1.1 多项式的因式分解 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第1章 因式分解 1.1 多项式的因式分解 学习目标 1.理解因式分解的概念；（重、难点） 2.了解因式分解在解决其他数学问题中的重要作用.如解方程、简化计算等方面都常用因式分解.（重、难点） 新课导入 做一做 （1）因为(x+1)2= ，所以x2+2x+1=(x+1)( ); （2）因为x(x-)= ，所以x2-x=x( ). （1）因为(x+1)2=x2+2x+1， 所以x2+2x+1=(x+1)2=(x+1)(x+1). （2）因为x(x-)=x2-x， 所以x2-x=x(x-). 一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫作f的一个因式.此时，h也是f 的一个因式. 由于x2+2x+1=( x+1 )2，则x+1是多项式x2+2x+1的因式. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 类似地，由于x2-x=x(x-)，则x和x都是x2-x的因式. 抽 象 解 (x-2)(x-3)=x2-3x-2x+(-2)×(-3) =x2-5x+6， 因此三个空都填写x2-5x+6. 【例1】填空： 因为(x-2)(x-3)= ， 所以 =(x-2)(x-3)是多项式 的因式分解. x2-5x+6 x2-5x+6 x2-5x+6 议一议 多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法. 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是不同的，多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式. 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确，例如： x2-y2 (x+y)(x-y) 因式分解 多项式的乘法 【例2】下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)x(x-2y)=x2-2xy； (2)x2-2x+1=x(x-2)+1； 不是因式分解. 不是因式分解. 它是整式的乘法. 等式右边不是几个多项式的乘积形式. (3)3x2-x=x(3x-x)； (4)xy-x-y+1=(x-1)(y-1). 是因式分解. 是因式分解. 等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x-)=3x2-x，因而符合因式分解的定义.3x2-x的因式为x和3x-. 等式右边是两个多项式的乘积形式，且(x-1)(y-1)=xy-x-y+1，因而符合因式分解的定义.xy-x-y+1的因式为x-1和y-1. 【例2】下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. 把多项式因式分解的重要用处之一是：可以较简便地求出关于x的多项式中，x用哪些数代人能够使得这个多项式的值为0.这将为后面学习一元二次方程的解法做铺垫，当然，在下一章分式运算的学习中，也需要用到多项式的因式分解. 1.填空： 因为(x+4)(x-3)= ， 所以 =(x+4)(x-3)是多项式 的因式分解. x2+x-12 x2+x-12 x2+x-12 随 堂 小 测 2.下列各式从左边到右边是因式分解的有（ ）个. ①x2-x=x(x-1); ②a(a-b)=a2-ab; ③(a+3)(a-3)=a2-9; ④a2-2a+1=a(a-2)+1; ⑤x2-4x+4=(x-2)2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：①和⑤是因式分解，所以有2个. B 3.检验下列因式分解是否正确. (1)-2a2+4a=-2a(a+2); (2)x3+x2+x=x(x2+x); (3) m2+3m+2=(m+1)(m+2). 错误 正确. 错误 4. 若多项式x4+mx3+nx-16含有因式( x-2 )和( x-1 )，求mn的值. 解： 因为x4+mx3+nx-16的最高次数是4， 所以可设x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b. 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n. 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=-5×20=-100. 5.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，求a+b的值. 解： 甲分解因式看错了b，但a是正确的， 其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8， 所以a=6. 同理，乙看错了a，但b是正确的， 分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9， 所以b=9， 因此a+b=15． 课堂小结 因式分解要注意以下几点: 3.要分解到不能分解为止. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 1.分解的对象必须是多项式. 因式分解与整式乘法是互逆过程. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢 $$