精品解析： 四川省成都市高新区元音中学2024-2025学年九年级下学期诊断数学试卷

2024-2025学年四川省成都市高新区元音中学九年级（下）诊断 数学试卷 一、选择题：本题共6小题，共28分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程解的个数是（ ） A. B. C. D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 2. 对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（ ） A. 至少存在一个钝角三角形 B. 至多存在一个直角三角形 C. 至少存在一个锐角三角形 D. 至多存在一个钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据若为直角三角形，那么两个较小边的平方和等于最大边的平方；若为钝角三角形，那么两个较小边的平方和小于最大边的平方；若为锐角三角形，那么两个较小边的平方和大于最大边的平方；分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设三个连续正整数，，为三角形的三边长， ∴， ∴， ，且为正整数， 若所构成的三角形是钝角三角形，当且仅当， 即， ， ， 又， ， ，， 即至多存在一个钝角三角形，三边长为，，，故选项A符合题意，选项D不符合题意； 若所构成的三角形是直角三角形，当且仅当， 即， 解得：，不符合题意，舍去， ，， 即至多存在一个直角三角形，三边长为，，，故选项B不符合题意； 若所构成的三角形是锐角三角形，此时， 即， ， ， 又， 的最小值为， 即至少存在一个锐角三角形，故选项C不符合题意； 故选：A． 3. 如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，过A作交BD的延长线于M，于N，由平行四边形的性质推出，，则可证明，、A、N共线，再由平行四边形的性质得到的面积，的面积，进而可证明，据此可得答案． 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理方程等，掌握无理方程的解法、一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性等知识点是解决本题的关键．先把无理方程转化为整式方程，根据一元二次方程根的判别式，二次根式的非负性得关于的不等式，求解得结论． 【详解】解：方程两边平方并整理，得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根， ， ． ，且有两个不相等的实数根， 方程的两个实数根的积， ，即． 实数的取值范围为． 故选：D． 5. 在中，已知，下列判断中错误的是（ ） A. 若为重心，则 B. 若为外心，则 C. 若为内心，则 D. 若为垂心，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，，故选项A正确，不符合题意； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确，不符合题意； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， 此时不存在，故选项D错误，符合题意． 6. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，因式分解的应用，熟练掌握不等式的性质和完全平方公式是解题的关键． 由仅当时，取“”，可得，；，满足，可得，，进而可计算出和的取值范围． 【详解】解：仅当时，取“”， ， ， ， ， ，， ，解得：， 又， ， ，即， 解得：， 综上，符合题意的选项为B． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 7. 方程的全体实数根的积为______． 【答案】 【解析】 【分析】用换元法转化为关于的分式方程．先求，再求检验后求它们的积即可． 本题主要考查了换元法解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤以及解分式方程的方法和步骤． 【详解】解：原方程变形为：， 设，于是原方程变为， 整理，得，解得，， 当时，则，即， 解得，； 当时，则，即， ，无解， 经检验，，是原方程的根， ． 故答案为：． 8. 在中，，，则 ______． 【答案】60° 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 9. 已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的性质，根据已知易得，从而可得，进而可得，然后结合已知易得，从而进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，内接于，，是的直径交于点，设，，若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，延长交于点，证明，得，，则，列比例式，根据正切的定义，并与垂径定理相结合即可解答． 【详解】解：如图，连接，，延长交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， 设，，， ，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似和全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11. 在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的性质、坐标与图形的性质，设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，假设，，，四点坐标，根据四边长度列出四个二元二次方程，然后用四点坐标表示出四边形的面积，整体代入求解即可，建立合理坐的标系，整体求面积是本题解题的关键． 【详解】解：设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵， 直线的解析式为：， 设，，，， ∴， ，，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 12. 在一个盒子中有若干个分别标有不同数字的乒乓球，现有名同学，要求每个同学从盒子中任意抽取个球，记下所标记的个数，然后放回盒子，再由下一个同学抽取．若任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同，则盒子中至少有______个球． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了抽屉原理，正确进行数字组合是解题的关键． 这道题可以通过分析每个同学抽取的球的组合情况，利用组合数学的原理来确定盒子中至少需要的球数．解题的关键在于理解“任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同”这一条件，通过合理构建抽取组合来找到满足条件的最少球数． 【详解】解：考虑极端情况构建组合， 设盒子中有个球，编号为，，，， 第一个同学抽取，，这三个球． 为了满足任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同，第二个同学不能再同时取，，中的两个数． 假设第二个同学取，，． 第三个同学不能同时取前面同学已有的两个数组合，假设取，，． 第四个同学取，，． 第五个同学取，，． 第六个同学取，，． 第七个同学取，，． 从上述抽取情况可以看出，为了满足条件，至少需要个不同编号的球， 故答案为：7． 三、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，已知，，的长度都是整数． （1）当时，求的值； （2）求证：为无理数． 【答案】（1）或 （2） 证明：设，，， ，， 设，则， 同知，， ， ，， ， ， 代入得：， ，，， ， ，是整数， 是有理数， 为无理数，即为无理数． 【解析】 【分析】本题考查有理数无理数概念及运算，涉及正方形性质及应用，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关线段的长度． （1）延长至，使，证明≌，可得，，从而证明≌，得，设，，根据勾股定理得，，故，又和是正整数，得，或，，可求出，，即可得到答案； （2）设，，，由勾股定理有，，设，则，同得，变形有，，从而，即，代入得，即知为无理数，即为无理数． 【小问1详解】 解：如图， 延长至，使， 四边形是正方形， ，， ≌， ，， ， ， ，即， ， ， ≌， ， 设，，则，，， 根据勾股定理得，， ， ， 和是正整数， ，， ， ，或，， ，或，， 当，时， ， ， ， 当，时， 同理可得， 综上所述：为或； 【小问2详解】 略 14. 已知，是实数，函数，当时，记函数的最大值为． （1）若，，求的取值范围． （2）若，求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】根据函数表达式求出、和时函数值关于的表达式，然后根据的取值范围分别比较这三个函数值的大小即可求出的取值范围． 首先判定当时函数图象的对称轴位于的取值范围边缘之外，然后求出或时函数值的表达式，根据二次函数的性质得出的取值为这两个函数值的较大者，再根据的取值范围通过数轴上两点间的距离大小关系求出的最小值． 【小问1详解】 解：函数对称轴为直线， ， ， 当时， 函数图象与图象相同； 当时， 函数的图象与函数的图象相同； 对于函数， 当时，； 当时，； 当时，； 根据二次函数随的变化规律，函数的最大值取与中的较大值， 当时，， ，则； 当时，， ，则． 故的取值范围为：； 【小问2详解】 解：函数的对称轴为直线， ， ∴或， ∴或， 当时， 函数的最大值是当或时的函数值； 对于函数， 当时，； 当时，； 取与的较大者， 与可以看作数轴上的点到点与的距离． 如下图所示， ，当时，取得最小值：． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值、绝对值在函数中的应用、数轴的应用等知识点，本题的难点在于对的最小值的理解及对含参数的绝对值表达式的最值判定． 15. 如图，在中，，点在上，点在上，满足，，，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，交于点， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ； （2） 证明：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 又，， ， ， ； （3）2 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，可证得是等边三角形，再证得，得出，即，再证得是等边三角形，推出，即可证得结论； （2）在上截取，连接，可证得，得出，设，则，再利用，得出，即，利用等角对等边可得，即可证得结论； （3）过点作，交于点，过点作于点，设，，则，，运用解直角三角形和勾股定理可得出，即可求得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：过点作，交于点，过点作于点， 由（1）（2）知，，，，， 设，， 则，， 是等边三角形，， ，， 在中，， 即， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市高新区元音中学九年级（下）诊断 数学试卷 一、选择题：本题共6小题，共28分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程解的个数是（ ） A. B. C. D. 无数个 2. 对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（ ） A. 至少存在一个钝角三角形 B. 至多存在一个直角三角形 C. 至少存在一个锐角三角形 D. 至多存在一个钝角三角形 3. 如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，下列判断中错误的是（ ） A. 若为重心，则 B. 若为外心，则 C. 若为内心，则 D. 若为垂心，则 6. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 7. 方程的全体实数根的积为______． 8. 在中，，，则 ______． 9. 已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是______． 10. 如图，内接于，，是的直径交于点，设，，若，则 ______． 11. 在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为______． 12. 在一个盒子中有若干个分别标有不同数字的乒乓球，现有名同学，要求每个同学从盒子中任意抽取个球，记下所标记的个数，然后放回盒子，再由下一个同学抽取．若任意两个同学所记录的三个数中最多只有个数相同，则盒子中至少有______个球． 三、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，已知，，的长度都是整数． （1）当时，求的值； （2）求证：为无理数． 14. 已知，是实数，函数，当时，记函数的最大值为． （1）若，，求的取值范围． （2）若，求的最小值． 15. 如图，在中，，点在上，点在上，满足，，，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $