精品解析：江苏省无锡市厚桥中学2024-2025学年八年级下学期5月限时练习数学试题

初二数学5月限时练习 （总分120分 考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 下列常用软件的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（  ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，比较适合使用抽样调查的是 （  ） A. 检查人造卫星重要零部件的质量 B. 对某本书中的印刷错误的调查 C. 调查无锡市市民进行垃圾分类的情况 D. 了解某校八年级一班学生的视力情况 4. 下列关于四边形的说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （  ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或1.5 D. 3或1.5 9. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 10. 如图，反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为　　 A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 已知，则的值等于__________． 13. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率__________． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则____________． 16. 如图，四边形为菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，，则_______ ． 17. 如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 _______． 18. 如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算与化简： （1） （2） 20. 解下列方程： （1） （2） 21. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______，并证明． 22. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）如图1，的顶点以及点O 均在格点上，画出，以O为旋转中心，将逆时针旋转； （2）如图2，画出一个以为边，面积为6的矩形； （3）如图3，在网格中有一定角和一定点P，请作一条线段，使点P为中点，且点A、B分别在、上． 24. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的共有 名学生； （2）请你补全条形统计图，并求出“很少”所对的扇形圆心角的度数 ； （3）若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 25. 某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． （1）点的坐标为  ，点的坐标为  ； （2）动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学5月限时练习 （总分120分 考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1. 下列常用软件的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解答本题的关键． 2. 下列各式是最简二次根式的是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的满足的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 3. 下列调查中，比较适合使用抽样调查的是 （  ） A. 检查人造卫星重要零部件的质量 B. 对某本书中的印刷错误的调查 C. 调查无锡市市民进行垃圾分类的情况 D. 了解某校八年级一班学生的视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．检查人造卫星重要零部件的质量，适宜用全面调查，故此选项不符合题意； B．对某本书中的印刷错误的调查，适宜用全面调查，故此选项不符合题意； C．调查无锡市市民进行垃圾分类的情况，适宜用抽样调查，故此选项符合题意； D．了解某校八年级一班学生的视力情况，适宜用全面调查，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．掌握抽样调查和全面调查的区别是解题的关键． 4. 下列关于四边形的说法中，正确的是（ ） A. 一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，根据各选项的条件，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析，熟练掌握平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， A不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线互相平分且相等的四边形是矩形， B符合题意； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， C不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形， D不符合题意， 故选：B． 5. 已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵a是一个正数， ∴，，， 又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴． 故选：A． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 7. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （  ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的范围即可． 【详解】解：∵， 在方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵该分式方程有解， ∴， ∴， ∵该分式方程的解是正数， ∴， ∴， ∴的取值范围为且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 8. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或1.5 D. 3或1.5 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情形：①当∠FED=90°时，如图1所示；②当∠DFE=90°时，如图2所示，分别求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°， 分两种情况讨论： ①当∠FED=90°时，如图1所示， 则∠CEF=90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴FE=BC， 由折叠的性质得：CE=FE=BC=3；     ②当∠DFE=90°时，如图2所示， 在Rt△ABD中，∵AB=4，AD=3， ∴， 由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE， ∵∠DFE+∠EFB=180°， ∴点B、F、D共线，即点F在BD上，DF=BD-BF=5-3=2， 设FE=CE=x，则DE=4-x， 在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x=1.5 即CE=1.5， 综上所述，CE的长为3或1.5． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 9. 某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B. 水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C. 水温从加热到需要 D. 水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，若点D的坐标为，则k的值为　　 A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题． 详解：∵反比例函数y=的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为（-1，0）， ∴点A的坐标为（-1，-k）， ∴点E的坐标为（-1+0.5k，-0.5k）， ∴-0.5k=， 解得，k=-2， 故选B． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比的性质，运用特殊值解法，令，，（）代入求值即可． 【详解】解：∵，令，，（） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，求分式的值，令特殊值法求解，掌握比例的运算，代入求值是解题的关键． 13. 王芳抛一枚硬币10次，有8次正面朝上，当她抛第11次，正面朝上的概率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案． 【详解】解：一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的， 抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是， 当她抛第11次，正面朝上的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关． 14. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则____________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质可得， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，四边形为菱形，对角线相交于点O，于点H，连接，，，则_______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理可求得的长，即可知的长，然后在中，由中线定理可求得的长． 【详解】∵菱形的对角线互相垂直平分，， ∴，又， ∴在中，． 由菱形的对角线互相平分知：． ∵， ∴在中，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形中线定理等知识点，解题的关键是最后一步利用直角三角形的中线定理求解． 17. 如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质． 根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求k． 【详解】解：如图：连接， 在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点， ，为中位线， ， ， 的面积为3， ， ， 反比例函数的图象经过点A， ． 点A且在第二象限， ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据B′点轨迹求得B′到直线BC的最大距离为B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答； 【详解】解：如图，B′的轨迹在以A为圆心，AB为半径的圆上，点D、A、C三点共线， ∠ACB=90°，则DC⊥BC， 当B′与点A、C不共线时，B′C＜B′A+AC， ∵B′C与BC不垂直， 由垂线段的性质可得：B′到直线BC的距离小于B′C， ∴B到直线BC的距离小于B′A+AC， 当B′与点D重合时，B′到直线BC的距离= B′A+AC， ∴B′到直线BC的最大距离为B′A+AC， ∴当B′与点D重合时，△B′CB的面积最大， Rt△ABC中，AC=， ∴△B′CB面积最大值为DC•BC=（5+3）×4=16， 故答案为：16； 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的三边关系，掌握垂线段的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式的加减法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程移项后，利用配方法求出解即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘以，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程—配方法，掌握解方程的方法是解题的关键． 21. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式：______，并证明． 【答案】（1） （2） （为正整数） ， 证明如下： 等式左边 等式的右边， ∴归纳的公式成立． 【解析】 【分析】（1）根据前面4个等式提供的规律信息可得第5个等式； （2）根据等式左边根号下的第1个加数为一列正整数，第2个数的分子为1，分母为从3开始的正整数，等式右边根号外的数的分子为从2开始的正整数，分母为从3开始的正整数，根号下为从3开始的正整数，再利用字母表示即可，最后利用分式的加减运算与算术平方根的含义进行证明即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； ∴第5个等式：； 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 归纳总结可得：第n个等式为： （为正整数） 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，算术平方根的含义，实数的运算规律的探究，二次根式的化简，掌握“探究方法并归纳总结规律”是解本题的关键． 22. 如图，为矩形的对角线，将矩形分别沿折叠，使点B落在上的点M处、点D落在上的点N处． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，所以可证，根据角平分线的性质可证，从而可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据勾股定理可求，设，则，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为，可知，利用平行四边形的面积公式可求结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ∴， ，， ， 设，则， ∴由折叠知：，，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． （1）如图1，的顶点以及点O 均在格点上，画出，以O为旋转中心，将逆时针旋转； （2）如图2，画出一个以为边，面积为6的矩形； （3）如图3，在网格中有一定角和一定点P，请作一条线段，使点P为中点，且点A、B分别在、上． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，矩形即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）理由旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）如图，取格点，，可知四边形是矩形，取格点，，连接，分别交，于，，可知四边形是平行四边形，四边形是矩形，易知，利用性质可知，则，进而可知矩形的面积，即可求得所作图形； （3）取格点，，，连接，，与交于点，可知四边形是平行四边形，取格点，，连接，，与交于点，可知四边形是平行四边形，进而可知四边形是平行四边形，连接，，由图可知点为的中点，即可求得所作图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取格点，，连接，，，由勾股定理可知，， 又∵，则， ∴四边形是矩形， 取格点，，连接，分别交，于，， 由勾股定理可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∴矩形的面积， 【小问3详解】 取格点，，，连接，，与交于点， 由勾股定理可得：，， ∴四边形是平行四边形， 取格点，，连接，，与交于点， 由勾股定理可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 连接，，由图可知点为的中点， ∵，是平行四边形的对角线， ∴点为的中点， 【点睛】本题考查作图-旋转变换，相似三角形的判定及性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的共有 名学生； （2）请你补全条形统计图，并求出“很少”所对的扇形圆心角的度数 ； （3）若该校有3000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 【答案】（1）200 （2）补全条形统计图如下： ； （3）“总是”对错题进行整理纠错的学生共有1080名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，从统计图中读出相关信息是解题的关键． （1）根据题意用“有时”的人数除以所占百分比即可得到答案； （2）根据题意就算画出图形即可． （3）用该学校的人数乘以“总是”的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得：总人数：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“常常”的人数：（名）， “很少”所对的扇形圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：， 答：“总是”对错题进行整理纠错的学生共有1080名． 25. 某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米 （2）共有12种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路9千米，乙工程队修路27千米． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，根据乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可； （2）设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路千米，根据题意可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，可得出共有12种修路方案，设修路的总费用为w万元，根据题意可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ； 答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米； 【小问2详解】 解：设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路千米， 根据题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴共有（种）修路方案． 设修路的总费用为w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵，且m为整数， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：共有12种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路9千米，乙工程队修路27千米． 26. 如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． （1）点的坐标为  ，点的坐标为  ； （2）动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】（1），； （2）；或或或． 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标； （）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案； 由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴的坐标为； 由知，点在直线上，设直线交轴于， 当时，若点在第一象限， ∴， ∴， 当点在第四象限时，不符合题意，舍去， 当时， 同理得，，， 当时，点， 则点与关于对称， ∴， 综上，所有点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $