2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷七 等边三角形与直角三角形

专题卷七 等边三角形与直角三角形 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[第 10届“希望杯”邀请赛]如图,在凸五边形ABCDE 中, 则∠D 等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.67.5° 2.[通州一中自主招生]如图,已知D 为等边三角形ABC 内一点,DB=DA,BF=AB,∠1=∠2,则∠BFD 的度数为 ( ) A.15° B.20° C.30° D.45° 3.[2023·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]如图，在边长为5的等边三角形ABC 中，M是高线CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段 BM 绕点B 逆时针旋转60°得到 BN，连结 HN。在点 M运动的过程中，线段 HN 长度的最小值是 ( ) A.1 B. C.2 D. 4.[嘉兴桐乡重点高中自主招生改编]如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE,AD与BE 相交于点O,AD 与BC 相交于点 P,BE 与CD 相交于点Q,连结PQ,CO。有以下结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°。其中正确的有 ( ) A.①③ B.②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 5.正三角形ABC 所在的平面内有一点 P，使得△PAB，△PBC，△PCA 都是等腰三角形，则这样的点P 有 ( ) A.1个 B.4个 C.7个 D.10个 6.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]如图,在△ABC中,BC≠AB,∠B=60°,取△ABC 的内心记为点O,分别作OM,ON 交AB 于点M,交BC 于点N,且OM=ON。有下列说法:①∠MON=120°;②四边形OMBN 的面积为△ABC 面积的2倍;③当MN=BN 时,△MON 的周长有最小值;④过点M，N且以点O为圆心的圆是△ABC的外接圆。其中不一定正确的是 ( ) A.①②③ B.②④ C.③④ D.①②④ 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[绍兴自主招生]在△ABC中,∠ABC=30°,AB=10,AC 边的长度可以在5,7,10,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是 。 8.如图,已知∠AOB=60°,点 P 在OA 上,OP=8,点 M,N 在边OB 上,PM=PN。若MN=2,则OM= 。 9.[2024·武汉洪山区自主招生]如图,在△ABC 中,AB=AC,D,E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC=∠BED=60°。若BE=3,DE=1,则BC= 。 10.如图,在△ABC 中,∠A=20°,AB=AC,D 是AC 上一点,AD= BC,则∠DBA 的度数为 °。 11.如图,P 为正三角形ABC 内一点,∠APB=125°,∠BPC=100°,则以AP,BP,CP 为边长的三角形各内角的度数分别为 。 12.[2024·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]如图,在△ABC 中,∠CAB=60°,D,E 分别是边AB,AC上的点,且∠AED=60°。DE+BD=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB= °。 三、解答题(共60分) 13.(10分)[2024·宁波镇海区校级自主招生]如图,AB=AC,∠ABD=60°,∠BDC=30°。若AB=BD+CD,求∠ADB 的度数。 14.(12分)[重庆竞赛]如图, 是边长为1 的等边三角形，等腰三角形 BDC 的顶角 以D 为顶点作一个( 角,角的两边分别交 AB,AC 于点M,N,连结 MN。求 的周长。 15.(12分)[全国竞赛浙江赛区]如图,在四边形 ABCD 中, ,求 BC 的长。 16.(12分)[青少年国际城市邀请赛]如图，P为 内部一点，使得 且 求 的度数。 17.(14分)[2024·宁波自主招生]如图,分别以锐角三角形ABC 的边AB,BC,CA 为斜边向外作等腰直角三角形DAB、等腰直角三角形 EBC、等腰直角三角形 FAC， 求证：AE=DF且 专题卷七 等边三角形与直角三角形 1. C【解析】如答图，作等边三角形 ABO，连结EO,OC, ∴AO=OB=AB=AE=BC。 又 ∴△EAO 和△CBO 均为等边三角形, ∴E,O,C三点共线,EC=2AB=ED=DC, ∴△ECD 是等边三角形,∴∠D=60°。 2. C 【解析】如答图,连结 DC。 ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC=AC。 ∵AB=BF,∴BF=AB=BC。 又∵∠1=∠2,BD=BD, ∴△FBD≌△CBD(SAS), ∴∠BFD=∠BCD。 又∵BD=AD,CD=CD, ∴△ACD≌△BCD(SSS), ∴∠ACD=∠BCD。 ∵∠ACB=60°, ∴∠ACD=∠BCD=∠BFD=30°。 3. B 【解析】如答图,取 BC 的中点G,连结 MG。 ∵旋转角为60°, ∴∠MBH+∠HBN=60°。 又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°, ∴∠HBN=∠GBM。 ∵CH 是等边三角形ABC 的对称轴， ∴HB=BG。 又∵MB 旋转到BN, ∴BM=BN。 在△MBG 和△NBH 中, ∴△MBG≌△NBH(SAS), ∴MG=NH。 当 MG⊥CH 时,MG 最短,即 HN 最短。 4. C 【解析】∵△ABC 和△CDE 为等边三角形, ∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°, ∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE,故①正确; ∴∠CBE=∠DAC,进而可求证△CQB≌△CPA(AAS), ∴AP=BQ,故③正确; ∴CQ=CP,由∠PCQ=60°可知△PCQ 为等边三角形, ∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,故②正确; ∵∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°, ∴PD≠CD,∴DE≠DP,故④错误; ∵BC∥DE,∴∠CBE=∠BED。 ∵∠CBE=∠DAE, ∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,故⑤正确。 综上所述，正确的有①②③⑤。 5. D【解析】如答图，当点 P 在三角形内部时，点P 是边 AB，BC，CA 的垂直平分线的交点，是三角形的外心。 分别作以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆，与垂直平分线的交点就是满足要求的点。 每条垂直平分线上的3个交点，再加三角形的垂心，一共10个点。 6. D 【解析】如答图1,连结OB,过点O 作OD⊥BC于点D,OE⊥AB 于点 E。 ∵点O 为△ABC的内心,即为△ABC 内切圆圆心,④错误； ∴OB 是∠ABC 的平分线, ∴OD=OE。 在 Rt△ODN 和 Rt△OEM 中, ∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL), ∴∠DON=∠EOM,∴∠MON=∠DOE。 ∵∠ABC=60°,∴∠DOE=120°, ∴∠MON=120°, ∴作点 N 关于 OD 的对称点 N′,连结 ON′,此时OM=ON′,但是 ①不一定正确； ∵△DON≌△EOM,四边形 OMBN 的面积 =2S△BOD,点 D 的位置固定, ∴四边形OMBN 的面积是定值。 ∵∠B=60°,BC≠AB, ∴△ABC 的形状不固定，面积也不固定，②错误；如答图2,过点 O 作OF⊥MN 于点 F。 ∵ON=OM,∠MON=120°, ∴∠ONM=30°, ∴MN=2NF=2ON·cos∠ONM= ON, ∴△MON 的周长= ∴当ON 最小时,即当 ON⊥BC 时,△MON 的周长取得最小值， 此时,Rt△OBN≌Rt△OBM(HL), ∴BN=BM。 ∵∠B=60°,∴△BMN 是等边三角形, ∴BN=MN,∴当MN=BN 时,△MON 的周长有最小值，③正确。 综上所述，不一定正确的说法是①②④。 7.5 【解析】如答图,过点 A 作AE⊥BC 于点 E。 ∵AB=10,∠B=30°, 即 AE 是点 A 到直线 BC 的最短距离。 当AC=5时，此时三角形有1个； 当AC=7时，此时三角形有 2个； 当AC=10时，此时三角形有1个； 当AC=11时，此时三角形有1个， 即存在三角形1+2+1+1=5(个)。 8.3 【解析】如答图,过点 P 作 PC⊥MN 于点C。 ∵PM=PN,∴C 为MN 的中点, 即 在 Rt△OPC 中,∠AOB=60°, ∴OM=OC-MC=4-1=3。 9.4 【解析】如答图,延长 AD 交 BC 于点 N,延长ED 交BC 于点M。 ∵∠EBC=∠BED=60°, ∴EM=BM, ∴△BEM 是等边三角形, ∴BE=EM=BM,∠EMB=60°。 ∵BE=3, ∴EM=BM=BE=3。 ∵DE=1, ∴DM=3-1=2。 ∵AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AN⊥BC,BN=CN, ∴∠DNM=90°, ∵BM=3, ∴BN=BM-MN=3-1=2, ∴BC=2BN=4。 10.10 【解析】如答图,作等边三角形 BCE,连结AE,则 BC=BE。 ∵AD=BC,∴AD=BE。 ∵AB=AC,EB=EC, ∴直线 AE 垂直平分BC, ∴∠ABE=∠BAD。 在△ABD 和△BAE 中, ∴△ABD≌△BAE(SAS), ∴∠DBA=∠BAE=10°。 11.75°, 65°, 40°【解析】如答图,将△APC 绕点 A顺时针旋转 60°得△AQB,则△AQB≌△APC, ∴BQ=CP,AQ=AP。 ∵∠1+∠3=∠2+∠3=60°, ∴△APQ 是等边三角形, ∴QP=AP, ∴△QBP 就是以AP,BP,CP 为边长的三角形。 ∵∠APC=360°-∠APB-∠BPC=135°,∠6 = ∠APB − ∠5 = 65°, ∠AQB = ∠APC=135°, ∴∠7=∠AQB-∠4=75°, ∴∠QBP=180°-∠6-∠7=40°, ∴以AP，BP，CP 为边的三角形的三个内角的度数分别为75°,65°和 40°。 12.20 【解析】如答图,延长 AB 到点 F,使 BF=AD,连结CF。 ∵∠CAD=60°,∠AED=60°, ∴△ADE 为等边三角形, ∴AD=DE=AE,∠ADE=60°, ∵∠CDB=2∠CDE, ∴3∠CDE=120°,解得∠CDE=40°, ∴∠CDB=2∠CDE=80°。 ∵BF=AD, ∴BF=DE。 ∵DE+BD=CE, ∴BF+BD=CE,即 DF=CE。 ∵AF=AD+DF,AC=AE+CE, ∴AF=AC。 又∵∠BAC=60°, ∴△AFC 为等边三角形, ∴CF=AC,∠F=∠A=60°。 在△ACD 和△FCB 中, ∴△ACD≌△FCB(SAS), ∴CB=CD, ∴∠CBD=∠CDB=80°, 13.解:如答图,延长 BD 到点 T,使 DT=DC,连结AT,CT。 ∵AB = BD +CD = BD + DT = BT,∠ABD=60°, ∴△ABT 是等边三角形, ∴AT=AB,∠ATD=60°。 ∵AC=AT,AD=AD,CD=DT, ∴△ADC≌△ADT(SSS), ∴∠ACD=∠ATD=60°,∠DAC=∠DAT。 ∵DC=DT, ∴∠DCT=∠DTC。 ∵∠BDC=∠DCT+∠DTC=30°, ∴∠DTC=∠DCT=15°, ∴∠ACT=∠ATC=75°, ∴∠DAC=∠DAT=15°, ∴∠ADB=∠DAT+∠ATD=75°。 14.解:如答图,延长 NC 到点 E,使 CE = BM,连结 DE。 ∵△ABC为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°, 又∵BM=CE,BD=CD, ∴△CDE≌△BDM(SAS), ∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°。 在△DMN 和△DEN 中, ∴△DMN≌△DEN(SAS), ∴MN=NE=CE+CN=BM+CN, ∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2,故△AMN 的周长为2。 15.解:如答图,平移CD 至 BE,连结 EA,ED,BD, ∴BE=CD=AB。 又∵∠ABE=240°-(∠EBC+∠DCB)=240°- ∴△ABE 是正三角形。 设∠ABC=2α,则∠ADC=α,∠BCD=240°-2α,易证得△BED≌△DCB, ∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=60°+2α。 又∵ ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-α, ∴在△AED 中, +2α, ∴∠EAD=180°-∠AED-∠ADE=60°-α, ∴ED=EA,∴BC=ED=EA=AB=3。 16.解：如答图，在AC的延长线上截取AF=AB，连结BF,PF,延长 AP 交 BC 于点 D,交 BF 于点 E。 在△APB 和△APF 中, ∴△APB≌△APF(SAS), ∴PB=PF,∠APB=∠APF,∠FPE=∠BPE=∠PAB+∠ABP=30°, ∴∠BPF=60°,∴△BPF 为等边三角形。 又∵∠PBC=30°,∴BC 垂直平分PF, ∴∠CPF=∠CFP=∠ABP=8°, ∴∠EPC=∠EPF+∠CPF=38°, ∴∠APC=142°。 17.证明:如答图,取AB,BC,AC 的中点G,H,J,连结 GH,HJ,GJ,DG,DH,EG,EH,FJ,FH,FG,延长 DG 交 JH 于点 N,FG 交 AE 于点 O,AE 交 DF 于点M。 易知GH∥AC,HJ∥AB, ∴四边形 AGHJ 是平行四边形， ∴GH=AJ,HJ=AG。 ∵△ADB 是等腰直角三角形,BG=AG, ∴DG=AG=BG,同理FJ=AJ=JC,EH=BH=CH。 ∵∠BGH=∠BAC=∠HJC, ∠DGH = ∠DGB +∠BGH = 90°+ ∠BGH,∠FJH=∠FJC+∠CJH=90°+∠CJH, ∴∠DGH=∠FJH。 在△DGH 和△HJF 中, ∴△DGH≌△HJF(SAS), ∴ DH = HF, ∠GDH = ∠JHF, ∠GHD=∠JFH。 ∵AB∥JH,DG⊥AB, ∴DG⊥HJ, ∴∠DNH=90°, ∴∠HGN+∠GHN=90°。 ∵∠HGN = ∠GDH + ∠GHD = ∠GHD +∠JHF,∴∠DHF=90°, ∴△DHF 是等腰直角三角形，同理可证△GEF 是等腰直角三角形。 ∵∠DGA=∠FGE=90°,∴∠DGF=∠AGE。 在△DGF 和△AGE 中, ∴△DGF≌△AGE(SAS), ∴DF=AE,∠DFG=∠AEG。 ∵∠AEG+∠EOG=90°,∠EOG=∠AOF, ∴∠AOF+∠DFG=90°, ∴∠FMO=90°, ∴DF⊥AE, ∴AE=DF 且AE⊥DF。 学科网（北京）股份有限公司 $$