例析与数学家康托尔相关的高中数学试题 专题训练-2025届高三数学二轮专题

【学生版】 例析与数学家康托尔相关的高中数学试题 康托尔的集合论堪称现代数学的 “地基” 与 “语言”，其影响渗透到数学的每一个分支，从基础构建到研究方法，从理论框架到哲学观念，彻底重塑了数学的形态； 格奥尔格・费迪南德・路德维希・菲利普・康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日）是德国数学家，集合论的创始人，被誉为 “现代数学的基石建筑师”；他的工作彻底改变了人们对无穷的认知，其理论不仅重塑了数学基础，还深刻影响了哲学、计算机科学等领域； 康托尔生于俄国圣彼得堡，父亲是丹麦商人，母亲出身艺术世家；1856年全家迁居德国，他在柏林大学学习数学，受魏尔斯特拉斯影响转向分析学研究；1867年，他以数论方向的论文获得博士学位，后在哈雷大学任教直至退休；1877 年晋升为教授；其革命性数学贡献有： 1、集合论的创立：康托尔首次将集合作为独立数学对象研究，定义集合为 “确定且不同的对象的总体”，并提出一一对应原则来比较集合大小； 2、超穷数理论：基数与序数：他引入ℵ₀（阿列夫零）表示自然数集的基数，ℵ₁表示实数集的基数，并证明ℵ₀ < ℵ₁；序数则用于描述良序集的顺序，如 ω（第一个超限序数）、ω+1 等； 3、康托尔集与分形思想：通过递归删除线段中间三分之一构造的康托尔集，具有零测度、不可数、自相似等特性，是分形理论的早期雏形；它展示了无限集合的复杂结构，成为拓扑学和测度论的经典案例； 康托尔的研究成果虽然没有未直接转化为高中的具体考点，但其思想是高中数学集合、映射、函数、数列等核心概念的 “逻辑基石”：从集合元素的确定性到映射的对应关系，从无穷集的直观认知到数轴的连续性，均渗透着他对集合论的开创性贡献；这些概念虽不直接考查，但往往与其他考点交汇进行考查；同时，康托尔的数学思想能帮助学生更深刻地把握高中数学概念的本质； 例1、集合论是德国数学家康托尔（G. Cantor）于19世纪末创立的；在他的集合理论中， 用表示有限集合A中元素的个数，如：，则；若对于任意两个有限集合A，B， 有；2025年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2025年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（     ）    A．293 B．260 C．205 D．154 例2、德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”； 例3、数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法；记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，； ②，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例4、1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列；将图2中第行第列的数字记为，若，则（     ） A． B． C． D． 例5、著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，以至无穷；每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”；例如第一次操作后的“康托尔三分集”为； （1）求第二次操作后的“康托尔三分集”； （2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求； （3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值； （参考数据：，） 1、集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用card（M）表示有限集合中元素的个数，如，则有.若对于任意两个有限集合，， 有，某校举办秋季运动会，card（{高三（20）班参加田赛的学生}）=11，card（{高三（20）班参加径赛的学生}）=10，card（{高三（20）班参加田赛与径赛的学生}）=4，那么card（{高三（20）班参加运动会的学生}）=（     ） A．25人 B．14人 C．15人 D．17人 2、德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合和是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合； 若全集，则集合关于集合的正交集合的个数为（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 3、取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法错误的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 4、在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势；由此，下列四组无限集合中等势的序号是 ①和（大于等于1的自然数全体）； ②和； ③和 ④和 5、1895年，数学家康托尔为了研究有理数与正整数的数量问题，构造了一个正有理数到正整数的对应，把正有理数如图进行了排序，得到了一个新数列：，，，，，，，，，，，则表中第一行的是该新数列中的第 项. 6、德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为 ．（，） 【解析版】 例析与数学家康托尔相关的高中数学试题 康托尔的集合论堪称现代数学的 “地基” 与 “语言”，其影响渗透到数学的每一个分支，从基础构建到研究方法，从理论框架到哲学观念，彻底重塑了数学的形态； 格奥尔格・费迪南德・路德维希・菲利普・康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日－1918年1月6日）是德国数学家，集合论的创始人，被誉为 “现代数学的基石建筑师”；他的工作彻底改变了人们对无穷的认知，其理论不仅重塑了数学基础，还深刻影响了哲学、计算机科学等领域； 康托尔生于俄国圣彼得堡，父亲是丹麦商人，母亲出身艺术世家；1856年全家迁居德国，他在柏林大学学习数学，受魏尔斯特拉斯影响转向分析学研究；1867年，他以数论方向的论文获得博士学位，后在哈雷大学任教直至退休；1877 年晋升为教授；其革命性数学贡献有： 1、集合论的创立：康托尔首次将集合作为独立数学对象研究，定义集合为 “确定且不同的对象的总体”，并提出一一对应原则来比较集合大小； 2、超穷数理论：基数与序数：他引入ℵ₀（阿列夫零）表示自然数集的基数，ℵ₁表示实数集的基数，并证明ℵ₀ < ℵ₁；序数则用于描述良序集的顺序，如 ω（第一个超限序数）、ω+1 等； 3、康托尔集与分形思想：通过递归删除线段中间三分之一构造的康托尔集，具有零测度、不可数、自相似等特性，是分形理论的早期雏形；它展示了无限集合的复杂结构，成为拓扑学和测度论的经典案例； 康托尔的研究成果虽然没有未直接转化为高中的具体考点，但其思想是高中数学集合、映射、函数、数列等核心概念的 “逻辑基石”：从集合元素的确定性到映射的对应关系，从无穷集的直观认知到数轴的连续性，均渗透着他对集合论的开创性贡献；这些概念虽不直接考查，但往往与其他考点交汇进行考查；同时，康托尔的数学思想能帮助学生更深刻地把握高中数学概念的本质； 例1、集合论是德国数学家康托尔（G. Cantor）于19世纪末创立的；在他的集合理论中， 用表示有限集合A中元素的个数，如：，则；若对于任意两个有限集合A，B， 有；2025年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2025年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（     ）    A．293 B．260 C．205 D．