2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷四 三角形的初步知识的综合

专题卷四 三角形的初步知识的综合 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题 5 分,共30 分) 1.[北京竞赛]如图，将△ABC 纸片沿着DE 折叠压平，则∠A 可表示为 ( ) A.∠1+∠2 2.[第五届“江西省初中名校联盟杯”综合素养大赛]如图，△ABC 的面积为8cm²，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于点 P ,则△PBC 的面积为 ( ) A.3 cm² C.5 cm² D.6 cm² 3.[2024·杭州外国语学校]如图,将△ABC的BA 边延长1倍到点 D,CB 边延长2倍到点 E,AC边延长3倍到点 F。若△ABC 的面积等于1，则△DEF 的面积是 ( ) A.9 B.12 C.15 D.18 4.[武汉竞赛]已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b<c。如果b=7，那么这样的三角形共有 ( ) A.21个 B.28个 C.49个 D.54个 5.[全国竞赛]已知正整数a₁,a₂,…,a₁₀满足 且以其中任意三个数为边长都不能构成三角形，则 的最小值是 ( ) A.34 B.55 C.89 D.144 6.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]如图，过点A 作△ABC 的一条内角平分线，交BD 于点D,且∠ADB=90°,BE交AC 于点E,且AE:AC=1:2。若AC=DC=a，则图中两个阴影三角形的面积最大相差 ( ) D.2a² 二、填空题(每题 5 分,共30 分) 7.[慈溪一中自主招生]如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=40°。在△ABC 所在平面内，除了△ABC 外，还有 个以△ABC 的某条边为边且与△ABC 全等的三角形。 8.[“希望杯”竞赛]一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5,3x-2,2y+1。若这两个三角形全等,则x+y= 。 9.[2024·金华外国语学校“金外杯”学科素养大赛]如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C 的平分线交AB 边于点E,在 AC 边上取点D,使得∠CBD=20°,连结 DE,则∠CED 的度数为 °。 10.[长沙雨花区自主招生]现有长144 cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度为不小于1 cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为 。 11.[2024·第十三届海峡两岸青少年文化交流]如图,BD 为△ABC 的中线,过点 A 作AE⊥BD,分别交BD,BC 于点F,E,连结CF。若DF=2,AF=6,BE:EC=3:1,则 12.如图,∠ABD,∠ACD 的10等分线相交于点 若 则∠A 的度数是 °。 三、解答题(共60分) 13.(10分)如图,已知AC∥BD,AE,BE 分别平分∠CAB 和∠DBA,交 CD 于点E。求证:AB=AC+BD(要求用两种方法证明：(1)用割的方法；(2)用补的方法)。 14.(12分)如图,在△ABC中,D 是BC上的一点,且CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE 是△ABD 的中线。求证:AC=2AE。 15.(12分)[南通启东校级月考]如图，在 中， 的角平分线AD，CE 相交于点O。 (1)求 的度数。 (2)求证:AC=AE+CD。 16.(12分)[2024·江阴“优利信杯”竞赛]如图,P 为 中任意一点,AP 交BC 于点D,BP 交AC于点 E,CP 交AB 于点F。求证: 中必有一个值大于或等于2，必有一个值小于或等于2。 17.(14分)[2024·江阴“优利信杯”竞赛]如图，将一副三角尺按如图1所示放置在直线 MN 上， 若三角尺ABC 固定不动，三角尺 DCE 绕点C 以每秒 的速度顺时针旋转一周，旋转时间为 t 秒。 (1)当 面积最大时，求此时t 的值。 (2)如图2,AF 是 的角平分线，当 时， (3)若在三角尺 DCE 旋转的同时，三角尺 ABC 也绕点C 以每秒 的速度顺时针旋转 CP 平分 CQ 平分 在旋转的过程中， 的度数是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。 专题卷四 三角形的初步知识的综合 1. B 【解析】∠1=180°-2∠ADE,∠2=180°-2∠AED, ∴在△ADE 中,∠A=180°-(∠ADE+∠AED) 2. B 【解析】如答图,延长 AP 交BC 于点E。 ∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于点 P, ∴∠ABP=∠EBP。 又∵BP=BP,∠APB=∠BPE=90°, ∴△ABP≌△EBP(ASA), ∴S△ABP=S△BEP,AP=PE, ∴△APC 和△CPE 等底同高, ∴S△APC=S△PCE, 3. D 【解析】如答图,连结AE,DC,BF。 在△AEC中,∵BE=2BC, ∴S△ABE=2S△ABC。 ∵AB=AD,∴S△ABE=S△ADE, ∴S△BDE=S△ABE+S△ADE=4S△ABC。 同理可得S△ADF=4S△ABC,S△CEF=9S△ABC, 、 C+4S△ABC+9S△ABC+S△ABC=18S△ABC。 ∵S△ABC =1, ∴S△DEF =18。 4. A 【解析】根据已知,得a 可能的值有 1,2,3,4,5,6,7。 根据三角形的三边关系，得当a=1时，c不存在； 当a=2时,则c=8; 当a=3时,则c=8,9; 当a=4时,则c=8,9,10; 当a=5时,则c=8,9,10,11; 当a=6时,则c=8,9,10,11,12; 当a=7时,则c=8,9,10,11,12,13。 则这样的三角形有 21个。 5. B 【解析】 即 当 )时，等式成立。 6. A 【解析】如答图,延长 BD 交AC 的延长线于点H,设AD 交BE 于点O。 ∵AD⊥BH,∴∠ADB=∠ADH=90°, ∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°。 ∵∠BAD=∠HAD, ∴∠ABD=∠H, ∴AB=AH。 ∵AD⊥BH,∴BD=DH。 ∵DC=CA,∴∠CDA=∠CAD。 ∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°, ∴∠CDH=∠H, ∴CD=CH=AC。 ∵AE=EC, =S△ACD, 由题意得,AC=CD=a, ∴当DC⊥AC 时,△ACD 的面积最大,最大面积为 7.7 【解析】以 AB 为公共边的有 3 个,以 AC 为公共边有 3个，以BC 为公共边有1个， ∴一共能作出7个。 8.7或 【解析】由题意得， 解得 解得 ∴x+y=4+3=7。 综上所述，x+y 的值是7 或 9.10 【解析】如答图,分别作 EF⊥CB 的延长线于点 F,EH⊥AC 于点 H,EG⊥BD 于点G。 ∵CE 是角平分线， ∴EF=EH。 ∵∠ABC=100°,∠DBC=20°, ∴∠ABD=80°。 又∵∠EBF=80°, ∴∠ABD=∠EBF, ∴△EFB≌△EGB(AAS), ∴EF=EG, ∴EH=EG。 在 Rt△EDH 与 Rt△EDG 中, ∵EH=EG, ∴Rt△EDH≌Rt△EDG(HL), ∴∠EDH=∠EDG, ∴∠CED=∠EDH-∠ECD 10.10 【解析】∵每段的长为不小于 1 cm的整数,∴最短的一段长度为1。 ∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四段最小是 3，第五段是5，依次是 8，13，21，34,55,再大时,各个小段的和大于 144 cm,不满足条件。 上述这些数之和为143，与144 相差1，故可取1，1，2,3,5,8,13,21,34,56(取法不唯一), 这时n 的值最大,n=10。 11.84 【解析】∵AE⊥BD,DF=2,AF=6, ∵BD 为△ABC 的中线, ∴S△CDF=S△ADF=6,S△ABD=S△BCD, ∴S△ABF=S△BCF。 ∵BE: EC=3:1, ∴S△ABF=S△BCF =4S△CEF。 即4(12+S△CEF)=4S△CEF+4S△CEF+12, ∴S△CEF=9, ∴S△ACE=9+12=21, ∴S△ABC=4×21=84。 12.70 【解析】∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁,而∠ABD,∠ACD 的10 等分线相交于点G₁,G₂,…,G₉, 13.