1.1 多项式的因式分解　课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“多项式的因式分解”，通过问题链导入，从整数分解（6=2×3）过渡到多项式分解（x²-1=(x+1)(x-1)），搭建旧知（整式乘法）到新知（因式分解）的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过“做一做”“思考”等环节引导学生抽象出因式分解概念，体现抽象能力与符号意识。结合例题对比整式乘法与因式分解的互逆关系，培养推理意识与运算能力。分层设计随堂练习，基础题巩固概念（如判断因式分解），提升题（如含因式求系数）发展应用意识。课堂小结梳理四要素，帮助学生构建知识体系，教师可借此提升教学效率，学生能深化理解并激发探究兴趣。

1.1 多项式的因式分解 第1章 因式分解 22051 1.理解因式分解的概念； 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系. 学习目标 22051 问题1：6 等于 2 乘哪个整数？ 问题2： x2 － 1 等于 x + 1 乘哪个多项式？ 新课导入 22051 (1) 因为(x + 1)² = ， 所以 x² + 2x + 1 = (x + 1)( )； (2) 因为 x(x－) = ， 所以 x²－x = x( ). 做一做 x² + 2x + 1 x + 1 x－ x²－x 观察 “所以”后面的式子，有什么共同点？ 都是一个多项式化为几个多项式的积的形式 整式的乘法 新知讲解 22051 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式. 单项式可看作只有一项的多项式 ↗ 由于 x² + 2x + 1 = (x + 1)²， 则 x + 1 是多项式 x² + 2x + 1 的因式. 类似地，由于 x²－x = x(x－)， 则 x 和 x－ 都是 x²－x 的因式. 新知讲解 22051 定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. x² + 2x + 1 = (x + 1)² x²－x = x(x－) 思考 观察上述两个式子，小组讨论，思考在进行多项式的因式分解时，有什么需要注意的？ 新知讲解 22051 注意： 分解的对象必须是多项式； 因式分解的结果：积的形式； 结果中的每一个因式都必须是整式； 必须分解到一个因式都不能再分解为止. 为什么结果中的因式是整式？ 因式分解的核心是将复杂多项式转化为最简单因式的乘积，以便于后续运算（如解方程、化简分式、求最值等）.若分解不彻底，会导致结果失去简化意义且结果会不规范. 为什么多项式的因式分解要强调彻底分解？小组讨论并回答问题. 新知讲解 22051 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ， 所以 = (x－2)(x－3) 是多项式 的因式分解. 解：(x－2)(x－3) = x²－3x－2x＋(－2)×(－3)= x²－5x＋6， 因此三个空格都填写 x²－5x＋6. x²－5x＋6 x²－5x＋6 x²－5x＋6 例题讲解 22051 x2 － y2 ( x + y )( x － y ) 因式分解 多项式的乘法 想一想 多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 是互逆的变形过程.左边是多项式，右边是几个多项式的乘积. 提示：这两种运算的结果是什么形式？ 积的形式 和的形式 新知讲解 22051 (1) x(x－2y) = x2－2xy； (2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1； 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. 解：(1) 不是，它是整式的乘法. (2) 不是，等式右边不是几个多项式的乘积形式. 例题讲解 22051 (4) 是，等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1. (3) 3x2－x = x(3x－)； (4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1). (3) 是， 等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－. 例题讲解 22051 例3 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值. 解：因为x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3) =ax2+ax-6a. 所以a=1，b=﹣6a=﹣6， 对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 例题讲解 22051 1.因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程 2.因式分解要注意以下几点： 分解的对象必须是多项式； 因式分解的结果：积的形式； 结果中的每一个因式都必须是整式； 必须分解到一个因式都不能再分解为止. 课堂小结 22051 1.判断下列各式是不是因式分解 (1+x=x(x+1) (4)a2-2a+1=a(a+2)+1 (2)a(a+b)=a2+ab (3)(a+3)(a-3)=a2-9 √ × × × 随堂小练 基础 22051 2.下列多项式中，分解因式的结果为﹣(x + y)(x﹣y) 的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 随堂小练 基础 22051 3. 判断下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x2﹣4y2 = (x + 2y)(x﹣2y) (2) 2x(x﹣3y) = 2x2﹣6xy (3) (5a﹣1)2 = 25a2﹣10a + 1 (4) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (5) 2πR + 2πr = 2π(R + r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 随堂小练 基础 22051 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 随堂小练 提升 22051 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，所以 b = 9. 因此 a + b = 15. 随堂小练 提升 22051 $$