浙江省杭州市萧山区第八高级中学2025-2026学年高三上学期期初考试数学模拟卷3

25学年高三第一学期萧山八中期初考试数学模拟卷3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则的值为 (    ) A. B. C. D. 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.某国军队计划将艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰必须安排在甲区域在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为(    ) A. B. C. D. 7.已知点，点，若在直线上存在一点，使得成立是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知函数的零点为的零点为，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的的有(    ) A. 已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差也为 B. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量服从二项分布，若，则 10.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 当，时，的值域为 C. 当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有两个零点，则 11.已知数列满足，，则下列结论正确的是(    ) A. 为等比数列 B. 为递增数列 C. 的通项公式为 D. 的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数满足，其中为虚数单位，则的最大值为          ． 13.已知函数是定义在上的单调递减的奇函数，且对，有恒成立，则的最大值为          ． 14.已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于、两点，在第一象限，若，则的离心率为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.某同学用尺规作图进行了下面的操作：作线段，作且使，过点作射线使射线与以为圆心，半径为的圆相交于点． 求的面积；若，且射线在内部，求的长． 16.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且，，． 求证：平面若，求平面与平面夹角的余弦值． 17.15已知函数． 若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；求的单调区间； 设函数，求证：当时，在上存在极小值． 18.17 已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点、． 若，求求证：为定值当面积取到最大值时，求点的横坐标． 19.17杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现了杨辉三角在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式； 在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为：：？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由； 已知，为正整数，且求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题． 先求得或，根据充分条件与必要条件的定义判断即可． 【解答】 解：：， ，解得：或， 则： 所以是的充分不必要条件． 故选A． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，运算求解能力、空间想象能力，是基础题． 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系的知识解题即可． 【解答】 解：选项，若，，则与可能垂直，平行，在平面内，故A错误； 选项，若，，，只有当与，的交线垂直时，才有，故B错误； 选项中，若，则一定与内的某条直线平行，，所以，所以，故C正确； 选项，若，，则或与相交或，故D错误． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查投影向量，利用向量的数量积求向量的模，利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题． 利用数量积求出，，再利用投影向量的公式列出表达式计算即可． 【解答】 解：因为，所以，又，，所以，解得， 设与的夹角为，则，所以向量在向量上的投影向量为故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等比数列的通项公式、性质与求和公式，属于基础题． 根据等比数列的性质可求出，根据等比数列的求和公式可得，从而可求解． 【解答】 解：因为，，所以，解得， 设的公比为，易知， 因为，所以， 所以，解得， 所以． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题． 利用两角和与差的正弦公式先求出的值，从而可以得到的值，再结合二倍角的余弦公式即可得出结果． 【解答】 解：因为， 且， 则， 故． 即． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查古典概型及其计算、排列与组合的综合应用、分类加法计数原理，属于中档题． 分情况求出不同的安排方法，再求出甲区域还有其它军舰的方法，利用古典概型的概率公式，即可求出结果  【解答】 解：甲区域只有军舰时，不同的安排方法为： 种 甲区域有两艘军舰时，不同的安排方法为： 种； 甲区域有三艘军舰时，不同的安排方法为： 种； 所以不同的安排方法为种， 甲区域还有其它军舰的方法为， 所以甲区域还有其它军舰的概率为． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查点与圆的位置关系的判定、充分、必要、充要条件的判断，是中档题． 根据题干的信息，先根据直线  上有点在以  为直径的圆内，计算出  的范围，进而判断充分、必要关系即可． 【解答】 解：以  为直径的圆的方程为  ， 若直线上存在一点  ，使得  ， 则点  是在以  为直径的圆的内部． 所以直线与圆相交． 即圆心  到直线  的距离  ， 所以  或  ． 而“  或 ” 是“  ”成立的既不充分也不必要条件，故D正确． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的零点与方程根的关系，函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键，是较难题． 把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、进行逐一判断即可． 【解答】 解：由，得，， 即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，   则，，由反函数性质知，关于对称， 则，，，、D错误，  在上为增函数，，，． 点在直线上，即，， 故B正确； ，， 此时，故 C错误； 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查方差的定义，正态分布，二项分布的均值等，属于中档题． 根据方差的定义可判断；根据样本点在回归直线上求得的值可判断；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断；根据二项分布均值的公式以及均值的性质可判断，进而可得正确选项． 【解答】 解：对于：设的平均数为，方差为， 则，， 所以，，，的平均数为， 所以方差为 ，故选项A不正确； 对于：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B正确； 对于：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为， 又， 而，所以， 则，故选项C正确； 对于：因为服从二项分布，所以， 所以，则，故选项D正确． 故选BCD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦型函数的零点，正弦型函数的图象变换，三角恒等变换的综合应用，求正弦型函数的值域或最值，由正弦函数的对称性求参数，属于中档题． 根据三角恒等变换可得，根据正弦函数的图象与性质可判断选项ABD；根据正弦函数的图象变换及诱导公式可判断选项C． 【解答】 解： ， 对于，若相邻两条对称轴的距离为，则， 所以，解得，故A错误； 对于，若，则， 当时，， 所以， 所以，故B正确； 对于，若，则， 的图象向左平移个单位长度得到的图象， 又，故C正确； 对于，时，， 要在区间上有且仅有两个零点， 则， 解得，故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前项和，分组求和法，属于中档题． 原等式变形为，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，求出通项公式，即可求出及的通项公式，再利用分组求和法及等比数列的前项和即可求出的前项和． 【解答】 解：因为， 则，得， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； ，即， 为递减数列，故B错误，C正确； 的前项和 ，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题． 根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 【解答】 解：， 则在复平面内复数对应的点到点之间的距离为， 复数表示的点在以为圆心，为半径的圆周上， 故的最大值为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 由函数的奇偶性与单调性转化不等式，结合辅助角公式与三角函数的有界性得出，再由均值不等式求解． 【解答】 解：由可得， 则根据函数在上单调递减可得， 则在上恒成立，化简得在上恒成立， 故，而，当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题． 由可得，然后将点的坐标代入双曲线方程求解即可． 【解答】 解：设， 已知斜率为的直线过的右焦点，并且交的右支于、两点，在第一象限内，且， 则， 又点在双曲线上， 则， 又， 即， 又， 则， 又， 即， 即， 故答案为：． 15.【答案】解：由题意知，在中， ，，， 根据余弦定理得， 即， 解得或舍去． 所以； 由知， 解得， 因此， 在中由余弦定理得 ， 所以．  【解析】本题考查了利用余弦定理解三角形和三角形面积公式，是中档题． 根据余弦定理得，得出，再由三角形面积公式可得求的面积； 由知，得，由诱导公式得出，再由余弦定理可得的长． 16.【答案】证明：因为，， 所以在中，由余弦定理： ，即， 因为，所以，， 因为是等腰三角形，所以， 在中，由余弦定理： ，即， 在中， ，所以， 因为，，， 所以，因为，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，且，， 所以． 解：令 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 因为，， 所以， 又因为四边形是菱形，所以，所以， 所以，均为等边三角形， 以点为坐标原点，，及过点平行于的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 由， 为的一个法向量， 设的法向量为， ，． 则即 令，可得， 因为 ， 平面与平面的夹角的余弦值为．   【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，考查利用余弦定理解三角形，考查平面与平面夹角的向量求法，属于中档题． 由余弦定理和勾股定理的逆定理证明，再由面面垂直的性质定理证明，再由线面垂直的性质和线面垂直的判定定理证明． 以点为坐标原点，，及过点平行于的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值． 17.【答案】解：由得： ，， 由已知曲线存在斜率为的切线， 存在大于的实数根， 即存在大于的实数根， 在时递增， 的范围是； 由，， 得：时，， 在上单调递增； 时，若时，， 若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 由及题设得： ， 由，得：， 由得：在上单调递增， ，取，显然， ， 存在满足， 即存在满足， 令，解得：， 令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 时，在上存在极小值．  【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题． 求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可； 求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可； 求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可． 18.【答案】解：由已知得，所以左右焦点坐标分别为，， 点为椭圆上的点，所以满足， ． 所以当时， 设，在中，是的角平分线，由三角形面积公式可得： 所以， 即，解得， 所以， 设为原点，过作轴于，则， 所以． 记的面积为，因为与相似， 可得，所以点坐标为， 由可得， 即， 是关于的函数，且， 求导数，则， 令， 当时，，当时，，当时，， 当时，，单调递增 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，此时点横坐标．  【解析】本题考查椭圆中的定点、定值与定直线问题，椭圆中的三角形面积问题，导数的应用，属于较难题． 由题得到，再结合是椭圆上一点，即可求解； 设出点坐标，由题得到：，即，即可求解； 在的基础上得到面积，再利用导数求函数最值，即可得解． 19.【答案】解：由二项式定理的性质，杨辉三角第行的个数的和为：， ． 解：杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，，组成．如果第行中有，， 那么，， 解这个联立方程组，得，． 即第行有三个相邻的数，，的比为：：． 证明：若有，，使得，，，成等差数列，则，， 即，． 所以有，， 经整理得到，． 两式相减可得， 所以由，，，成等差数列得， 而由二项式系数的性质可知， 这与，，，成等差数列矛盾，所以原命题得证．  【解析】本题考查数列的应用，二项式定理的应用，杨辉三角的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于较难题． 利用二项式定理的性质，求解杨辉三角第行的个数的和，推出结果． 杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，，组成．推出，，求解、，然后求解第行有三个相邻的数的比即可． 若有，，使得，，，成等差数列．运用等差数列的中项性质，整理化简，结合二项式系数的性质，得到矛盾，即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$