证明:解法一:如答图1,在 AB 上截取AF=AC,连结 EF。 在△ACE 和△AFE 中, ∴△ACE≌△AFE(SAS), ∴∠5=∠C。 ∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°。 ∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D。 在△EFB 和△EDB 中, ∴△EFB≌△EDB(AAS),∴FB=DB, ∴AB=AF+FB=AC+BD。 解法二：如答图 2，延长 BE，与AC 的延长线相交于点 F。 ∵AC∥BD,∴∠F=∠4。 ∵∠3=∠4,∴∠F=∠3,∴AB=AF。 又∵AE 是∠FAB 的平分线, ∴BE=FE。 在△BED 和△FEC 中, ∴△BED≌△FEC(ASA),∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。 14.证明:如答图,延长AE 到 F,使 EF=AE,连结DF。 ∵AE 是△ABD 的中线,∴BE=DE。 在△ABE 与△FDE 中, ∴△ABE≌△FDE(SAS), ∴AB=DF=CD,∠BAE=∠F。 ∵∠ADB 是△ADC 的外角, ∴∠ADB=∠DAC+∠C。 ∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAD=∠BDA, ∴∠F+∠EAD=∠DAC+∠C, ∴∠ADF=∠ADC。 在△ADF 与△ADC 中, ∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AF=AC, ∵AF=AE+EF,AE=EF,∴AC=2AE。 15.解:(1)在△ABC 中,∠B=60°, =120°。 ∵AD 平分∠BAC,CE 平分∠ACB, 在△OAC中, =120°。 (2)∵∠AOC=120°, ∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°。 如答图,在AC上截取AF=AE,连结OF。 在△AOE 和△AOF 中, ∴△AOE≌△AOF(SAS), ∴∠AOE=∠AOF=60°, ∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°。 又∵∠COD=60°,∴∠COD=∠COF。 在△COD 和△COF 中, ∴△COD≌△COF(ASA),∴CD=CF。 又∵AF=AE, ∴AC=AF+CF=AE+CD。 16.证明:∵P 为△ABC 中任意一点, ① 根据比例的性质，得 即 同理： ) 将②③④代入①,得 中至少有一个的值小于或等于 必有一个的值大于或等于 不妨假设 由 得3PD≤AD。 ∵AD=AP+PD, ∴3PD≤AP+PD, ∴2PD≤AP, 由 得3PE≥BE。 ∵BE=BP+PE,∴3PE≥BP+PE, 综上所述， 中必有一个值大于或等于2，必有一个值小于或等于 2。 17.(2)35 或 95 解:(1)如答图1, 当△DCE 绕点 C 顺时针旋转 30°时,CE⊥AC,此时△ACE 的边AC 上的高为最大值CE, ∴此时△ACE 面积最大。 ∵30÷3=10(秒), ∴当△ACE 面积最大时,t=10。 (2)分2种情况讨论： ①当DE∥AF 时,设 DE 交直线 MN 于点G,如答图2, 在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,AF平分∠BAC, ∴∠BAF=30°, ∴∠DGC=∠AFB=60°。 又∵∠D=45°, ∴∠DCM=105°, ∴3t=105,解得 t=35; ②当DE∥AF 时,设 DE 交直线 MN 于点G,如答图3, ∴∠AFB=∠FGE=∠E+∠ECG=60°。 ∵∠E=45°,∴∠ECG=15°, ∴∠DCG=∠DCE-∠ECG=75°, ∴△DCE 绕点C 旋转3 ∴3t=285,解得t=95。 综上所述,当t=35 或95时,DE∥AF。 (3)∠PCQ 的度数为定值。理由如下： 如答图4。 由题意可知,∠BCM=t°,∠DCM=3t°,∠ACE= ∵CP 平分∠BCD,CQ 平分∠ACE, ∴∠BCP =∠DCP =t°,∠ACQ=∠ECQ=30°+t°, ∴∠PCQ=∠MCE-∠PCM-∠ECQ=90°+3t° 即∠PCQ 的度数为60°。 学科网（北京）股份有限公司 $$