黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2024级高二年级上学期开学考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六～八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. i D. －i 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 4. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 若，则为直角三角形 D. 若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数______． 13. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 14. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： （1）平面； （2）平面平面． 16. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 17. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 18. 如图，正方体的棱长为，，是棱，上的点，且（）． （1）证明：过，，三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形； （2）若，求直线与所成角的余弦值； （3）设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，证明：． 19. 如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2024级高二年级上学期开学考试 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六～八章，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）24 【18题答案】 【答案】（1） 在正方体中，在上取点，使得，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 又，则，四边形是平行四边形， 因此，又， 则四边形为平行四边形，， 于是，四边形为平行四边形， 所以过，，三点的平面截正方体所得截面图形为平行四边形. （2） （3） 依题意，平面平面， 则平面的法向量可取为，平面的法向量可取为， 而，则， 设平面的法向量为，则，取，得， 则， 又平面的法向量为，则， 所以. 【19题答案】 【答案】（1） 因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $