第二十四章 一元二次方程（复习课件）数学冀教版九年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过单元知识图谱将核心内容串联，构建从概念到解法再到应用的完整逻辑体系，凸显知识点间的内在联系。 其亮点在于题型剖析结合例题与变式训练，如面积问题通过平移转化培养几何直观（数学眼光），根与系数关系变式题提升推理意识（数学思维），分层设计让学生巩固知识，教师可精准把握学情提高复习效率。

单元复习课件 第二十四章 一元二次方程 冀教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握一元二次方程的定义，明确二次项、一次项、常数项及系数的概念；牢记一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，理解每种方法的适用条件和原理。掌握一元二次方程根的判别式，能通过判别式判断方程根的情况；理解一元二次方程根与系数的关系。 3.培养分析问题和解决问题的能力，通过对不同类型题目 的练习，学会归纳总结解题规律和方法。提升逻辑推理能力，在运用判别式和韦达定理时，能清晰地进行推理和论证。增强方程思想和转化思想的应用意识，学会用代数方法解决几何或实际生活中的问题。 2. 能根据方程的特点，灵活选择合适的解法求解一元二次方程，提高解题效率和准确性。能运用根的判别式解决与方程根的情况相关的问题；能运用根与系数的关系解决问题。能将实际问题转化为一元二次方程模型，解决增长率、面积、利润等实际应用问题，体会数学与生活的联系。 单元学习目标 一元二次方程 一般形式 一元二次方程 解法 一元二次方程的解 因式分解法 基本概念 三要素：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 直接开平方法 公式法 配方法 左边配成完全平方式的形式，右边为常数 利用平方根的意义直接将次 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式 a 单元知识图谱 一元二次方程 根与系数的关系 单元知识图谱 一元二次方程应用 变化率问题 几何图形面积问题 列一元二次方程解决实际问题的步骤 比赛问题 几种常见类型 数字问题 销售问题 混合运算 审、设、列、解、验、答 单元知识图谱 考点一、一元二次方程的基本概念 （一）一元二次方程与一元二次方程的解 1．像，像这样，只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程，叫作 _____ . 2．一元二次的一般形式为 其中，是________， ，，（二次项、二次项系数、一次项系数、常数项都包括前面的符号）． 3．一元二次方程的 也叫做这个方程的根. 一个 2 一元二次方程 二次项 一次项 二次项系数 常数项 整式 解 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 1.直接开平方法：对于形如 的一元二次方程，可以直接开平方，得到例：=0 （ 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 （二）配方法 1.配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根．这种解一元二次方程的方法叫做配方法形如：（适用于任何一个一元二次方程） 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 （三）公式法 1．对于一元二次方程，当时，它的根是，这个式子称为一元二次方程的________公式．用求根公式解一元二次方程的方法，叫做_______（适用于任何一个一元二次方程） 2．一元二次方程的实数根情况与的值的符号的关系： (1)当时，方程有两个________的实数根； (2)当＝0时，方程有两个________的实数根； (3)当＜0时，方程________实数根． 公式法 求根 不相等 相等 没有 考点串讲 考点二、一元二次方程的解法 （四）因式分解法 1.因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 形如： 2.因式分解法的基本步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 考点串讲 考点三、一元二次方程根与系数的关系 （一）根与系数的关系 1.将一元二次方程化成一般形式之后，设它的两个根是，，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：，关于x的方程如果它的两个根是，，那么-p，q 考点串讲 考点四、实际问题与一元二次方程 （一）列一元二次方程解应用题步骤 1．“设”，即设________，有直接设和间接设两种方法； 2．“列”，即根据题中______关系列方程； 3．“解”，即求出所列方程的 ； 4.“检验”，即验证（3）中的解是否符合题意，包括两个方面（ 和 ）； 5.“答”，即回答题目中要解决的问题。 未知数 相等 解 式子有意义 实际背景 考点串讲 题型一、一元二次方程的基本概念 例1：若关于x的方程0是一元二次方程，则a的值为 。 2 分析：本题考查的是一元二次方程的定义。因为方程0是一元二次方程，所以=2，且由=2可得又因为，即，所以a=2。 题型剖析 题型一、一元二次方程的基本概念 一变：将方程变成一元二次方程的基本形式 ． 二定：二次项的系数不为零、未知数的次数为2 ． 题型剖析 题型一、一元二次方程的基本概念 变式：若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是 。 