山东省实验中学2025-2026学年高一上学期适应性质量检测数学试题

高一数学试题 第 1 页（共 4 页） 绝密★启用并使用完毕前 数 学 试 2025 年 8 月山东省实验中学新高一适应性质量检测 题 本试题共 4 页，共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设全集 U R ，集合    x A x y 2 { | } 1 ，   B y y x{ | 1}2 ，则 图中阴影部分所表示的集合为 A．{x|x≥1} B．{x|x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x＜1} 2．已知 a＞b＞c，则下列式子一定成立的是 A．ac 2 ＞bc 2 B．a 2 ＞b 2 C．    a c b c 1 1 D．a+c＞b﹣c 3．已知 f（x）＝ax 2 +（b﹣3）x+3，x∈[a 2 ﹣2，a]是偶函数，则 a+b＝ A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于 x 的不等式 ax 2 +bx+c＞0 的解集为（﹣2，4），则不等式 cx 2 ﹣bx+a＜0 的解集 是 A．  x x 2 { | 1 或 x 4 } 1 B．{   x x 4 2 | } 1 1 C．  x x 4 { | 1 或 x 2 } 1 D．   x x 2 4 { | } 1 1 5．函数   f x x x( ) 2 的值域为 A． ( ， 2] B．[2，) C．  4 ( , ] 9 D．  4 [ , ) 9 6．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图 形在 x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为 A．   y x x2 | |2 B．  y x x4 2 C．  y x x| | 4 2 D．   y x x22 高一数学试题 第 2 页（共 4 页） 7．已知实数 x，y 满足 x＞3，且 xy+2x﹣3y＝10，则 x+y 的最小值为 A．4 B．5 C．3 2 D．1 2 6 8．设 f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，对任意的 x1，x2∈（0，+∞）， x1≠x2，满足： 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 0 x f x x f x x x    ，且 f（2）＝4，则不等式 8 ( ) 0f x x   的解集为 A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣4）∪（0，4） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对者得 6 分，部分选对者得部分分，有错选的得 0 分。 9．“|x|＜1”的充分条件可以是 A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 10．已知幂函数 f（x）＝x α ，则下列结论正确的是 A．函数 y＝f（x）的图象都经过点（0，0），（1，1） B．函数 y＝f（x）的图象不经过第四象限 C．若 α＞0，则函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增 D．若 α＝2，则对任意实数 x1，x2，有 1 2 1 2( ) ( )( ) 2 2 x x f x f x f    11．定义 f（x）＝⌈x⌉（其中⌈x⌉表示不小于 x 的最小整数）为“向上取整函数”．例如⌈﹣1.1⌉ ＝﹣1，⌈2.1⌉＝3，⌈4⌉＝4．以下描述正确的是 A．若 f（x）＝2025，则 x∈（2024，2025] B．若⌈x⌉ 2 ﹣5⌈x⌉+6≤0，则 x∈（1，3] C．f（x）＝⌈x⌉是 R 上的奇函数 D．若 f（x）＝f（y），则|x﹣y|＜1 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知集合 A＝{1，a﹣2，a 2 ﹣a﹣1}，若﹣1∈A，则实数 a＝ ． 13．函数 1x y x b    的图像关于点（3，c）中心对称，则 b+c＝ ． 14．设 a＞0，函数𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 2，𝑥＜− 𝑎 −𝑥2 + 𝑎2，− 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥2 − 3 2 𝑥，𝑥＞𝑎 ，若 y＝f（x）与 y＝﹣x 恰有三个公共 点，则 a 的取值范围是 ． 高一数学试题 第 3 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。 15．（本小题满分 13 分） 若关于 x 的不等式 2 2 1 2 4 x mx m   的解集为 A，不等式 2 1 0 2 x x    的解集为 B． （1）已知 A 是 B 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围； （2）设命题 p：∃x∈B，x 2 +（2n+1）x﹣8＞0，若命题 p 为假命题，求实数 n 的取值范 围． 16．（本小题满分 15 分） 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f（x）＝x 2 +2x． （1）画出函数 f（x）（x∈R）的图象，并写出它的 单调增区间； （2）写出函数 f（x）（x∈R）的解析式； （3）若函数 g（x）＝f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]）， 求函数 g（x）的最小值． 17．（本小题满分 15 分） 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择．新 能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、 纯电动汽车．有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速 80km/h．经数 次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量 Q（单位：wh）与速度 V（单位：km/h）的数据 如下表所示： V 0 20 40 80 Q 0 1800 5600 21600 若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量 Q 与速度 V 的关系，可用 3 21( ) ( 40) 10 80 Q V V aV V b     表示． （1）请求出函数 Q（V）的表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速 60km/h，最高限速 120km/h）匀速行驶到距离为 300km 的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗 电量（ 100 ( 40) 5000 ( ) Q v v M v v    单位：wh），出发前汽车电池存量为 35000wh，汽车 高一数学试题 第 4 页（共 4 页） 到达乙地后至少要保留 5000wh 的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为 v 的过 程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）． （i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由； （ii）已知该高速公路上服务区有功率为 15000w 的充电桩（充电量＝充电功率×充电时 间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最 小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值） ( 34 5.83) ． 18．（本小题满分 17 分） 函数 f（x）对任意实数 x，y 恒有 f（x）＝f（y）+f（x﹣y），且当 x＞0 时，f（x）＜0． （1）判断 f（x）的奇偶性； （2）求证：f（x）是 R 上的减函数； （3）若 a∈R，解关于 x 的不等式 f（ax 2 ）+f（x+2）＜f（x 2 ）﹣f（ax）． 19．（本小题满分 17 分） 设 f（x）＝x 2 ﹣2tx+1，g（x）＝﹣x 2 +4tx+1，其中 t＞0，记 F（x）＝min{f（x），g（x）}． （1）若 t＝1，求 F（x）的值域； （2）若 t＞0，记函数 h（x）＝f（x）+tx﹣1+t 2 对任意 1 [ , ]x t t  ，总存在 1 [ ,2 ] 2 m t t  ，使 得 h（x）＝m 成立，求实数 t 的取值范围； （3）亲爱的同学们你们好，很高兴看到大家从第 1 题一直看到最后一题最后一问，能够 坚持看到这里的你已经非常优秀了，请你写出人教 A版必修一前三章的三个重要知识点， 每个 2 分，相信大家在开学之后的高一学习中一定鸿运当头，开门红！ 高一数学试题参考答案及评分意见 第 1 页（共 6 页） 绝密★启用并使用完毕前 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 2025年8月山东省实验中学新高一适应性质量检测 数学试题参考答案与评分意见 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D B C A B A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 题号 9 10 11 答案 BD BCD ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 0． 13． 4． 14． (0， 1 2 )． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．（本小题满分 13 分） 解：（1）不等式𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚2 ≤ 1 4 可化为(𝑥 −𝑚)2 ≤ 1 4 ，解得− 1 2 ≤ 𝑥 −𝑚 ≤ 1 2 ， 集合𝐴 = [𝑚 − 1 2 ，𝑚+ 1 2 ]．……1 分 不等式 2𝑥−1 2−𝑥 ≥ 0可化为{ (2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ≤ 0 𝑥 − 2 ≠ 0 ⇒ 1 2 ≤ 𝑥＜2， 集合𝐵 = [ 1 2 ，2)．……2 分 ∵A 是 B 的充分不必要条件，∴A 是 B 的真子集，则{ 𝑚 − 1 2 ≥ 1 2 𝑚+ 1 2 ＜2 ，……4 分 ∴m 的取值范围是[1， 3 2 )．……6 分 （2）∵命题 p 为假命题，∴命题￢p 为真命题， 即￢p：∀x∈B，x 2 +（2n+1）x﹣8≤0 为真命题，……8 分 令 f（x）＝x 2 +（2n+1）x﹣8，……9 分 根据二次函数的性质可得，{ 𝑓( 1 2 ) = 𝑛 − 29 4 ≤ 0 𝑓(2) = 4𝑛 − 2 ≤ 0 ，……11 分 解得𝑛 ≤ 1 2 ，所以实数 n 的取值范围是(−∞， 1 2 ]．……13 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 2 页（共 6 页） 16．（本小题满分 15 分） 解：（1）如图，根据偶函数的图象关于 y 轴对称，可作出 f（x）的图象， ，……2 分 则 f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；……3 分 （2）令 x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x 2 ﹣2x……4 分 ∵函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴f（x）＝f（﹣x）＝x 2 ﹣2x……6 分 ∴解析式为 f（x）= { 𝑥2 + 2𝑥，𝑥 ≤ 0 𝑥2 − 2𝑥，𝑥＞0 ；……8 分 （3）g（x）＝x 2 ﹣2x﹣2ax+2，对称轴为 x＝a+1，……9 分 当 a+1≤1 时，g（1）＝1﹣2a 为最小；……10 分 当 1＜a+1≤2 时，g（a+1）＝﹣a 2 ﹣2a+1 为最小；……11 分 当 a+1＞2 时，g（2）＝2﹣4a 为最小；……12 分 ∴g（x）= { 1 − 2𝑎，𝑎 ≤ 0 −𝑎2 − 2𝑎 + 1，0＜𝑎 ≤ 1 2 − 4𝑎，𝑎＞1 ．……15 分 17．（本小题满分 15 分） 解：（1）若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量 Q 与速度 V 的关系，可用𝑄(𝑉) = 1 80 (𝑉 + 40)3 + 𝑎𝑉2 − 10𝑉 + 𝑏表示， 由题意可得{ 1 80 × 403 + 𝑏 = 0 1 80 × 603 + 𝑎 × 202 − 10 × 20 + 𝑏 = 1800 ，……2 分 解得{𝑎 = 1 4 𝑏 = −800 ，……4 分 故 Q（V）的表达式为𝑄(𝑉) = 1 80 (𝑉 + 40)3 + 1 4 𝑉2 − 10𝑉 − 800(0 ≤ 𝑉 ≤ 80)；……5 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 3 页（共 6 页） （2）已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量𝑀(𝑣) = 100𝑄(𝑣−40)+5000𝑣 𝑣 （单位： wh）， 出发前汽车电池存量为 35000wh，汽车到达乙地后至少要保留 5000wh 的保障电量， 𝑀(𝑣) = 100𝑄(𝑣−40)+5000𝑣 𝑣 = 100( 180𝑣 3+14𝑣 2−30𝑣)+5000𝑣 𝑣 = 5 4 𝑣2 + 25𝑣 + 2000， ……7 分 设 耗 电 量 为 f （ v ）， 则 𝑓(𝑣) = 𝑀(𝑣) ⋅ 300 𝑣 = 5 4𝑣 2+25𝑣+2000 𝑣 × 300 = ( 𝑣 4 + 400 𝑣 + 5) × 1500；……8 分 （i）任取 60≤v1＜v2≤120， 𝑓(𝑣1) − 𝑓(𝑣2) = ( 𝑣1 4 + 400 𝑣1 + 5) × 1500 − ( 𝑣2 4 + 400 𝑣2 + 5) × 1500 = (𝑣1 − 𝑣2)( 𝑣1𝑣2−1600 4𝑣1𝑣2 ) × 1500， 由 60≤v1＜v2≤120，v1﹣v2＜0，v1v2＞3600，v2﹣v1＞0，则有 f（v1）﹣f（v2）＜0， 即 f（v1）＜f（v2）， 所以函数 f（v）在区间[60，120]单调递增，……9 分 所以 f（v）min＝f（60）＝40000＞35000﹣5000，……10 分 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地； （ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为 t1，t2，总和为 t， 若能到达乙地，则初始电量+充电电量﹣消耗电量≥保障电量， 即 35000+15000t2﹣f（v）≥5000，……11 分 所以35000 + 15000𝑡2 − ( 𝑣 4 + 400 𝑣 + 5) × 1500 ≥ 5000， 解得𝑡2 ≥ 𝑣 40 + 40 𝑣 − 3 2 ，……12 分 所以总时间𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 ≥ 300 𝑣 + 𝑣 40 + 40 𝑣 − 3 2 = 𝑣 40 + 340 𝑣 − 3 2 ≥ 2√ 𝑣 40 ⋅ 340 𝑣 − 3 2 ≈ 4.33，…… 13 分 当且仅当 𝑣 40 = 340 𝑣 ，即 v≈116.6km/h 时取等号，……14 分 所以 v≈116.6km/h，该汽车到达乙地的最少用时约为 4.33 小时．……15 分 18．