2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷十二 一元一次不等式的综合

专题卷十二 一元一次不等式的综合 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2024·台州自主招生]已知a,b是非零实数,若对于任意的x≥0,都有(x-a)(x-b)(x-b-1)≥0，则下列不可能的是 ( ) A. a>0 B. a<0 C. b>0 D. b<0 2.[浙江竞赛]要使方程组 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是 ( ) C. a>3 或a>3 3.已知方程2|x|-k=kx-3无负数解，那么k 的取值范围是 ( ) A.-2≤k≤3 B.2<k≤3 C.2≤k≤3 D. k≥3或k≤-2 4.[绍兴中学自主招生]若对0<x<3上的一切实数x，不等式(m-2)x<2m-1恒成立，则实数m的取值范围是 ( ) 5.[2024·成都温江区校级自主招生]已知方程组 的解x 为正数，y为非负数，给出下列结论:①-3<a≤1;②当a=-2时,方程组的解也是方程x+y=5+a 的解;③当a=0时, ④若x≤1,则2≤y<4。其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①③④ 6.[2024·重庆渝中区期末]对于任意实数x，其整数部分记为[x]，小数部分记为{x}，即：x=[x]+{x},其中[x]表示不超过x的最大整数。如[1.2]=1,{1.2}=0.2;[-1.2]=-2,{-1.2}=0.8。下列结论正确的是 ( ) ①{-0.5}=-0.5; ②若x+y=n(n是整数),则[x]+[y]=n或n=1; ③若[x]=1,[y]=2,[z]=3,则[x+y+z]所有可能的值为6,7,8; ④方程3[x]-1={x}+2x的解为x=1或 A.①② B.①③ C.②③ D.②③④ 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[2024·温州瓯海区校级自主招生]若不等式组 只有一个整数解，则a 的取值范围是 。 8.[2023·宁波青藤书院培优]若质数 p,q满足3q-p-4=0,p+q<111,则 pq的最大值为 。 9.已知三个非负数a，b，c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1。 若m=3a+b-7c,，则m 的最小值为 ，m的最大值为 。 10.[2024·全国初中生数学素养与创新能力竞赛]已知 表示不超过x 的最大整数)，设方程 的两个不同实数解为x₁,x₂,则 11.用锤子以相同的力度将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。当铁钉进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的 已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a(cm)，若铁钉总长度为4 cm,则a 的取值范围是 。 12.[2024·宁波余姚中学自主招生]按如图所示的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若x=5,，则运算进行 次才停止；若运算进行了5 次才停止，则x 的取值范围是 。 三、解答题(共60分) 13.(10分)[“希望杯”邀请赛]设实数x 满足 求 的最小值。 14.(12分)[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]对于实数a，b定义一种新运算“☆”: (1)若x☆2y=12,3☆y=2x,求 xy的值。 (2)若4m<3☆x<8,，且解集中恰有5个整数解，求m 的取值范围。 15. (12分)[宁波重点中学自主招生]设. 为自然数，且 已知 求 的最大值。 16.(12分)[“希望杯”邀请赛]已知n，k均为正整数，且满足 求n，k的最小值。 17.(14分)[2024·长沙自主招生]有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，若放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草。设每头牛每天吃草的量相等，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草? (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛? 专题卷十二 一元一次不等式的综合 1. D 【解析】∵对于任意的x≥0,都有(x-a)(x-b)·(x-b-1)≥0, ①当x-a≥0,x-b≥0,x-b-1≥0时,x≥a,x≥b,x≥b+1。 ∵x≥0, ∴a<0,b<0,b+1≤0, ∴a<0,b≤-1; ②当x-a≥0,x-b≤0,x-b-1≤0时,x≥a,x≤b,x≤b+1。 ∵x≥0, ∴a<0,b>0,b+1≥0, ∴a<0,b>0; ③当x-a≤0,x-b≥0,x-b-1≤0|时，x≤a,x≥b,x≤b+1。 ∵x≥0, ∴a>0,b<0,b+1≥0, ∴a>0,-1≤b<0。 综上所述，不可能的是b<0。 2. D【解析】解方程组 f 只需 或 解得 或a>3。 