154 【提示】代入条件中并集的元素个数的公式，即可求解； 【答案】B 【解析】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学录取通知书的学生构成集合， 根据，则； 故选：B； 【说明】本题是以数学家康托尔（G. Cantor）创立的集合理论中的“二元容斥原理”作为题设背景； 例2、德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”； 【提示】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可； 【答案】充分不必要； 【解析】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足； 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件； 故答案为：充分不必要； 【说明】本题是集合间关系与充要条件的判别的交汇； 例3、数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法；记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，； ②，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【提示】设，，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解； 【答案】B； 【详解】设，， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以，即，， 因为，，； 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时， 则, 如，符合题意； 当时，则, 如，符合题意； 所以的最大值为， 故选：B； 【说明】本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求 ，，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法；综合性强； 例4、1895年，数学家康托尔为了研究有理数是否有限问题，把正有理数如图1进行了排列；将图2中第行第列的数字记为，若，则（     ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件探求出第行的有理数按从小到大排列构成数列的性质，再求和计算即得； 【答案】A； 【解析】依题意，第行的有理数为，，，，…，第行的有理数依次排成一列构成等差数列， 于是得，解得：， 所以； 故选：A； 例5、著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，以至无穷；每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”；例如第一次操作后的“康托尔三分集”为； （1）求第二次操作后的“康托尔三分集”； （2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求； （3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值； （参考数据：，） 【分析】（1）根据“康托尔三分集”的定义，即可求得第二次操作后的“康托尔三分集”； （2）根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，即可求解； （3）由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，结合题意，得到，利用对数的运算公式，即可求解； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）根据“康托尔三分集”的定义可得： 第一次操作后的“康托尔三分集”为， 第二次操作后的“康托尔三分集”为； （2）解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得： 每次去掉的区间长后组成的数为以为首项，为公比的等比数列， 第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为， 第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， 第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， 第4次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为， 第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为， 所以第次操作后剩余的各区间长度和为； （3）解：设定义区间为，则区间长度为1， 由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为， 要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不大于， 则满足，即，即， 因为为整数，所以的最小值为； 【说明】本题以由德国数学家康托尔构造的著名的“康托尔三分集”为题设背景，通过特殊到一般的构造三个小题；分别考查了对“新定义”的理解、应用与最值、数学思想方法的交汇与整合； 1、集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用card（M）表示有限集合中元素的个数，如，则有.若对于任意两个有限集合，， 有，某校举办秋季运动会，card（{高三（20）班参加田赛的学生}）=11，card（{高三（20）班参加径赛的学生}）=10，card（{高三（20）班参加田赛与径赛的学生}）=4，那么card（{高三（20）班参加运动会的学生}）=（     ） A．25人 B．14人 C．15人 D．17人 【答案】D 【解析】因为, {高三（20）班参加运动会的学生},{高三（20）班参加田赛的学生}, {高三（20）班参加径赛的学生},{高三（20）班参加田赛与径赛的学生}， 所以，人； 故选：D； 2、德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合和是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合； 若全集，则集合关于集合的正交集合的个数为（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D； 【解析】，得， 所以， ，得，所以， 所以集合的元素没有3和4， 则集合的个数为集合的子集，为； 故选：D； 3、取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：①任意，；②；③，则关于该函数下列说法错误的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．当时， D．当时， 【答案】A； 【解析】由可知：的图象关于点对称，故B正确； 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 由，令，可得，即， 因为，可知在上不是单调递增，故A错误； 且任意，，可知当时，， 由，令，可得，即，故C正确； 由，令，可得，即， 且任意，，可知当时，， 又因为当时，， 可知当时，，所以，故D正确； 故选：A； 4、在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势；由此，下列四组无限集合中等势的序号是 ①和（大于等于1的自然数全体）； ②和； ③和 ④和 【答案】①③ 【详解】对于①，对任意，可建立到的一一对应；所以①正确； 对于③，对任意时对应中的，时对应中的，可建立一一对应；所以③正确； 对于②、④，整数集与实数集，自然数集与实数集，之间都无法建立一一对应，所以②、④错误； 故选：①③； 5、1895年，数学家康托尔为了研究有理数与正整数的数量问题，构造了一个正有理数到正整数的对应，把正有理数如图进行了排序，得到了一个新数列：，，，，，，，，，，，则表中第一行的是该新数列中的第 项. 【答案】4951 【解析】观察规律，每一斜线上分别有1，2，3，…个数，之前要走条斜线，共. 故答案为：4591. 6、德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个，删除其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删除；以此方法继续下去，经过次操作后，若要使保留下来的所有小正方形的面积之和不超过，则至少需要操作的次数为 ．（，） 【答案】18； 【解析】依题意，第次操作后共保留个小正方形，其边长为， 所以保留下来的所有小正方形面积之和为， 若使得，两边取对数可得，即， 所以至少操作次； 故答案为：； 第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$