（本小题满分 17 分） 解：（1）由题意，函数 f（x）对任意实数 x，y 恒有 f（x）＝f（y）+f（x﹣y）， 令 x＝y＝0 得 f（0）＝f（0）+f（0），解得：f（0）＝0，……1 分 高一数学试题参考答案及评分意见 第 4 页（共 6 页） 取 x＝0，则由 f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得 f（0）＝f（y）+f（﹣y）＝0，……2 分 ∴f（﹣y）＝﹣f（y），即 f（﹣x）＝﹣f（x），……3 分 ∴函数 f（x）是奇函数；……4 分 （2）证明：任取 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则 x2﹣x1＞0，……5 分 ∵当 x＞0 时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，……6 分 由 f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得 f（x）﹣f（y）＝f（x﹣y），……7 分 ∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0，……8 分 ∴f（x1）＞f（x2），……9 分 ∴f（x）是 R 上的减函数；……10 分 （3）由 f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得 f（ax 2 ）+f（x+2）＝f（ax 2 +x+2）， 由 f（x）＝f（y）+f（x﹣y）得 f（x）﹣f（y）＝f（x﹣y）， 则 f（x 2 ）﹣f（ax）＝f（x 2 ﹣ax）， ∴不等式 f（ax 2 ）+f（x+2）＜f（x 2 ）﹣f（ax）可化为 f（ax 2 +x+2）＜f（x 2 ﹣ax），……11 分 ∵f（x）是 R 上的减函数， ∴ax 2 +x+2＞x 2 ﹣ax，即（a﹣1）x 2 +（a+1）x+2＞0．……12 分 （i）当 a＝1 时，不等式①式即为 2x+2＞0，解得：x＞﹣1，即原不等式解集为（﹣1，+∞）； （ii）当 a＞1 时，不等式①式化为(𝑎 − 1)(𝑥 + 2 𝑎−1 )(𝑥 + 1)＞0，即(𝑥 + 2 𝑎−1 )(𝑥 + 1)＞0， 若 a＝3，上式不等式即为（x+1） 2 ＞0，解得：x≠﹣1，即原不等式解集为（﹣∞，﹣1） ∪（﹣1，+∞）； 若 a＞3，则− 2 𝑎−1 ＞− 1，原不等式解集为(−∞，− 1) ∪ (− 2 𝑎−1 ，+∞)； 若 1＜a＜3，则− 2 𝑎−1 ＜− 1，原不等式解集为(−∞，− 2 𝑎−1 ) ∪ (−1，+∞)； （iii）当 a＜1 时，不等式①式化为(𝑎 − 1)(𝑥 + 2 𝑎−1 )(𝑥 + 1)＞0，即(𝑥 + 2 𝑎−1 )(𝑥 + 1)＜0， ∵− 2 𝑎−1 ＞− 1，∴原不等式解集为(−1，− 2 𝑎−1 )； 综上，当 a＜1 时，原不等式解集为(−1，− 2 𝑎−1 )； 当 a＝1 时，原不等式解集为（﹣1，+∞）； 当 1＜a＜3 时，原不等式解集为(−∞，− 2 𝑎−1 ) ∪ (−1，+∞)； 高一数学试题参考答案及评分意见 第 5 页（共 6 页） 当 a＝3 时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）； 当 a＞3 时，原不等式解集为(−∞，− 1) ∪ (− 2 𝑎−1 ，+∞)．……17 分 （每种情况 1 分，不写综上所述扣 1 分） 19．（本小题满分 17 分） 解：（1）当 t＝1 时，在直角坐标系中，分别作出 f（x）＝x 2 ﹣2x+1，g（x）＝﹣x 2 +4x+1 的 图象（左图），进而可得 F（x）的图象（右图）， 令 f（x）＝g（x），解得 x＝0，x＝3，故 f（3）＝g（3）＝4，……1 分 由图可知：F（x）的值域为（﹣∞，4]；……2 分 （2）函数ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑥 − 1 + 𝑡2 = 𝑥2 − 𝑡𝑥 + 𝑡2 = (𝑥 − 1 2 𝑡)2 + 3 4 𝑡2，……3 分 由于𝑥 ∈ [ 1 𝑡 ，𝑡]，t＞0，所以 1 𝑡 ＜𝑡，故 t＞1，……4 分 当𝑡＞√2时， 1 𝑡 ＜ 1 2 𝑡， h（x）在[ 1 𝑡 ， 1 2 𝑡]单调递减，在[ 1 2 𝑡，𝑡]单调递增，……6 分 且𝑡 − 1 2 𝑡＞ 1 2 𝑡 − 1 𝑡 ，故 h（x）在 x＝t 取最大值 t 2 ，在𝑥 = 1 2 𝑡取最小值 3 4 𝑡2， 故ℎ(𝑥) ∈ [ 3 4 𝑡2，𝑡2]，……7 分 当1＜𝑡 ≤ √2时， 1 𝑡 ≥ 1 2 𝑡，h（x）在𝑥 ∈ [ 1 𝑡 ，𝑡]单调递增，ℎ(𝑥) ∈ [ 1 𝑡2 + 𝑡2 − 1，𝑡2]，……8 分 若对任意𝑥 ∈ [ 1 𝑡 ，𝑡]，总存在𝑚 ∈ [ 1 2𝑡 ，2𝑡]，使得 h（x）＝m 成立， 则 h（x）在𝑥 ∈ [ 1 𝑡 ，𝑡]上的值域为[ 1 2𝑡 ，2𝑡]的子集即可，……9 分 故ℎ(𝑥) ∈ [ 3 4 𝑡2，𝑡2]是[ 1 2𝑡 ，2𝑡]的子集，……10 分 故 { 3𝑡2 4 ≥ 1 2𝑡 𝑡2 ≤ 2𝑡 𝑡＞√2 ，即{ 3𝑡3 ≥ 2 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝑡＞√2 ，解得√2＜𝑡 ≤ 2， 高一数学试题参考答案及评分意见 第 6 页（共 6 页） 或者 { 1 𝑡2 + 𝑡2 − 1 ≥ 1 2𝑡 𝑡2 ≤ 2𝑡 1＜𝑡 ≤ √2 ，解得1＜𝑡 ≤ √2 综上，所求 t 的范围为（1，2]；……11 分 （3）写出三个人教 A 版必修一知识点即可……17 分