3. A 【解析】若关于x 的方程2|x|-k= kx-3的解为负数， ∴-2x-k= kx-3,(k+2)x=3-k, 解得k>3或k<-2。 ∵方程2|x|-k= kx-3无负数解, ∴k 的取值范围是-2≤k≤3。 4. B 【解析】(m-2)x<2m-1变形得(x-2)m<2x-1。 当0<x<2时, 即 ∵对0<x<3上的一切实数x,不等式(m-2)x<2m-1恒成立, ∴当x=0时,m取最小值, 即 当x=2时,(x-2)m<2x-1恒成立; 当2<x<3时, 即 ∴当x=3时,m取最大值,m≤2+3,即m≤5, ∴实数m的取值范围是 5. C【解析】解方程组 得 由题意，得 解得-3<a≤-1,①错误; 当a=-2时,x+y=1-a=3,5+a=3,②正确; 由①可得a≠0,③错误; 当x≤1时,-3<a≤-2,则4>-2a-2≥2,∴2≤y<4,④正确。 故选C。 6. C 【解析】∵-0.5=[-0.5]+{-0.5}=-1+{0.5}, ∴{-0.5}=0.5,①错误; ∵x-1<[x]≤x,y-1<[y]≤y, ∴x+y-2<[x]+[y]≤x+y, ∴[x]+[y]=n或n-1,②正确; ∵[x]≤x<[x]+1, ∴[y]≤y<[y]+1,[z]≤z<[z]+1, ∴[x]+[y]+[x]≤x+y+x<[x]+1+[y]+1+[z]+1, ∴6≤x+y+z<9, ∴[x+y+z]所有可能的值为6,7,8,③正确; 3[x]-1={x}+2x, 3[x]-1=3x-[x], 4[x]=3x+1。 ∵x-1<[x]≤x, ∴1≤x<5,④错误。故选 C。 7. - 2 < a ≤ 3 【解析】∵不 等 式 组 只有一个整数解， ∴整数解为-2， ∴a 的取值范围是-2<a≤3。 8.1007 【解析】由3q-p-4=0,得p=3q-4,∴pq=q(3q-4),显然q(3q-4)的值随着质数q的增大而增大， 当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值。 ∵p+q<111,∴p+q=4q-4<111, ∵q为质数， ∴q可能的取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2。 当q=23时,p=3q-4=65,不是质数; 当q=19时,p=3q-4=53,是质数, ∴q 的最大值为19, pq 的最大值为53×19=1 007。 【解析】联立 解得 ∵a,b,c均是非负数, 则 解得 m=3a+b-7c=3(-3+7c)+(7-11c)-7c=-2+3c。 当 时，m有最小值，即 当 时，m有最大值，即 【解析】由题意,得0≤{x)<1。 又 ∴-1<2014x<1, ①当 时， {x}=x-(-1)=x+1, ∴原方程为 得 ②当 时， {x}=x-0=x, ∴原方程为 得 【解析】根据题意得，敲击2次后铁钉 进入木块的长度是 而此时还要敲击1次，故 第三次敲击进去最大长度是前一次的 ，也就是第二次的 即 解得 12.4 2<x≤4 【解析】x=5, 第一次:5×3-2=13; 第二次:13×3-2=37; 第三次:37×3-2=109; 第四次:109×3-2=325>244,停止; 第1次:3x-2; 第2次:3×(3x-2)-2=9x-8; 第3次:3×(9x-8)-2=27x-26; 第4次:3×(27x-26)-2=81x-80; 第5次:3×(81x-80)-2=243x-242, 由①,得243x>242+244,即243x>486,∴x>2。 由②,得81x≤80+244,即81x≤324,∴x≤4,∴2<x≤4。 13.解:解不等式得x≤2,设y=2|x-1|+|x+4|。 ①当x≤-4时,y=-2(x-1)-(x+4)=-3x-2, ∴y的最小值为(-3)×(-4)-2=10,此时x=-4; ②当-4≤x≤1时,y=-2(x-1)+(x+4)=-x+6, ∴y的最小值为5,此时x=1; ③当1≤x≤2时,y=2(x-1)+(x+4)=3x+2,∴y的最小值为5,此时x=1。 综上所述,2|x-1|+|x+4|的最小值为5。 14.解:(1)若x☆2y=12,3☆y=2x, 贝 解得 (2)由题意，得 则-62<x<2-32m。 ∵解集中恰有5个整数解， ∴x=-61,-60,-59,-58,-57, ∴-57<2-32m≤-56, 解得 15.解: 为自然数，且 的最大值为19。 当x₁取最大值时，有 的最大值为20。 当x₁，x₂都取最大值时，有 ，即x₃的最大值为22， 的最大值为19+20+22=61。 16.解:∵n,k 均为正整数, 即 要使n，k最小，就尽量使上式分子、分母所扩大的倍数最小。 又∵n，k均为正整数， ∴最小扩大2倍。 ∴n的最小值为15，k 的最小值为13。 17.解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c。 (1)设16头牛x 天吃完草。 由题意，得 ②-①,得b=12c。④ ③-②,得(x-8)b=(16x-168)c。⑤ 将④代入⑤,得(x-8)×12c=(16x-168)c,解得x=18。 答：18天可以吃完牧草。 (2)设至多放牧 y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草， 答：要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛。 学科网（北京）股份有限公司 $$