2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷一 三角形的边角关系

专题卷一 三角形的边角关系 (满分:120 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2024·温州瑞安新纪元学校竞赛]某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗(如图)。已知三边上的树苗数分别为50，14，48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 2.[2022·台州温岭中学选拔考试]已知a，b，c为三角形的三边边长，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是 ( ) A. a-1,b-1,c-1 B. a+1,b+1,c+1 C. a²,b²,c² 3.[“希望杯”竞赛]在三边互不相等的三角形中，最长的边的长为a，最长中线的长为m，最长高线的长为h，则 ( ) A. a>m>h B. a>h>m C. m>a>h D. h>m>a 4.[怀化中学自主招生]如图,四边形 ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E,如果△CDE,△BCE,△AED 的面积分别为3,4,6,那么△ABE 的面积为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 5.[江苏竞赛]如图,在五边形 ABCDE 中,BC∥AD,BD∥AE,AB∥EC,图中与△ABC 面积相等的三角形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.[第27届“希望杯”邀请赛]三个内角的度数都是质数的三角形有(三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种) ( ) A.7 种 B.8种 C.9种 D.10 种 二、填空题(每题5 分，共30分) 7.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连结，但不允许折断)，得到的三角形的最长边的长度为 。 8.[2024·浙江自主招生]若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为 。 9.[浙江自主招生]如图，我们把有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中的“共边三角形”有 对。 10.[江苏竞赛]如图， 和 的平分线相交于点P ，设 和 的度数依次为a，b，c，d，用含其中2个字母的代数式来表示 的度数为 。 11.[2024·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]五条长度均为整数的线段( 满足 其中 且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则 ° 12.[第27 届“希望杯”邀请赛]如图，在 中,点 D 在边BC上,D 是边BC 的中点,E,F 是边AC的三等分点。AD 与BE,BF 分别相交于点G,H,则. 三、解答题(共60分) 13.(10分)[2024·北京西城区招生]平面上有n个点(n≥3，n 为自然数)，其中任何三点不在同一直线上。求证：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 14. (12 分)[第 27 届“希望杯”邀请赛]在 中,点 D 在边BC 上,若 与 的三个内角分别对应相等。求证:AD·BC=AB·AC。 15.(12分)[安庆一中自主招生]如图， 内3个小三角形. 的面积分别为5,8,10,求 的面积。 16. (12分)[芜湖一中自主招生]现有长为150 cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1 cm的整数。如果其中任意3小段不能拼成三角形，试求n 的最大值，以及此时有几种方法能将该铁丝截成满足条件的 n 段。 17.(14分)问题再现: 如图1，在 中，AF 为BC 边上的中线，则 如图2，在 中,CD 为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,则S△BOC=S四边形ADOE。 分析：如图2，在 中，CD 为AB 边上的中线，则 BE 为AC 边上的中线，则 又∵S△BOC=S△BCD—S△BOD,S四边形ADOE=S△ABE—S△BOD,即S△BOC=S四边形ADOE。 解答下列问题： (1)如图2,在 中,CD为AB 边上的中线,BE 为AC 边上的中线,AF 为BC边上的中线。 ①判断 是否成立，并说明理由。 (2)如图3,E,F 分别为四边形ABCD 的边AD,BC 的中点,则 (3)如图4,E,F,G,H 分别为四边形ABCD 的边AD,BC,AB,CD 的中点,则S阴影 ：S四边形ABCD= 。 (4)如图5,E,F,G,H 分别为四边形ABCD 的边AD,BC,AB,CD 的中点。若 求阴影部分的面积。 专题卷一 三角形的边角关系 1. B 【解析】∵三边上的树苗数分别为50,14,48,空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米， ∴三边的长分别为 13 米、47 米、49 米。 假设该空地为直角三角形且直角三角形的最长边为x, 则 又‘ ∴该三角形为钝角三角形。 2. B 【解析】设a<b<c。 ∵a，b，c是三角形的三边边长，每条边长都大于1， ∴a+b>c, ∴a+1+b+1>c+1, ∴一定能组成三角形的是 B。 3. A 【解析】如答图1,在△ABC 中,不妨设 AC 边上的中线 BD 是最长的中线，延长 BD 到点 B'，使DB'=BD,,连结 B'C,则△ABD≌△CB'D,AB=B'C。 在△CBB'中,BB'<BC+B'C,,则2m<BC+AB,故 m 小于 BC 与AB 中较大的边长，而a 是最长边的长,∴m<a; 如答图2,在△ABC 中,不妨设AC 边上的高BH 是最长的高线，作出同一条边上的中线 BD。 ∵△BDH 是直角三角形,∴BH<BD,而 BD≤m。综上所述,a>m>h。 4. B 【解析】∵S△CDE =3,S△AED=6,∴CE : AE= ∵S△BCE=4,∴S△ABE=8。 5. C 【解析】与△ABC 面积相等的三角形有△BCD,△ABE,△AED。 6. A【解析】设此三角形的三个内角的度数分别为x,y,z,且x≤y≤z,则x+y+z=180。 ∵x,y,z都为质数,若x,y,z 都为奇数,则x+y+x的值为奇数,与x+y+z=180矛盾, ∴x，y，z 至少有一个为偶数。 ∵2是最小的质数，且为唯一的偶质数，故x=2。 ∵y,z 均为质数,y 与 z 的个位数只能是(1,7)组合,(3,5)组合,或(9,9)组合。 ①在(1,7)组合中,(11,167),(41,137),(47,131),(71,107),有4 组符合条件; ②在(3,5)组合中,(5,173),有1组符合条件; ③在(9,9)组合中,(89,89),(29,149),有2 组符合条件。 综上所述，共有7 组符合条件，故选 A。 7.16 或 17 【解析】∵5,6,11+16,5+6<11+16,不能组成三角形； 5+6,11,16,5+6+11>16,能组成三角形; 5,6+11,16,5+16>6+11,能组成三角形; 6,11,16+5,6+11<16+5,不能组成三角形, ∴得到的三角形的最长边的长度为16 或 17。 8.33 【解析】根据题意得，三角形的三边都小于 20。设最小的两边为x≤y≤19,x+y>20,2y+x≤40。 当x=2时,y=19; 当x=3时,y=18; 当x=4时,y=17,18; 当x=5时,y=16,17; 当x=6时,y=15,16,17; 当x=7时,y=14,15,16; 当x=8时,y=13,14,15,16; 当x=9时,y=12,13,14,15; 当x=10时,y=11,12,13,14,15; 当x=11时,y=11,12,13,14; 当x=12时,y=12,13,14; 当x=13时,y=13, ∴符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33。 9.32 【解析】以 AB 为公共边的三角形:△ABD和△ABC; 以 AC 为公共边的三角形:△ACE 和△ACB; 以 AD 为公共边的三角形:△ADE 和△ABD; 以 AE 为公共边的三角形:△AED 和△AEC; 以 BC 为 公 共 边 的 三 角 形: △BCO, △BCA,△BCD，△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6 对； 以 BD 为公共边的三角形:△BDC,△BDE,BDA,有 3 对共边三角形； 以 BE 为公共边的三角形:△BEO,△BED,△BEC,有 3 对共边三角形； 以 OB 为公共边的三角形:△OBE 和△OBC; 以CD 为公共边的三角形:△CDO,△CDB,△CDE,有 3 对共边三角形； 以CE 为公共边的三角形:△CED,△CEA,△CEB,有 3 对共边三角形； 以 CO 为公共边的三角形:△COD 和△COB; 以 DE 为 公 共 边 的 三 角 形: △AED, △OED,△BED，△CED，4 个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以 OD 为公共边的三角形:△ODC 和△ODE; 以 OE 为公共边的三角形:△OBE 和△ODE。 