3.不等式复习专题-2025届高三数学一轮复习全题型

石可破也，而不可夺坚；丹可磨也，而不可夺赤． 不等式 【等式性质与不等式性质】 基础知识梳理 一、等式的性质 序号 性质 内容 1 对称性 2 传递性 ， 3 可加(减)性 4 可乘性 5 可除性 ， 二、不等式的性质 1.不等式的性质 序号 性质 内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 ， 同向 3 可加性 可逆 4 可乘性 ， ， 的符号 5 同向可加性 ， 同向 6 同向同正可乘性 ， 同向同正 7 可乘方性 同正 8 可开方性 同正 9 可倒数性 ， 同号取倒需反向 2.倒数的性质 ① ； ② ； ③ ； ④ 或 3.常用的比较两数(式)大小的方法 (1)作差法 原理：设，则；；． 步骤：作差并变形判断差与0的大小得结论． (2)作商法 原理：设，，则；；． 步骤：作商并变形判断商与1的大小得结论． (3)特值法 代入特殊值比较大小． 三、利用待定系数法求代数式的取值范围 已知，，求的取值范围． 求解步骤：①设； ②根据恒等变形求得待定系数； ③根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 四、糖水不等式 1.【源于教材】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立． 【拓展结论】若，，则． 2.有关分数的性质 若，则 ①真分数的性质：；； ②假分数的性质：；． 关键能力突破 考向一 应用不等式的性质比较大小 1.(多选题)下列命题中，是真命题的是( ) A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 2.已知，，那么的大小关系为( ) A. B. C. D. 3.若非零实数满足，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 4.设，下列四个结论正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知，满足，，，则( ) A. B. C. D. 6.(多选)已知，且，则( ) A. B. C. D. 7.已知实数满足，则下列不等式中成立的有 ．(填序号) ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦； ⑧；⑨；⑩ 考向二 比较两数(式)的大小的综合应用 1.(多选)若，，则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. 2.若，则( ) A. B. C. D. 3.已知是不相等的正数，，，，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 4.设，，，，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.已知，且，，则的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 6.若，，则与的大小关系是 ． 7.与的大小关系为 ． 8.已知，，且，试比较与的大小． 9.设，，且，试比较与的大小． 考向三 利用待定系数法求代数式的取值范围 1.不等式组的解集记为．有下面四个命题： ，； ， ，； ， 其中的真命题是( ) A. B. C. D. 2.已知，，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 3.已知，，则的取值范围是 ． 4.设实数满足，，则的最大值是 ． 考向四 糖水不等式(能力提升) a.关于判断齐次分式函数的单调性 若为单调增函数，在其各自单调区间为增函数，在其各自单调区间为减函数． 例：在区间和为增函数； 在区间和和为减函数； 在上单调递增； 在区间上单调递减． 1.设函数，则（ ） A.是偶函数，且在，单调递增 B.是奇函数，且在，单调递减 C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减 b.关于指数和对数的比较大小 1.已知，．设，，，则　　 A. B. C. D. 2.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出______(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式_______． 3.若等比数列前项和为，比较与的大小． 【二次函数与一元二次方程、不等式】 基础知识梳理 一、一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次不等式的解集 即“大于取两边” 即“小于取中间” 3.一元二次不等式的恒成立问题 (1)在实数集上恒成立问题 ①不等式在上恒成立当时，，且或当时，且． ②不等式在上恒成立当时，，且或当时，且． (2)在某区间上恒成立问题 设． ①当时，在区间上恒成立的解集为，则． ②当时，在区间上恒成立的解集为，则． (3)当时， 函数在上恒成立．在上的最小值恒成立． 函数在上恒成立．在上的最大值恒成立． 二、分式不等式的解法 解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即： ①； ②； ③； ④ 对于形如(或)的分式不等式，其中，现将右边化为0，再转化为整式不等式求解． 三、一元高次不等式的解法 一元高次不等式常用数轴标根法(亦称穿针引线法)求解． 步骤如下： 第一步，标准化．通过移项、通分等方法将不等式化为左侧为关于未知数的整式，右侧为0的形式． 第二步，分解因式．将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积的形式，其中各因式中未知数次数最高项的系数为正，如． 第三步，求根．求标准化的不等式对应方程的根，并在数轴上表示出来． 第四步，穿线．从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶回”原则． 第五步，写解集．根据图象位于数轴的上下确定各区间内的正负，写出解集． 关键能力突破 考向一 不含参数的不等式的解法 1.不等式的解集为 ． 2.设，使不等式成立的的取值范围为 ． 3.不等式的解集是 ． 4.不等式的解集是 ． 考向二 含参数的一元二次不等式的解法 1.求不等式的解集． 2.解关于的不等式：(1)； (2)． 3.已知． (1)若的解集为，求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 4.已知函数． (1)当，时，若“，使得”为真命题，求实数的取值范围； (2)若，，解关于的不等式． 考向三 已知一元二次不等式的解集求参数的问题 1.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是( ) A. B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 2.不等式的解集为，则不等式的解集为( ) A.或 B. C. D.或 3.已知函数的两个零点分别为，则的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 4.关于的方程的两个不等根都在之内，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.已知函数，若的解集为，则 ． 考向四 一元二次不等式的恒成立问题 a.在实数集上恒成立求参数问题 1.若关于的不等式的解集为实数集，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D.或 4.已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若命题，使得为假命题，求实数的取值范围． b.在给定区间内的恒成立求参数问题 1.已知，不等式的解集为．若对任意的，恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数，对任意实数都有，当时，恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数．若对于，恒成立，则实数的取值范围为 ． 4.已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是 ． 5.设函数． (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)当时，对任意的都有成立，求实数的取值范围． c.在给定参数范围时的恒成立问题 1.设，求使，且恒成立的的取值范围． 2.已知函数满足． (1)若，且对任意都有，求的取值范围； (2)是否存在实数，使得不等式对一切实数都成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 考向五 一元二次方程的根的分布问题 a.一元二次方程根的分布所限定的条件 1.设，关于的一元二次方程有两实根，且，求的取值范围． b.由一元二次不等式在实数范围内有解求参数范围 1.若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 ． c.由一元二次不等式在区间上有解求参数范围 1.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. d.由一元二次不等式有实数解求参数范围 1.关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【基本(均值)不等式及其应用】 基础知识梳理 一、基本(均值)不等式及其应用 1.基本(均值)不等式 (1)基本(均值)不等式成立的条件：． (2)等号成立的条件：当且仅当时等号成立． 2.几个重要的不等式 (1)． (2)(同号)． (3)． (4)． (5)． (6)． 3.算术平均数与几何平均数 设，则的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 二、利用基本(均值)不等式求最值及其应用 1.利用基本(均值)不等式求最值 用基本不等式求最值时需满足“一正、二定、三相等”： 一正，即都是正数． 二定，即(或)是定值． 三相等，与必须能够相等，可理解为：a.当时，必取等号；b.当取到等号时，即时，才能取到最值．否则不能用基本不等式求最值．积定和最小，和定积最大． 2.对勾函数 在实际应用问题中，常常把函数解析式化为“对勾函数”：(常数)． ①当时，为最小值． ②当时，为最大值． 3.凑定值的常见技巧 ①常规配凑法： ，当且仅当时等号成立． ，当且仅当时等号成立． ，当且仅当时等号成立． ②1的代换法： 例：已知，求的最小值． ③消元法： 例：已知，求的最小值． 关键能力突破 考向一 基本不等式的直接应用 1.下列说法中不正确的是( ) A.不等式恒成立 B.存在，使不等式成立 C.若，则 D.若正实数满足，则 2.下列函数中最小值为4的是( ) A. B. C. D. 3.若满足，则( ) A. B. C. D. 4.(多选)已知，，且，则( ) A. B. C. D. 考向二 利用基本不等式求最值 a.配凑法 1.已知，，且，则( ) A.的取值范围是 B.的取值范围是 C.的最小值是3 D.的最小值是 2.若，则有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值 D.最小值 3.函数的最小值为 ． 4.已知，则的最小值是 ． 5.若对任意，恒成立,则的取值范围是 ． 6.若,则有( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值 7.已知，，，且，，则的最小值是　　 A.8 B.6 C.4 D.2 b.常数代换法 1.已知两个正数满足，则的最小值为( ) A. B.2 C. D. 2.已知实数，，则的最小值是( ) A. B. C.3 D.2 3.设，且，则的最小值为 ． 4.若，，且，则的最小值为 ． 5.若正实数满足，则的最小值为 ． 6.已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为( ) A.2 B. C.4 D. 7.若，则的最小值为　　 A.6 B. C.3 D. 8.若是正实数，且，则的最小值为 ． 9.若正数满足，求的最小值． c.消元法 1.已知正实数满足，则的最小值是 ． 2.已知，，，则的最小值为 ． 3.若实数满足，且，则的最大值为 ． 4.若实数，满足，则的最小值为 ． 5.设，，且，则的最小值为 ． d.双换元法(能力提升) 1.若，，且，则的最小值是 ． 2.若，，则的最大值为 ． e.齐次化法(能力提升) 1.已知，，，则的最小值为 ． 2.已知为正实数，则的最小值为 ． 考向三 基本不等式与其他专题的综合考查(能力提升) 1.设是定义在上的函数，且，其中．若，则的最小值为 ． 2.在锐角三角形中，若，则的最小值是 ；的最小值为 ． 3.已知向量，，若，则的最小值是( ) A.12 B. C.15 D. 4.已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为( ) A. B. C. D. 5.已知，，是与的等比中项，则的最小值为( ) A.1 B. C. D. 6.已知函数(为常数，)，若在上的最小值为4，则实数( ) A.2 B. C.4 D. 7.已知函数．若正实数满足，则的最小值为( ) A.8 B.4 C. D. 8.已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 考向四 利用基本不等式解决实际问题 1.某居民小区欲在一块空地上建一面积为的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 2.合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为． (1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值； (2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$