河北承德市双滦区实验中学2024-2025学年高一暑假数学网上测试卷（6）

河北承德市双滦区实验中学 2024--2025学年第二学期暑假高一数学网上测试卷（6） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 4.已知函数，则的增区间是（ ） A. B. C. D. 5.函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为( ) A. B. 4 C. D. 8 8.已知圆锥的母线长为2，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量满足，则 D. 空间中，，则 10.已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 在上有4条对称轴 11.如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值的最大值为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三角形的周长最大值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 13.已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 14.如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，. （1）求证：平面平面； （2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 16.(本小题15分）在中，内角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求边上的中线长. 17.(本小题15分）如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）若，求的值； （2）设，，，，求的值. 18.(本小题17分）已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 19.(本小题17分）已知在平面四边形中，，，．将沿BD翻折至，，点在线段BD上，且，． （1）求证：面； （2）求三棱锥外接球的半径； （3）求直线CF与平面所成角的正弦值的取值范围． 参考答案： 1.【答案】C 【解析】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，根据等角对等边，可得.由正弦定理得. 必要性：若，由正弦定理，可得.根据等边对等角， 所以 .综上，“”是“”的充要条件. 故选：C. 2.【答案】A 【解析】已知向量，.因为，则， 即，解得.当时，能推出； 但时，还可以为，不一定只是 .所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3.【答案】B 【解析】由题不妨设又因为体积为4，则有, 即长方体的外接球直径为, 则长方体的最小外接球表面积为. 故选：B. 4.【答案】C 【解析】对于正弦函数，其单调递增区间为，. 在函数中，令.则，. 解得.所以函数的增区间是，. 故选：C. 5.【答案】A 【解析】函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象. 已知，则. 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 正弦函数的零点为，所以. ：先对进行求解，可得， 即，解得；再对进行求解，可得， 即，解得.所以. 综上，答案选A. 6.【答案】A 【解析】解法一（向量运算法） 依题意有： ① ②； ③ 由②③联立求解：将③变形为，代入②得： ，则， 把代入得：， 将，代入①得： . 解法二（坐标法） 以为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系. 设，，则，，，. ，，. 设，即， 可得方程组，解方程组得，，所以. 故选：A． 7.【答案】D 【解析】在中，，，，以AC为旋转轴旋转一周得到圆锥. 圆锥的母线. 设圆锥任意两条母线为AB，AD， 则过这两条母线的截面的面积. 因为为定值，当取最大值时，截面面积最大. 当截面为圆锥的轴截面时，最大，此时（，函数在单调递增），最大值为.所以截面面积的最大值. 8.【答案】A 【解析】由题意，设，可得， 即，解得或（舍去），连接， 由题意可得，,又因为M为中点，所以， 过作于，连接，则， 在中，， 解得，又在中，由勾股定理可得，， 所以， 所以，所以， 故选：A. 9.【答案】BC 【解析】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，模相等，方向相同，而A中，向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，，因为与任意向量平行，所以当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC. 10.【答案】ABD 【解析】选项A：函数图象横坐标变为原来的， 根据三角函数图象伸缩变换规律“横坐标伸缩倍，的系数变为原来的倍”， 可得，A正确. 选项B：对于正弦函数，其对称轴满足. 当时，， 取得函数最大值，所以直线是函数图象的一条对称轴，B正确. 选项C：当时，. 而正弦函数在上不是单调递增的， 所以函数在区间上不单调递增，C错误. 选项D：当时，. 正弦函数在上，令， 可找到个值使函数取得最值，即有条对称轴， 所以函数在上有条对称轴，D正确. 综上，答案选ABD. 11.【答案】AC 【解析】（1）在正方体中，连接交于点，连接，则，由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又为的中点，因此，A正确； （2）过作于，连接，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 又平面，于是，是二面角的平面角， ，，，当与重合时取等号，B错误； （3）由平面，为棱上的动点，得点到平面的距离为定值1， 而面积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确； （4）当点与重合时，的周长为，D错误. 故选：AC. 12.【答案】5 【解析】在斜二测直观图还原为原图形的过程中，与原图形中长度相等， 即；在原图形中长度变为， 即.所以在中，. 13.【答案】3 【解析】设圆的半径为，则，解得， 因，所以，取的中点，连接，则， 故， ，当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 14.【答案】 【解析】在中，由余弦定理，， 所以；因为， 所以，即，又因，所以. 设，则，，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 两式作商，因为，所以得， 即，因为，所以，， ，， 假设，所以，解得. 15.【答案】解：（1）在正方形中，可得，又，，，平面， 所以平面，又平面, 所以平面平面. （2）因为，平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以， 分别取，上的点，使得， 又因为，故四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 取中点，则， 又，故四边形是平行四边形，所以， 又因为，是的中点，故是的中位线， 所以，又由平面，平面， 所以平面，，平面 所以平面平面，又由平面， 所以平面，此时. 16.【答案】解：（1）已知， 由正弦定理可得. 因为，所以， 则. 根据二倍角公式， 所以. 又因为，， 所以， 所以，即. （2）由三角形面积公式， 已知，，可得， 解得. 在中，根据余弦定理，，， 则，即. 设中点为，则， 两边平方得， 所以，则. 17.【答案】解：（1）已知，根据向量关系可得. 因为是的中线，为中点，由向量加法的平行四边形法则（或中线向量性质）可知. 所以. 又因为，根据平面向量基本定理，可得，. （2）已知，（，）， 则，. 由（1）知，将，代入可得： . 因为，，三点共线，根据向量共线定理：若（，，共线）， 则 . 所以，等式两边同乘得. 18.【答案】解：（1）对于函数，所以最小正周期. 令，. 得到，即. 解得，. 所以的单调递减区间是，. （2）已知，则. 根据余弦函数性质，. ，当时，取得最大值. 此时，解得，. 当时，取得最小值. 此时，解得，. （3）由，两边同时除以，得到. 根据余弦函数图象，可得 或，. 对于，即， 解得，. 对于，即， 解得，. 所以不等式的解集为，. 19.【答案】（1）证明：因为沿BD翻折至，,又，满足,所以. 因为，，所以是等边三角形. 又，所以，即，. 又BC，面，，所以面. （2）解：设外接球的半径为R，因为面，是等边三角形，可以补成以为底面，为侧棱的直三棱柱，该棱柱的上下底面中心连线的中点为外接球的球心.设的外接圆的半径为，由正弦定理，得，球心距离底面的距离为, 所以球的半径为. （3）解：由（1）得，面，所以 ， 设到面的距离为,因为，所以,因此, 由题意，所以， 所以， 则， 因为，所以，得. 在中，由余弦定理，得，即， 设CF与平面所成角为， 则 ， 因为，所以，则，即，可得，即，所以，即. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$