) A. B.若，则 C.若，则 D. 考向十 泰勒公式的应用(能力提升) 【源于教材】； 【拓展结论】； 1.设，，，则的大小关系为 ． 2.已知，，，则的大小关系为 ． 【函数的单调性与最值】 基础知识梳理 一、函数的单调性的判断(证明) 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意，当时 都有 都有 结论 在上是增函数(也称在上单调递增) 在上是减函数(也称在上单调递减) 图示 2.利用定义判断函数的单调性 (1)取值；(2)作差变形；(3)定号；(4)判断 二、求函数的单调区间 1.单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 2.单调区间的写法 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，一般不能用“”连接，而应该用“和”或“，”来连接． 3.函数单调性的常用结论 (1)函数中常数项不影响其单调性． (2)当时，函数与单调性相同；当时，函数与单调性相反． (3)若恒为正值或恒为负值，则与的单调性相反． (4)若，都是增(减)函数，则当两者都恒大于0时，是增(减)函数；当两者都恒小于0时，是减(增)函数． (5)函数在公共定义域内与的单调性相同． (6)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增减=增，减增=减． 4.复合函数的单调性 同增异减 三、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，且：如果对任意 都有 都有 结论 称的最大值为，记作，而称为的最大值点 称的最小值为，记作，而称为的最小值点 统称 最大值和最小值统称为最值 最大值点和最小值点统称为最值点 关键能力突破 考向一 函数单调性的判断(证明) 1.下列函数中是增函数的为( ) A. B. C. D. 2.设函数，证明：函数在区间上是减函数． 3.试讨论函数在上的单调性． 考向二 求单调区间 1.下列函数中，在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 2.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 3.若函数的定义域为，则下列叙述正确的是( ) A.在上是增函数 B.在上是减函数 C.在上单调递减 D.在上单调递增 4.函数的单调递减区间是 ． 考向三 根据函数的单调性求参数的取值范围 1.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数，其中，且，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.(多选)形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在上的最大值比最小值大1，则的值可以是( ) A.4 B.12 C. D. 5.已知函数，若在上为增函数，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.若在区间内任取实数，不等式均成立，则实数的最大值是( ) A. B. C. D.1 7.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 考向四 函数单调性的应用 a.利用函数的单调性求最值 1.函数的最小值为 ． 2.函数的最小值为 ． 3.函数的最小值为 ． 4.函数的最大值为 ． b.比较函数值的大小 1.已知函数为上的偶函数，对任意，均有成立，若，，，则的大小关系是 ． 2.已知函数，，，，则的大小关系是 ． 3.已知定义在上的函数满足，且为偶函数．若在上单调递减，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. c.利用函数单调性求解不等式 1.是定义在上的增函数，满足，，当时，的取值范围是 ． 2.已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 3.已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有，则不等式的解集为 ． 4.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　． 5.已知函数，若，则实数的取值范围是 ． d.由函数的值域确定参数的取值 1.（多选）已知函数的值域为，则实数与实数的取值可能为( ) A. B. C. D. 【函数的奇偶性与周期性】 基础知识梳理 一、函数的奇偶性 1.奇函数和偶函数的定义 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有 结论 图像特点 关于轴对称 关于原点对称 2.函数奇偶性的判断方法 (1)定义法 (2)图象法 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称． (3)性质法 ①基本初等函数的和、差、积、商(分母不为0) 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 偶函数 差 奇函数 偶函数 积(商) 偶函数 奇函数 偶函数 ②对于复合函数： 若为偶函数，为偶函数，则为偶函数； 若为奇函数，为奇函数，则为奇函数； 若为偶函数，为奇函数，则为偶函数； 若为奇函数，为偶函数，则为偶函数． (4)函数的拆分 任意一个函数(定义域关于原点对称)都可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和，即，其中(偶函数)，(奇函数)． 3.