2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷五 轴对称

专题卷五 轴对称 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[宁波镇海中学自主招生]把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D，M，Q，X，Z，请你按原规律补上各个空，其顺序依次为 ( ) ①F,R,P,J,L,G,( ) ②H,I,O,( ) ③N,S,( ) ④B,C,K,E,( ) ⑤V,A,T,Y,W,U,( ) A. Q,X,Z,M,D B. D,M,Q,Z,X C. Z,X,M,D,Q D. Q,X,Z,D,M 2.[2024·宁波自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线相交于点O,点 E 在BC 上,点 F 在AC上。将∠C 沿EF 折叠,点C 与点O恰好重合,则∠OEC 的度数为 ( ) A.72° B.100° C.108° D.120° 3.[丽水自主招生]如图，将边长为1 的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为 ( ) A.2 C.4 D.8 4.[2024·广州南沙区自主招生]如图，在边长为a 的等边三角形ABC 中，BF 是AC上的中线且BF=b,点D 在BF上,连结AD。在AD 的右侧作等边三角形ADE,连结 EF,则△AEF 周长的最小值是 ( ) D. 5.[浙江竞赛]如图,直线l₁ 与直线l₂相交,α=60°,点 P 在α内(不在l₁，l₂上)。小明用下面的方法作点 P 的对称点：先以l₁为对称轴作点 P 关于l₁的对称点 P₁，再以l₂为对称轴作点 P₁关于l₂的对称点 P₂，然后再以l₁为对称轴作点 P₂关于l₁的对称点 P₃，以l₂为对称轴作点 P₃关于l₂的对称点P₄,…,如此继续,得到一系列点 P₁,P₂,P₃,…, Pn。若 Pn与P 重合,则n的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.[武汉竞赛]如图， P 是∠MON 内的定点,点 A,B 分别在OM,ON 上移动。当△PAB 周长最小时, 的度数为 ( ) A.20° B.40° C.100° D.140° 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[2024·西安碑林区自主招生]在一节折纸活动课上，小思将如图1的正方形纸片两边对折至对角线，得到如图2的四边形，再将其一角对折，使对面两角的顶点重合，得到如图3的五边形，则图3 中∠1的度数为 °。 8.[2024·湖北黄冈中学自主招生]综合实践活动课上，小亮将一张面积为 BC 边为8cm 的锐角三角形纸片(如图1)，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE(如图2)，则矩形的周长为 cm。 9.[2024·武汉华师一附中自主招生]如图，在 中，D 为边BC的中点，连结AD，将 沿直线AD 翻折至 所在平面内，得 连结CC',，分别与边 AB 交于点E，与边 AD 交于点O。若AE=BE,BC'=2,则 AD 的长为 。 10.[嘉兴自主招生]如图,在△ABC 中,AB=AC=6,在△ABC 内有一点P,将 沿BC边向外翻折至△BQC,过点 P,Q分别作AB,AC边的垂线,垂足为M,N,E,F。已知MP+EQ=8,NP+FQ=6,那么S△ABC= 。 11.如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在 BC,CD 上分别找一点M,N,当△AMN 周长最小时,∠AMN+∠ANM 的度数为 °。 12.如图,有任意四边形ABCD,A',B',C',D'分别是点A,B,C,D 关于点B,C,D,A 的对称点。设S 表示四边形ABCD 的面积,S'表示四边形A'B'C'D'的面积,则 的值为 。 三、解答题(共60分) 13.(10分)[江苏竞赛]如图，设L₁和L₂是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A 放在二者之间，小球在镜L₁中的像为A′，A′在镜L₂中的像为A″。若L₁，L₂的距离为7，求AA''的长。 14.(12 分)[2024·义乌校级月考]如图,在 中， 点 D 在 BC 边上, 关于AD 所在的直线对称， 的平分线交BC 边于点G，连结 FG。 (1)求 的度数。 (2)设 ，当θ为何值时， 为等腰三角形? 15.(12分)如图,在 中,AD 是斜边BC上的高,P,Q,R 分别是AB,BC,CA 上的点。求证: 16.(12分)如图,P 为 内一点，PG垂直平分BC，交点为G，且 BP,CP 的延长线交AC,AB 于点D,E,求证:BE=CD。 17.(14分)某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用： (1)原题：如图1，在直线l 上找一点 P，使得.PA+PB最短(画图即可)。 (2)应用:如图2,已知在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,在线段 BD 上找一点 P,使得.PA+PE 的值最小，并说明理由。 (3)探索:如图3,E 为正方形ABCD 的AB 边的中点,M 为BC 上一点,N 为CD 上一点,连结EM,MN,NA。请你应用(1)的原理在图3中找出点M,N,使得EM+MN+NA的值最小，画图即可。 专题卷五 轴对称 1. D【解析】①中字母都不是对称图形，故满足规律的是Q； ②有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是X； ③是中心对称图形，则规律相同的是 Z； ④是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是 D； ⑤是轴对称图形，对称轴是一条竖直的直线，满足规律的是 M。 故各个空顺序依次为 Q,X,Z,D,M。 2. C 【解析】如答图,连结OB,OC。 ∵∠BAC=54°,AO 为∠BAC 的平分线, 又∵AB=AC, ∵DO 是AB 的垂直平分线, ∴OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=27°, ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°。 ∵AO 为∠BAC 的平分线,AB=AC, ∴OB=OC, ∴点 O 在 BC 的垂直平分线上。 又∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴点O 是△ABC 的外心, ∴∠OCB=∠OBC=36°。 由折叠,得OE=CE, ∴∠COE=∠OCB=36°, ∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°。 3. C 【解析】∵正方形 ABCD 的边长为 1, ∴由翻折变换的性质可知 AD=QM,QP=AP,MN=DN, ∴阴影部分的周长=QM+(QP +BP)+BC+(CN+MN)=AD+AB+BC+CD=1×4=4。 4. B 【解析】如答图,连结 CE,作点 A 关于直线CE的对称点M，连结 FM，交 CE 的延长线于点 E'，连结AE',CM,此时.AE'+FE'的值最小。 ∵△ABC,△ADE 都是等边三角形, ∴AB =AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE。 ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC, ∴点 E 在射线CE 上运动(∠ACE=30°)。 ∵CA=CM,∠ACM=60°, ∴△ACM 是等边三角形,AM=AC。 ∵BF⊥AC,∴FM=BF=b, ∴△AEF 周长的最小值:=AF+FE'+AE'=AF+ 5. B【解析】设两直线交点为O，根据对称性可知：作出的一系列点 P₁,P₂,P₃,…,Pₙ都在以O为圆心,OP 为半径的圆上，如答图所示。 ∵α=60°,∴每相邻两点间的角度是 60°, ∴若 Pₙ与 P 重合,则n 的最小值是 6。 6. C 【解析】如答图,分别作点 P 关于OM,ON 的对称点 P',P",连结 OP',OP",P'P"。P'P"交 OM,ON 于点A,B,连结 PA,PB,此时△PAB 周长的最小值等于 P'P"。 ∵由轴对称性质，得OP'=OP"=OP,∠P'OA=∠POA,∠P"OB=∠POB, 。 又∵∠BPO=∠OP"B=50°, ∠APO=∠AP'O=50°, ∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°。 7.45 【解析】如答图,将题目中图1,图 2,图 3放在一张图中， 由题意,得∠DAE=∠CAE=∠CAF=∠BAF= ∴∠EAF=45°=∠HCG, ∴∠1=180°-135°=45°。 8.22 【解析】如答图,延长AT 交 BC 于点 P。 ∵AP⊥BC, ∴AP=6 cm。 由题意,得AT=PT=3cm, ∴BE=CD=PT=3cm。 ∵DE=BC=8cm, ∴矩形 BCDE 的周长为8+8+3+3=22(cm)。 9.3 【解析】由题意,得△DCA≌△DC'A,OC=OC',∠COD=∠C'OD=90°, ∴O为CC'的中点。 ∵D 为BC 的中点,∴OD 是△BCC'的中位线, ∴∠COD=∠EC'B=90°。 ∵AE=BE,BC'=2, ∴OD=1。 在△EC'B 和△EOA 中, ∴△EC'B≌△EOA(AAS), ∴AO=2, ∴AD=AO+OD=2+1=3。 10.21 【解析】如答图,连结AP,AQ。 ∵将△BPC 向外翻折至△BQC, ∴△BPC≌△BQC,∴S△BPC=S△BQC。 NP), 11.120 【解析】如答图,作点 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A',A",连结A'A",交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,则 A'A"即为△AMN 周长的最小值。 ∵∠A'=∠MAB,∠NAD=∠A″, 且∠A′+ ∠MAB = ∠AMN,∠NAD + ∠A″=∠ANM, 12.5 【解析】如答图,连结AC,BD,A'C。 ∵C 是BB′的中点,. 同理：S△A'BC=S△ABC,∴S△A'BB'=2S△ABC。 同理： =2S△BCD。 13.解:∵小球在镜L₁ 中的像为A′,A′在镜L₂中的像为A", ∴A′和A 关于L₁对称,A″和A′关于L₂对称。 设 A 到 L₁ 的距离为 x,则 A 到 L₂ 的距离为 7一x, ∴A′到L₂的距离为7+x, 14.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°, ∴∠B=∠C=25°。 ∵△ABD,△AFD 关于AD 所在的直线对称, ∴△ADB≌△ADF, ∴∠B=∠AFD=25°,AB=AF。 ∵AB=AC, ∴AF=AC。 ∵∠FAC 的平分线交BC 边于点G, ∴∠FAG=∠CAG。 在△AGF 和△AGC中, ∴△AGF≌△AGC(SAS), ∴∠AFG=∠C。 ∵∠DFG=∠AFD+∠AFG, (2)令 AF 与BC 的交点为Q,分3种情况讨论:①当GD=GF 时, ∴∠GDF=∠GFD=50°。 ∵∠ADG=25°+θ, ∴在△ADF 中, ∴θ=40°; ②当 FD=GF 时, ∴∠GDF=∠FGD。 ∵∠DFG=50°, ∴∠FDG=∠FGD=65°。 在△ADF 中,( ∴θ=32.5°; ③当 FD=GD 时, ∴∠DFG=∠FGD=50°, ∴∠FDG=80°。 在△ADF 中, ∴θ=25°。 综上所述,当θ=40°,32.5°或 25°时,△DFG 为等腰三角形。 15.证明:如答图,以 AB 为对称轴,作点 C,Q,R 的对称点C₁,Q₁,R₁。 ∵∠CAB=90°,∴C,A,C₁ 三点共线。 以 CC₁ 为对称轴,作点 B,Q₁,P 的对称点 B₂,Q₂,P₂。 ∵∠B₂C₁C=∠BC₁C=∠C,∴BC∥B₂C₁。 延长 DA 交B₂C₁ 于点 D₂,则. 由平行线间垂线段最短，可得 +R₁Q₂。 由对称性可得 ∴2AD<PQ+RP+QR, 即 16.证明:如答图,作 BF⊥CE 交CE 的延长线于点 F,CM⊥BD 于点M,则∠PFB=∠PMC=90°。 ∵PG 是 BC 的垂直平分线,∴PB=PC。 在△PBF 和△PCM 中,∴ ∴△PBF≌△PCM(AAS),∴BF=CM。 ∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°, ∴∠AEP+∠ADP=180°。 又∵∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,∴∠BEF=∠CDM。 在△BEF 和△CDM 中, ∴△BEF≌△CDM(AAS),∴BE=CD。 17.解:(1)如答图1 所示。 (2)如答图 2,作 E 点关于 BD 的对称点 E',连结AE′,与 BD 的交点即为点 P。 此时A,P,E'三点共线， ∴此时 PA+PE 的值最小,且等于 AE'。 (3)如答图3,作点 E 关于 BC 的对称点 F,作点 F关于CD 的对称点G,连结AG,N 为AG 和CD 的交点,连结 NF,M 为 NF 和BC 的交点,此时,EM+MN+NA 的值最小。 理由:作对称后有 EM=FM, ∴EM+MN=FM+MN≥FN,当且仅当 F，M，N三点共线时取等号。同理可知,EM+MN+NA 的最小值为AG 学科网（北京）股份有限公司 $$