北京市东直门中学2025-2026学年高三上学期初限时训练数学试题

第 1页，共 4页 高三第一学期学期初限时训练 数学 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.已知集合  4, 3, 2, 1,0,1A      ，  4 1B x x    ，则 A B  （ ） A.  4, 3, 2, 1,0,1    B.  4 1x x   C.  3, 2, 1,0   D.  2.若   1 i 1 i 2 ib a    （a， Rb ，i为虚数单位），则 a b 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知 π 3sin 4 3       ，则 sin 2 （ ） A. 2 3  B. 1 3  C. 2 3 D. 1 3 4.在 ABC 中，点D是线段 BC上一点，若 BD BC   ， 1 3 4 4 AD AB AC     ，则实数 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 5.2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了 几台�型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间�(单位：年)与当年所需要支出的维修费用�(单位：千元)有如 下统计资料： � 2 3 4 5 6 � 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为� = 1.23� + �，则( ) A. �与�的样本相关系数� < 0 B. � = 0.08 C.表中维修费用的第 60 百分位数为 6.5 D.该型跑步机已投入使用的时间为 10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是 12.38 万元 6.已知曲线 2 2 : 1 6 2 x yC t t     ，设 : 2 3p t  ，q：曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，则 p是 q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 π 4 A  ， 3b  ，三角形 ABC的面积为 6，则 a （ ） A. 65 B. 17 C. 17 D. 65 第 2页，共 4页 8.已知函数�(�) = ��−1，�(�) = ��2，若总存在两条不同的直线与函数� = �(�)，� = �(�)图象均相切，则实数� 的取值范围是( ) A. ( �4 , + ∞) B. ( � 2 , + ∞) C. ( 1 � , + ∞) D. ( 2 � , + ∞) 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9.已知(� − 12 � ) �的展开式中共有 7 项，则( ) A.所有项的二项式系数和为 64 B.所有项的系数和为 1 C.二项式系数最大的项为第 4 项 D.有理项共 4 项 10.已知动点 P到定点  0,1F 的距离与到定直线 : 3l y  的距离之和为 4，记动点 P的轨迹为曲线 C，则下列结 论正确的是（ ） A.曲线 C的轨迹方程为    222 1 4 3x y y     B.曲线 C的图象关于 y轴对称 C.若点  0 0,x y 在曲线 C上，则 02 3 2 3x   D.曲线 C上的点到直线 3 15 0x y   的距离的最大值为 12 11.已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足：对任意实数 x，y，恒有[ ( ) 1 ( ) 1] ( 1] [ )f x f y f x y      ，若 (1) 1f  ， 当 0x  时， ( ) 0f x  ，则下列结论正确的是（ ） A. (0) 0f  B.函数 ( )f x 的最小值为 1 C. ( )f x 为 R 上的增函数 D.关于 x的不等式 ( ) (2 ) 3f x f x   的解集为 ( ,0) (2, )  三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12.甲、乙两人向同一目标各射击 1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为 3 4 ， 4 5 ，则目标至少被击中 1次的概 率为______． 13.已知函数  f x 的定义域为 R，且    2f x f x  ，当  0,1x 时，   2 1xf x   ，则 2 1log 3 f      的值为 ______． 14.在三棱锥� − ���中，侧面���与底面���垂直，∠��� = 90°，∠��� = 30°，�� = 3，�� = 2.则三棱锥� − ��� 的外接球的表面积为 ． 第 3页，共 4页 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15.中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬 该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市 场消费收入的 6组数据如下表： 技艺展示量 x（单位：个） 21 23 24 27 29 32 市场消费收入 y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77 （1）若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入 y关于技艺展示量 x的回归方程  y bx a  （精确到 0.1）； （2）若用非线性回归模型求得市场消费收入 y关于技艺展示量 x的回归方程为  0.23030.06e xy  ，且决定系数 2 0.9522R  ，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数 2R 说明哪种模型的拟合效果更好． 附：一组数据  1 1,x y ，  2 2,x y ，…，  ,n nx y ，其回归直线  y bx a  的斜率和截距的最小二乘估计为      1 2 1 , n i i i n i i x x y y b x x         ， a y bx   ；决定系数     2 2 1 2 1 1 n i i i n i i y y R y y         参考数据：    6 1 557i i i x x y y     ，   6 2 1 84    i i x x ，   6 2 1 3930i i y y    ， 线性回归模型的残差平方和为   6 2 1 236.64i i i y y    （其中 ix ， iy 分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费 收入， 1,2,3,4,5,6i  ）． 16.如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 2 2AA AB AD  ，点 E是棱 1CC 的中点． （1）求证： 1 //AC 平面 BDE； （2）求直线 1BC 与平面 BDE所成角的正弦值． 17.已知函数    2lnf x x x a  ， aR ． （1）若函数  f x 在  2e , 上单调递增，求实数 a的取值范围； （2）若 ex 为函数  f x 的极值点，求 a的值； （3）设函数   24 4g x x bx  ，当 2a   时，若对于任意  1 0,x   ，总存在  2 2,4x   ，使得    2 1g x f x ，求实数 b的取值范围． 第 4页，共 4页 18.已知非零等差数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 4a  ， 1 4n n na a S  ． （1）求 na 的通项公式； （2）已知正项数列 nb 满足： 1 1 3 b  ，且 1nb  是 nb 和 1n nb b  的等差中项，求数列 1 1 n n a b            的前 n项和 nT ； （3）在条件（2）下，记正项数列 nb 的前 n项和为 nM ．求证： 2 1 51 3 2 6 n nM            ． 19.已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x y a b a b      的左、右顶点分别是 1A， 2A ，点  3,1E 在双曲线上，且直线 1AE， 2A E的斜率之积为 1． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知 1F ， 2F 分别是双曲线的左、右焦点，点 G是圆     2 2 12 3 2 x y    上的动点，若 K是双曲线 左支上一动点，求 2KF KG 的最小值； （3）已知两平行直线 1l 和 2l ，直线 1l 过点  2,0 交双曲线的右支于 A，B两点，直线 2l 过点  8,0 交双曲线的 右支于 C，D两点，记 AB，CD的中点分别为 P，Q，过点 Q作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 M， N．求四边形 PMQN面积的取值范围．