精品解析：2025年广东省深圳市新安中学（集团）中考数学三模练习卷

2025年广东省深圳市新安中学（集团）中考数学三模练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新里程碑．数据420000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下四种沿折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a、b互相平行的是（ ） A. 展开后测得 B. 展开后测得且 C. 测得 D. 测得 7. 某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 一元二次方程的一个解为，则______． 10. 办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是______． 11. 如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 13. 如图，为等腰直角三角形，，，将绕点D旋转得到，此时点A、E、D三点共线，若，时，则的长为____________． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 16. 齐鲁宝地琅琊仙洲，八水绕城六河贯通，三千年的历史文化底蕴，沉醉其中．为探寻琅琊文化，传承沂蒙精神，某中学开展了“谁不说俺家乡好”活动，活动包含知识竞赛和文化宣讲两个项目．为了解学生历史知识的了解情况，从七、八两年级各随机抽取40名学生的知识竞赛成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析，下面给出了部分信息：收集数据：七年级成绩在这一组的数据是： ，，，，，，，，，，，，； 整理数据：七、八两年级名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 七 八 分析数据：七、八两年级成绩平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级的样本容量为______；______． （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （3）根据活动要求，学校将知识竞赛成绩和文化宣讲成绩按2：3的比例确定本次活动的个人综合成绩．某班小明、小红两位同学的知识竞赛成绩和文化宣讲成绩（单位：分）如下： 知识竞赛 文化宣讲 小明 小红 通过计算，小明、小红哪位同学的综合成绩更高？ 17. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 18. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． （1）求抛物线的解析式； （2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）【问题理解】 如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、BC．现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形． （2）【拓展探究】 如图2，等补四边形ABCD中，AB=AD ①已知BC：CD=7：4，△ACD的面积为8，则四边形ABCD的面积为 ； ②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论． （3）【问题解决】 如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD=7，DF=3，且AF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省深圳市新安中学（集团）中考数学三模练习卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体． 【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当． 故选：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大． 3. 深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑．数据420000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数据420000用科学记数法可表示为， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】解：，计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5. 《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 6. 以下四种沿折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a、b互相平行的是（ ） A. 展开后测得 B. 展开后测得且 C. 测得 D. 测得 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【详解】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确； B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， 故正确； C、测得∠1=∠2， ∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角， ∴不一定能判定两直线平行，故错误； D、测得∠1=∠2, 根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；，故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理． 7. 某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查解直角三角形应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程列出关于a的方程，解该方程即可．本题考查一元二次方程根的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 故答案为：． 10. 办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 根据概率的计算公式即可得到答案． 【详解】解：小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事， ∴他选中“三等分角”的概率是． 故答案为：． 11. 如图，一束激光射入水面，在点A处发生折射，折射光线在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为______． 【答案】74 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定，三角形外角的性质，熟练它们的性质是解题的关键． 由三角形的外角性质求出，判定四边形是平行四边形，推出． 【详解】解：，， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 13. 如图，为等腰直角三角形，，，将绕点D旋转得到，此时点A、E、D三点共线，若，时，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作交线段于点P，根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，结合解直角三角形、勾股定理和等腰直角三角形的性质，可得，，，再证明，可得算出，最后结合勾股定理可求得的长． 【详解】解：作交线段于点P， 绕点D旋转得到， 为等腰直角三角形， ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 则，， ， ∴，即 ， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先进行零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 15. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一： ①以上化简步骤中，第一步进行的运算是______． A．整式乘法 B．因式分解 ②第______步开始出现错误． 任务二：请写出完整的解题过程，并从，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】任务一：①B；②四；任务二：过程见解析， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 任务一：①根据分解因式的定义求解；②根据去括号法则进行判断； 任务二：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：任务一： ①第一步将原式这一项变形为，属于分子分母因式分解； 故选：B； ②第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四； 任务二： 原式 = = = = ， 且且， 可以取2， 当时，原式， 16. 齐鲁宝地琅琊仙洲，八水绕城六河贯通，三千年的历史文化底蕴，沉醉其中．为探寻琅琊文化，传承沂蒙精神，某中学开展了“谁不说俺家乡好”活动，活动包含知识竞赛和文化宣讲两个项目．为了解学生历史知识的了解情况，从七、八两年级各随机抽取40名学生的知识竞赛成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析，下面给出了部分信息：收集数据：七年级成绩在这一组的数据是： ，，，，，，，，，，，，； 整理数据：七、八两年级名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 七 八 分析数据：七、八两年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七 八 根据以上信息，回答下列问题： （1）七年级的样本容量为______；______． （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______年级（填“七”或“八”）； （3）根据活动要求，学校将知识竞赛成绩和文化宣讲成绩按2：3的比例确定本次活动的个人综合成绩．某班小明、小红两位同学的知识竞赛成绩和文化宣讲成绩（单位：分）如下： 知识竞赛 文化宣讲 小明 小红 通过计算，小明、小红哪位同学的综合成绩更高？ 【答案】（1）； （2）；八 （3）小红同学的综合成绩更高 【解析】 【分析】本题考查了样本容量、求中位数、求扇形圆心角及求加权平均数， （1）由题可得样本容量，根据频数分布表以及中位数的定义即可得到的值； （2）根据八校成绩在这一组的频数所占比例即可求解；根据方差的意义即可求解； （3）根据加权平均数进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从七、八两个年级各随机抽取名学生的成绩， ∴七年级的样本容量为 把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数． 故答案为：，； 【小问2详解】 八年级成绩在这一组的扇形的圆心角是． 由于七年级的成绩的方差八年级的成绩的方差， 所以本次测试成绩更整齐的是八年级． 故答案为：；八． 【小问3详解】 小明的得分为分， 小红的得分为分， ∴小红同学综合成绩更高． 17. 如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点 （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长是． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由是的直径，得，则，所以，由交的延长线于点P，得即可证明结论； （2）由、、，求得，则，所以，再证明得，再代入数据即可解答 【小问1详解】 证明：如图：连接， 是的外接圆，点O在边上， 是的直径， ， 的平分线交于点D， ， ， 交的延长线于点P， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：，，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， 的长是． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；任务2：，制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，再利用一次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 故答案为：． 19. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点． （1）求抛物线的解析式； （2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积． ①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积； ②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______． 【答案】（1）； （2）①，81；②． 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而得到，即可求出矩形的面积； ②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积． 本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键． 【小问1详解】 将点，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 ①， 顶点C的坐标为； 抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点， 联立，解得：或（舍）， ， 分别过点、作轴、轴的平行线相交于点， 当时，，则， ， ， 点D与点C关于直线对称， ， ， ∴，， 矩形的面积； ②如图，作直线分别交于点、，令直线与的交点为，则， 由①可知，， ， 由题意可知，， 则， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 边与心形图的左、右边缘各相切于一点， 即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点， 联立， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求， ， 矩形的面积为． 故答案为：． 20. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）【问题理解】 如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、BC．现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形． （2）【拓展探究】 如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD ①已知BC：CD=7：4，△ACD的面积为8，则四边形ABCD的面积为 ； ②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论． （3）【问题解决】 如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD=7，DF=3，且AF的长． 【答案】（1）见解析 （2）22；见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形，根据圆内接四边形对角互补即可证明； （2）①过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N，证明，根据相似三角形的性质以及已知条件可得，即可求得四边形ABCD的面积， ②根据（1）的方法证明结论即可； （3）连接，证明，根据相似三角形的性质代入数值求解即可． 【小问1详解】 点D的取法：以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形． 证明：∵CB、CD均为的半径， ∴CB=CD， ∵A、B、C、D四点同在上， ∴四边形ABCD是的内接四边形， ∴四边形ABCD对角互补， ∴四边形ABCD是等补四边形． 【小问2详解】 ①如图所示，过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N， 则， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵AB=AD， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：22； ②图中相等的一组角是与， 证明：∵AB=AD， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形是等补四边形， 又 平分 ． 由（2）可知 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $