3.4分式方程第2课时分式方程的增根 课件-2025-2026学年青岛版2024八年级数学上册

第3章 分式 代数式 整式 分式方程 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 分式及基本性质 分式运算 分式方程 分式 分式的混合运算 数与式 分式与比 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 1、什么叫分式方程？ 2、分式方程解法的步骤？ 一化，二解，三验，四答。 3.分式方程为什么必须要检验？ 温故而知新 未知数的取值必须要保证分式有意义，即分母不为0. 当未知数是取值使分母为0怎么办？ 青岛版数学八年级上册 第3章 分式 3.4 分式方程 第2课时 分式方程的增根 探究一 分式方程的增根 观察与发现 解下列方程你会有什么发现? (2) - =8 （1）- =4 解： 将方程两边都乘2x,得 1920-960=8x 解这个整式方程，得 x=120 检验:当x=120时，2x≠0 所以x=120是原方程的解。 将方程两边都乘（x-7）,得 x-8+1=8(x-7) 解这个整式方程，得 x=7 检验:当x=7时，x-7=0 还是原方程的解吗？ 检验：将x=7代入原方程中，分母x-7和7-x的值都为0，相应的分式无意义.因此x=7虽是整式方程 x-8+1=8(x-7)的解， 探究一 分式方程的增根 观察与发现 但不是原分式方程 - =8的解，也就是说，这个分式方程无解. 上面两个分式方程中，为什么（1）- =4 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而（2） - =8 去分母后所得整式方程的解 却不是原分式方程的解呢？ 探究一 分式方程的增根 思考与交流 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 两边同乘2x 当x=120时,2x≠0 探究一 分式方程的增根 - =4 1920-960=8x 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 两边同乘(x-7) 当x=7时, (x-7)=0 - =8 x-8+1=8(x-7) 探究一 分式方程的增根 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 探究一 分式方程的增根 方法总结 在分式方程变形的过程中得到的适合整式方 程,但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 分式方程的增根的概念： 探究一 分式方程的增根 归纳总结 检验:当x=7时，x-7=0 (2) - =8 ∴x=7是原方程的增根（不是原方程的解）。 所以原方程没有解。 例如在解： 概括与表达 解分式方程的一般步骤： 分式方程 整式方程 整式方程 的解 分式方程的解 转化 求解 验根 目标 例1.解下列方程 （1） - = 1 (2) - = 例题讲析 解:(1)方程两边都乘(x+2)(x-2),得 (x-2)2-8=(x+2)(x-2) 整理,得 -4x=0 解方程,得 x=0 检验:当x=0时,(x+2)(x-2)≠0。 所以x=0是原方程的解。 (2) - = 原方程可化为 - = 方程两边都乘x(x+1)(x-1),得 7(x-1)-6x=-3(x+1) 整理,得 4x=4 解得 x=1 检验:当x=1时,x(x+1)(x-1)=0。 所以x=1是增根。 所以原方程无解。 解分式方程的注意点： （1）去分母时,先确定最简公分母； 若分母是多项式,要进行因式分解； （2）去分母时,不要漏乘不含分母的项； （3）最后不要忘记验根。 方法总结 1. 解分式方程 + = 时, 以下三个步骤中错误的一步是___。 ①方程两边都乘(x-1)(x+1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6; ②解这个整式方程，得x=1; ③原分式方程的解为x=1。 ③ 巩固练习 2.解下列方程 (1) = (2) - = (3) + = (4) = -1 巩固练习 解:在方程两边都乘以(x-2)（x+2)得 2(x+2)+mx=3(x-2) ∵方程有增根 ∴(x-2)(x+2)=0， 即x=2或x=2 (1)当x=2时 2×（2+2）+2m=0 ∴m=-4 (2)当x=-2时 -2m=3×（-2-2） ∴m=6 终上所述，m=-4或 m=6 例题讲析 3、若关于x的方程 有增根,求a的值. 解:在方程两边都乘以(x-3)得 2=(x-3)-a ∵方程有增根 ∴x-3=0，即x=3 把x=3代入2=(x-3)-a,得 a= -2. 巩固练习 ∴a的值是-2. 本节课你有什么收获？ (1)去分母，得_______________， (2)去括号，得______________， (3)移项，合并同类项，得______________， (4)化x的系数为1，得_____________， (5)检验：_____________________________， ∴原分式方程的解为_______________． 2(x－3)＝3x 2x－6＝3x －x＝6 x＝－6 x＝－6时，x(x－3)≠0 x＝－6 当堂检测 解：原方程两边都乘(x＋2)(x－2)， 去分母得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)， 整理得3x－10＝2x，解得x＝10， 检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0， 故原方程的解为x＝10 x=5 x=0或x=3 4.若关于x的方程 - =有增根x= -1,求k的值。 解:方程两边都乘x(x+1)(x-1),得x(k-1)-(x+1)=(k-5)(x-1), 整理,得3x=6-k。 当x =-1 时,3×(-1)=6-k, 所以k=9。 1. 解方程： eq \f(2,x)＝ eq \f(3,x－3). 2.解方程： eq \f(3,x＋2)＋1＝ eq \f(x,x－2). $$