精品解析：湖北省十堰市郧阳区思源中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

湖北省十堰市郧阳区思源中学2024-2025学年初一下学期 期末考试试卷 本试卷共 4页，全卷满分100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据线段的性质，对顶角，绝对值的意义，平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两点之间线段最短，原命题是假命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、若，则，原命题是假命题； D、同旁内角互补，两直线平行，原命题为真命题； 故选D． 2. 若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 22或27 C. 27 D. 21或27 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况分析：当腰取5，则底边11；当腰取11，则底边为5；根据三角形三边关系分析. 【详解】当腰取5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关系，所以这种情况不存在； 当腰取11，则底边为5，则三角形的周长=11+11+5=27． 故选C． 【点睛】考核知识点：等腰三角形定义.理解等腰三角形定义和三角形三边关系关键. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则，完全平方公式，单项式乘以多项式法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再根据不等式的性质得到的大小即可． 【详解】解：， ， ，即， 故选：C． 5. 已知，，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得，把溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 则 ， 故选：D． 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了比较大小．熟练掌握整式的加减运算，完全平方公式，非负数的性质，配方法，是解答此题的关键． 首先根据，求出的大小，然后应用配方法，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ， ， 的大小关系为：． 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的高，E为 AD上一点，连接 BE，CE，那么图中共有全等三角形( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 【答案】C 【解析】 【分析】由已知易得△ABD≌△ACD，从而运用全等三角形性质及判定方法证明△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE． 【详解】解：图中的全等三角形共有3对．理由如下： ∵AD⊥BC，AB=AC ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，∠BAD=∠CAD 在Rt△ABD与Rt△ACD中， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD．（HL） 在Rt△EBD与Rt△ECD中 ∴Rt△EBD≌Rt△ECD． 在Rt△EBD与Rt△ECD中 ∴△ABE≌△ACE．（SAS） 故选C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，注意不要漏解． 8. 如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（ ） A. 2米 B. 6米 C. 5米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米 ∴， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点B离地面的高度的值为3米， 故选：D． 9. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 10. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，分类讨论思想的应用．利用勾股定理求出杯子内筷子的最大长度，再根据杯子内筷子的长度范围得出杯子外面长度的取值范围即可得出答案， 【详解】解：当筷子如图1放置时， 在中，由勾股定理，得， 此时，筷子在杯子外面的长度最短， 最短值为：； 当筷子如图2放置时， 此时，筷子在杯子外面的长度最长， 最长值为：． 综上，． 故选：D． 11. 在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值． 【详解】解：由题意可得：原式 ， ∵无论a取何值，，即， ∴代数式， 即当时，代数式有最大值， 故选：A． 【点睛】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式． 12. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的是（ ） ；；是等腰三角形；； A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】本题需结合三角形全等、等腰三角形性质、角平分线性质及三角形面积公式，对每个结论逐一分析判断，通过条件推导边角关系来验证结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形，． ，， ，， ． 在和中， ， ， ，故①正确． 平分，， ． 又，即， 在和中， ， ， ． 由①知， ，故②正确． 是等腰直角三角形，是中点， ，． ，， ， （等量代换）， （等角对等边）， 是等腰三角形，故③正确． 由①，得（全等三角形对应边相等）． ． 又由②，得（全等三角形对应边相等）． ，故④正确． 平分，， ∴等于中边上的高h， （高相同，约去），故⑤正确． 综上，①②③④⑤均正确， 故：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键． 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 13. 已知 展开后，不含 和 的项，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后根据展开后不含和的项，得出关于、的方程，求解、的值，最后代入计算结果． 本题主要考查了多项式乘多项式以及代数式求值，同时涉及了方程的思想．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，能准确根据不含某一项得出对应系数为的方程是解题的关键． 【详解】解： ∵展开后不含和的项， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 14. 没有上盖的圆柱盒高为10cm,周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′，构造直角三角形ACB′，根据勾股定理求出AB′=20cm，即是所求． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′ 点B与点B′关于PQ对称， 可得AC=16cm，B′C=12cm， 则最短路程为AB′=cm． 故答案为：20. 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题． 15. 如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为________ ． 【答案】##95度 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案：． 16. 如图，在等腰中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到；在边上任取一点，延长到，使，得到，按此做法继续下去，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，，按此规律，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出每个等腰三角形中底角的规律是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、乘法公式（平方差公式和完全平方公式）以及整式的乘法运算．熟练掌握算术平方根、立方根的定义，实数的混合运算顺序，平方差公式和完全平方公式的应用，以及整式乘法的运算规则是解题的关键． （1）根据算术平方根定义求，根据求，根据算术平方根定义求，根据立方根定义求，再进行加减运算． （2）按照运算顺序，先算乘方和开方，再算除法，接着去绝对值，最后进行加减运算． （3）把式子变形为，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式化简． （4）先利用平方差公式计算，再将结果与利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 18. 因式分解． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式进行因式分解，再对分解后的式子进一步利用平方差公式分解． （2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式继续分解． （3）先利用十字相乘法对式子进行因式分解，然后再对分解后的因式进一步分解． （4）先对式子提取公因式，然后对于剩下括号内的式子，可将其变形为的形式，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，包括完全平方公式、平方差公式、十字相乘法以及提取公因式法．熟练掌握各种因式分解方法的适用形式和运算规则，能根据式子的特点灵活选择合适的分解方法是解题的关键． 19. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断； （2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】解：（1）∵28=82-62， ∴28是“神秘数”； ∵2012=5042-5022， ∴2012是“神秘数”； （2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下： （2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则 （2k+1）2-（2k-1）2=8k， 此数是8的倍数，但不是4的奇数倍， 由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 【点睛】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键． 20. 如图，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC． (1)如图 1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE 平分∠DAB； (2)如图 2，若 DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）延长 DE 交 AB 的延长线于 F，易得AB∥CD，∠CDE＝∠F，又E 是 BC 的中点，可得E 是 BC 的中点，△CDE≌△BFE，可得DE＝FE，由已知DE 平分∠ADC，可得∠CDE＝∠ADE，∠ADE＝∠F，AD＝AF，可得结论. （2）在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF, 同理可得△CDE≌△FDE，可得CE＝FE，∠CED＝∠FED，又E 是 BC 的中点，可得FE＝BE，可证得∠AEF＝∠AEB，可得 △AEF≌△AEB 可得AF＝AB，AD＝AF+DF＝AB+CD． 【详解】解：（1）如图 1，延长 DE 交 AB 的延长线于 F， ∵∠ABC＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠CDE＝∠F， 又∵E 是 BC 的中点， ∴E 是 BC 的中点， ∴△CDE≌△BFE（AAS）， ∴DE＝FE，即 E 为 DF 的中点， ∵DE 平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠F， ∴AD＝AF， ∴AE 平分∠DAB； （2）如图 2，在 DA 上截取 DF＝DC，连接 EF， ∵DE 平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠FDE， 又∵DE＝DE， ∴△CDE≌△FDE（SAS）， ∴CE＝FE，∠CED＝∠FED， 又∵E 是 BC 的中点， ∴CE＝BE， ∴FE＝BE， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠AEF＝∠AEB， 又∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键. 21. 已知，正方形的边长为，点是边上一点，将沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于，交于． （1）求的长 （2）求证： （3）求的长 【答案】（1）； （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求即可． （2）利用折叠性质得到角相等，再结合正方形对边平行的性质，推导角的关系，进而证明线段相等． （3）先设的长度为未知数，根据的组成（，）以及直角三角形（实际为利用与平行，构建包含的直角三角形或利用相似三角形），结合勾股定理求出相关线段长度，再通过相似三角形对应边成比例求出． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，边长为， ∴， 在中，根据勾股定理； 【小问2详解】 解：∵沿翻折得到 ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设， ∵，由折叠知，，， ∴ ∵，， 在中，根据勾股定理，即 解得 ∴，， ∵， ∴ 设，则， 由，得， 即， 解得， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 22. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】（1）； （2）成立，理由见详解； （3），理由见详解． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【小问1详解】 证明：如图1， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区思源中学2024-2025学年初一下学期 期末考试试卷 本试卷共 4页，全卷满分100分，考试时间90分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 同旁内角互补，两直线平行 2. 若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 22或27 C. 27 D. 21或27 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 5. 已知，，，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的高，E为 AD上一点，连接 BE，CE，那么图中共有全等三角形( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 8. 如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为（ ） A. 2米 B. 6米 C. 5米 D. 3米 9. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A B. C. 或 D. 或 10. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法： 解：原式， ∵无论a取何值，， ∴代数式， 即当时，代数式有最小值为4． 仿照上述思路，则代数式的最值为（　　） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 12. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的是（ ） ；；是等腰三角形；； A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分） 13. 已知 展开后，不含 和 项，则 ___________． 14. 没有上盖的圆柱盒高为10cm,周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_________cm． 15. 如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为________ ． 16. 如图，在等腰中，，．在边上任取一点，延长到，使，得到；在边上任取一点，延长到，使，得到，按此做法继续下去，则的度数是________． 三．解答题（共7小题，满分68分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18 因式分解． （1） （2） （3） （4） 19. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么? （2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么? 20. 如图，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC． (1)如图 1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE 平分∠DAB； (2)如图 2，若 DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD． 21. 已知，正方形的边长为，点是边上一点，将沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于，交于． （1）求的长 （2）求证： （3）求的长 22. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $