2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷十 一元一次不等式(组)的解法

专题卷十 一元一次不等式(组)的解法 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2024·温州苍南县自主招生]已知正整数a，b，c 满足2a=b+270,a+7c=6b,则a 的最小值为( ) A.141 B.153 C.160 D.174 2.[2024·安徽拔尖创新人才培养学科知识竞赛]有理数x满足 若|3-x|-|x+2|的最小值为a，最大值为b，则 ab 的值为 ( ) A.-1 B.5 C.-5 D.1 3.[2024·宁波余姚中学自主招生]若关于x 的不等式组 只有5个整数解，则a的取值范围是( ) 4.[2024·芜湖一中高一自主招生考试]若正实数a，b，c满足不等式纟 a,b,c的大小关系为 ( ) A. b<a<c B. b<c<a C. c<b<a D. c<a<b 5.[“五羊杯”竞赛]满足不等式|x-2000|+|x|≤9 999 的整数x的个数为 ( ) A.9 999 B.10 000 C.20000 D.80 000 6.在锐角三角形ABC中，已知两边a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是 ( ) A.2<c<4 B.2<c≤3 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[2023·宁波鄞州区高级中学创智班选拔考试]若x为实数，且不等式|x—5|+|x-3|<m有解，则实数m 的取值范围是 。 8.[2024·宁波自主招生]若关于x 的不等式((2m-n)x-m>5n的解集为 则关于x 的不等式(m-n)x>m+n的解集为 。 9.[金华自主招生]已知a，b，c为自然数，且 则代数式 的值为 。 10.[全国数学竞赛浙江赛区]已知同时满足5x-a>0和 的整数x 恰好为1，2，3，则有序数对(a,b)共有 对。 11.[全国初中数学联赛]定义[[3x+1]为不超过3x+1的最大整数，则方程 所有根的和为 。 12.[长沙天心中学自主招生]在 中，三个内角的度数均为整数，且. 则 的度数是 。 三、解答题(共60分) 13.(10分)[2024·长沙自主招生]已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式 的 k 仅有一个，求n 的最大值与最小值。 14. (12分)[2024·南京玄武区自主招生]已知: n为正整数，求a 的最小值。 15.(12分)[温州重点中学自主招生]对x，y定义一种新运算T，规定：T(x,y)=(mx+ny)(x+2y)(其中m，n均为非零常数)。例如：T(1,1)=3m+3n。 (1)已知T(1,-1)=0,T(0,2)=8。 ①求m,n 的值。 ②若关于 p 的不等式组 恰好有3个整数解，求a 的取值范围。 (2) 当 时，T(x,y)=T(y,x)对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式。 16.(12分)[成都青羊区实验中学自主招生]对于整数a，b，c，d，符号表示运算ad-bc,已知 试求b+d的值。 17(14分)[宁波余姚实验中学自主招生]已知实数a，b，c满足不等式| 求证：a+b+c=0。 专题卷十 一元一次不等式(组)的解法 1. B 【解析】∵2a=b+270,a+7c=6b, ∵a,b,c 是正整数, 解得 ∵a,b,c 是正整数, ∴a 的最小值为153。 2. B【解析】解不等式 得x≥1。 当1≤x≤3时,3-x≥0,x+2>0, |3-x|-|x+2|=3-x-(x+2)=3-x-x-2=1-2x, ∴-6≤-2x≤-2,-5≤1-2x≤-1; 当x>3时,3-x<0,x+2>0, |3-x|-|x+2|=x-3-(x+2)=-5, ∴|3-x|-|x+2|的最小值为-5,最大值为-1, ∴a=-5,b=-1,∴ab=-5×(-1)=5。 3. A【解析】解不等式组 得 ∵不等式组只有5个整数解， ∴x=15,16,17,18,19, ∴a 的取值范围是14≤3-2a<15,解得 4. B 【解析】由题意，彳 ∵a,b,c 均为正实数 a+b+c,∴b<c<a。 5. A 【解析】①当x=2 000时,原式可化为2 000≤9 999, 故x=2000,其整数解有1个; ②当x>2 000 时,原式可化为x-2 000+x≤9 999, 解得2000<x≤5999.5,其整数解有 3 999个; ③当0≤x<2 000时,原式可化为2 000-x+x≤9 999, 即 2 000≤9 999,其整数解有 2 000个; ④当x<0时,原式可化为2000-x-x≤9999,解得-3999.5≤x<0,其整数解有3 999个。 综上可知，x 的整数解有9 999个。 6. D 【解析】①∵当∠C 是最大角时,有∠C<90°, ②当∠B 是最大角时，有 ∴第三边c 的变化范围是 7. m>2 【解析】易知|x-5|+|x-3|≥|x-5-x+3|=2(当3≤x≤5时等号成立)。 ∵|x-5|+|x-3|<m有解,∴m>2。 8. x<5 【解析】∵(2m-n)x-m>5n,∴(2m-n)x>5n+m。 且2m-n<0, ∴4m+20n=26m-13n,即m=1.5n,n<0,代入所求不等式,得0.5nx>2.5n,解得x<5。 9.1 【解析】由 a为自然数，可知a>2, 将 化为 都大于或等于0，当a≥4时，上式不成立，∴自然数a 只能取值为3。当a=3时，代入上式，得( ∴只能使( 即b=2,c=6, 10.30 【解析】不等式组化为 ∴a=0,1,2,3,4,b=18,19,20,21,22,23,(a,b)共有5×6=30(对)。 11.-2【解析】根据新定义，得等式左边为整数，则 (k为整数)，解得 其整数部分为k, 若k 为奇数，则 的整数部分为 =k, 解得k=-3,此时 若k 为偶数，则 的整数部分为 解得k=-2,此时 则所有根之和为 12.54°或 68°【解析】∵5∠C=9∠A,∴∠C= 又∵∠A<∠B<∠C, 解此不等式组，得 ∵∠A 的度数为整数， ∴∠A=40°,41°,42°,43°,44°,45°,46°,47°。 又∵ 并且∠C 的度数为整数， ∴当∠A=40°时,∠C=72°;当∠A=45°时,∠C=81°, 或. 13.解: ∴5(n+k)<9n,7n<4(n+k), 即 ∵k有唯一正整数解， ∴9≤n≤40, ∴n 的最大值为40，最小值为9。 14.解: ∵n为正整数， ∴a 的最小值为 15.解:(1)①由题意,得②由题意，得)解不等式①,得p>-1。 解不等式②，得 ∵关于 p 的不等式组恰好有3个整数解， (2)由题意得，(mx+ ny)(x+2y)=(my+ nx)(y+2x), 16.解:由 得1<4-bd<3,由4-bd>1,得 bd<3,由4-bd<3,得 bd>1,∴1< bd<3。 ∵b,d 是整数,∴bd=2。 当b=1时,d=2,b+d=3; 当b=-1时,d=-2,b+d=-3; 当b=2时,d=1,b+d=3; 当b=-2时,d=-1,b+d=-3。 综上所述,b+d=-3或3。 17.证明:∵|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|, 而 ∴a+b+c=0。 学科网（北京）股份有限公司 $$