共32 对。 【解析】∵∠BFA=∠PAC+∠P,∠BFA =∠PBC+∠C, ∴∠PAC+∠P=∠PBC+∠C。 ∵∠CAD,∠CBD,∠C,∠D 的度数依次为a,b,c,d, 同理可得： ② ①+②,得 11.3 【解析】解法一: 且a₁,a₂,a₃,a₄,a₅均为整数, ∵a₁,a₂,a₃构不成三角形， 即 a₃≥3。 ∵a₃,a₄,a₅构不成三角形， 即 构不成三角形，， 即a₃≤ 此时a₃=3或4,但当 时，没有任何一个整数能使a₃，a₄，a₆不能构成三角形，故排除， 解法二：由题意，得 a₄≤a₅, 三个不等式相加，得 +a₅, 即 只能取3或4。 当 时， 此时 与 矛盾。 当 时,可以找到1,2,3,5,9或1,2,3,6,9满足题意， 12.5:3: 2【解析】如答图,设△ABC 的面积为 1,连结 DE,DF, 则 即AG=GD。 又∵ 即AH=4HD, ∴AD=5HD,AG=GD=2.5HD, GH=GD-HD=2.5HD-HD=1.5HD, ∴AG:GH: HD =2.5HD:1.5HD: HD =5:3:2。 13.证明：如答图，在这 n 个点中，必存在这样的两点，使其他各点均在这两点所在直线的同侧。设这两个点为 A₁，A₂，其他各点按逆时针方向设为A₃,A₄,…, An。· An-l· ①当 时,连结 A₂An。在△A₁A₂Aₙ中, 则△A₁A₂An中必有一个角不大于 ②当 时,∠A₂A₁A₃+ 若这n-2个角均大于 则不等式不成立， 则在这n—2个角中，必有一个角不大于 14.证明：由△ABD 与△ACD 的三个内角分别对应相等和三角形外角定理，得∠ADC>∠ABC,∠ADC>∠BAD, ∴只能∠ADC=∠ADB。 ∵∠ADC+∠ADB=180°, ∴∠ADC=∠ADB=90°, ∴AD⊥BC。 ∵∠B≠∠C, ∴∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,相加得∠B+∠C=∠CAD+∠BAD=∠BAC。 ∵∠B+∠C+∠BAC=180°, ∴∠BAC=90°, ∴AD·BC=AB·AC。 15.解:如答图,连结 AF,设S△AEF=a,S△ADF=b, 解得a=12,b=10, ∴S四边形AEFD=a+b=22, ∴S△ABC=5+8+10+22=45。 16.解:∵n段之和为定值 150 cm,故要使 n 尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小。又由于每段的长度不小于 1 cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度最小是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,但1+1+2+…+34+55=143<150,1+1+2+…+34+55+89=232>150,故n 的最大值为10。 将长为150 cm的铁丝分为满足条件的10段共有以下 7 种方式： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,62; 1,1,2,3,5,8,13,21,35,61; 1,1,2,3,5,8,13,21,36,60; 1,1,2,3,5,8,13,21,37,59; 1,1,2,3,5,8,13,22,35,60; 1,1,2,3,5,8,13,22,36,59; 1,1,2,3,5,8,14,22,36,58。 17.(1)②1: 6 (2)1 : 2 (3)1 : 3 解:(1)①S△BOD =S△COE成立。理由如下： ∵在△ABC 中,CD 为AB 边上的中线, ∵BE 为AC 边上的中线, ∴S△BCD=S△CBE。 ∴S△BOD=S△COE。 ②由①,得S△BOD=S△COE,S△BOD=S△AOD,S△COE=S△AOE,S△BOF =S△COF, ∵O是△ABC 三条中线的交点， ∴OA=2OF, ∴S△COF=S△COE, =S△COF, ∴S△BOD : S△ABC=1:6。 (2)如答图1,连结 BD。 由题意，得 ∴S阴影 : S四边形ABCD=1:2。 (3)如答图2,连结BD。 由题意，得 ∴S阴影 : S四边形ABCD=1: 3。 (4)如答图3，设四边形空白区域的面积分别为a，b,c,d。 ∵S△AME=1,S△BNG=1.5,S△CQF=2,S△DPH=2.5, ④ ①+②+③+④,得a+3.5+c+3.5+b+2.5+d+4.5=a+b+c+d+14=S四边形ABCD。 又∵S四边形ABCD=a+b+c+d+7+S阴影, ∴S阴影=7。 学科网（北京）股份有限公司 $$