常用的奇偶函数 (1)一次函数为奇函数． (2)二次函数为偶函数． (3)反比例函数是奇函数． (4)对勾函数(常数)是奇函数． (5)幂函数，若为奇数，则为奇函数，若为偶数，则为偶函数． (6)若为偶函数，则． 4.常见的奇、偶函数类型 (且)为偶函数； (且)为奇函数； (且)为奇函数； (且，)为奇函数； (且)为奇函数； 为偶函数； 为奇函数； 为奇函数． 为偶函数． 二、函数的对称性 1.轴对称 若函数满足，则其图象关于直线对称． 特殊地，若函数满足，则其图象关于直线对称． 2.中心对称 若函数满足，则其图象关于点对称． 特殊地，若函数满足，则其图象关于直线对称． 三、函数的周期性 1.周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3.常用结论 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 4.函数的周期性与对称性的关系 ①若周期函数有两条相邻的对称轴：； ②若周期函数有两个相邻的对称中心：； ③若周期函数有相邻的对称轴，对称中心，则． 关键能力突破 考向一 函数奇偶性的判断 1.下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 2.函数的图象( ) A.关于原点对称 B.关于直线对称 C.关于轴对称 D.关于轴对称 3.设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 4.若函数是偶函数，函数是奇函数，则( ) A.函数是奇函数 B.函数是奇函数 C.函数是奇函数 D.函数是奇函数 5.判断函数的奇偶性． 考向二 利用函数的奇偶性求参数 1.已知函数是偶函数，则 ． 2.若函数是上的偶函数，则( ) A.1 B. C. D. 3.已知定义域为的奇函数，则的值为( ) A.0 B.2 C. D.不能确定 4.已知函数为偶函数，则可能是( ) A. B. C. D. 5.若是奇函数，则 ， ． 考向三 利用函数的奇偶性求函数值 1.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则( ) A.2 B.4 C. D. 2.已知函数，，且，则的值为( ) A.3 B. C.1 D.0 3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A. B. C.3 D. 4.函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为( ) A. B.0 C.2 D.4 5.设函数的最大值为，最小值为，则 ． 考向四 利用函数的奇偶性求函数的解析式 1.设为奇函数，且当时，，则当时，( ) A. B. C. D. 2.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ． 3.若定义在上的偶函数和奇函数满足，则 ． 考向四 对称性的判断 1. (1)若为偶函数，则关于 对称；若为奇函数，则关于 对称； (2)若为偶函数，则关于 对称，则关于 对称； (3)若为奇函数，则关于 对称，则关于 对称； (4)函数与关于 对称；函数与关于 对称． 2.(多选)对于定义在上的函数，下述结论正确的是　　 A.若，则的图象关于直线对称 B.若是奇函数，则的图象关于点对称 C.函数与函数的图象关于直线对称 D.若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 考向五 对称性的应用 1.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是( ) A. B. C. D. 2.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则( ) A.0 B. C. D. 3.已知函数，则( ) A.在单调递增 B.在单调递减 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 4.已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，，，则等于( ) A.0 B. C. D. 考向六 利用函数的周期性求函数值 1.若定义域为的奇函数满足，当时，，则 ( ) A.2021 B.0 C.1 D. 2.若是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( ) A. B.2 C. D. 3.若是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则( ) A.3 B.2 C.6 D.20 4.若定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A.2 B.4 C. D. 5.若定义在上的函数满足和，且当时，，则( ) A.0 B.2 C.4 D.5 6.若是定义在上的偶函数，且满足，且，则( ) A. B. C. D. 7.已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则 ． 考向七 利用函数的周期性求函数的解析式 1.定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数 ． 2.已知定义域为的函数的周期为2，当时，． (1)求的值； (2)求的解析式． 考向八 利用函数的周期性求参数的值或范围 1.已知是定义在上，以3为周期的偶函数，若，，则实数的取值范围为 ． 2.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中．若，则的值是 ． 大连市明德高级中学 陈子旭编制1 学科网（北京）股份有限公司 $$