k 分析：首先将方程化为一元二次方程的一般形式。原方程移项、合并同类项后可得。 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其二次项系数不能为0。 此方程中二次项系数为k - 1，因此需满足0，即。 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 例2：用合适的方法解下列方程 （1） （2） 解：（直接开平方） =7，= 解：（配方法） =2，= 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 例2：用合适的方法解下列方程 （3） （2） 解：（公式法） a=4，b=1，c= ∵ =，= 解：（因式分解法） =2，=3 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 解一元二次方程解法小结 1.解一元二次的基本思路是将次. 2.先判断能否直接开方，再尝试因式分解法，前两种不行就选公式法，配方法很少用． 3.公式要记清，计算要准确，算后检验. 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 变式：解一元二次方程. (1)(2) 解: =6，= 解：移项得5 配方得 开平方得 =5，= 题型剖析 题型二、一元二次方程的解法 变式：解一元二次方程. (3)(4) 解: a=3，b=，c= ∵ =1 解 =4，= 题型剖析 题型三、一元二次方程根与系数的关系 例3：已知一元二次方程两个实数根为，，不解方程，求代数式 解：由题可得，=3，= +=，将=3，= 代入可得：=6，即代数式 题型剖析 题型三、一元二次方程根与系数的关系 记准根与系数关系：，，先确认方程有实根（  代数式变形为含两根和、积的形式，再代入求值. 计算过程中注意符号和计算准确. 题型剖析 题型三、一元二次方程根与系数的关系 变式：已知一元二次方程根，不解方程求的值. 解:由根与系数的关系得2，=-2 =, 将2，=-2代入可得=2. 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例4.：如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得 （20-x)(32-x)=540， 整理得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 图2 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例5：某工厂2023年的产值是500万元，2025年的产值是720万元，求该工厂产值的年平均增长率。 解：设年平均增长率为x。 分析：2024年的产值为500(1 + x)万元，2025年的产值为500(1 + x)²万元。 则500(1 + x)² = 720，(1 + x)² = 1.44，1 + x = ±1.2。 解得= 0.2 = 20％， = - 2.2（舍去）。 所以年平均增长率为20%。 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例6：参加一次篮球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场，共有多少个队参加比赛？ 解：设共有x个队参加比赛。 每个队要和(x - 1)个队比赛，但两队之间只赛一场，所以比赛总场数为。 =45，x² - x - 90 = 0。 因式分解得(x - 10)(x + 9)=0 解得 = 10， = - 9（舍去）。 所以共有10个队参加比赛。 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例7：某商品进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可卖出60件。经调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件。若要每天获得800元的利润，售价应定为多少元？ 解：设售价应定为x元，则每件利润为(x - 20)元，每天卖出60 - 2(x-30)=(120 - 2x)件。 根据利润公式可得(x - 20)(120 - 2x)=800 整理得x² - 80x + 1600 = 0。 因式分解得(x - 40)² = 0，解得 = = 40。 所以售价应定为40元。 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例8：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数。 解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为(x-1)，这个两位数为10(x - 1) + x = 11x - 10。 根据题意可得x+(x-1)=(11x-10)， 去分母得5(2x-1)=11x-10， 展开得10x - 5 = 11x - 10， 解得x = 5。 则十位数字为5 - 1 = 4，这个两位数是45. 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 例9：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，求这个两位数。 解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为(x-1)，这个两位数为10(x - 1) + x = 11x - 10。 根据题意可得x+(x-1)=(11x-10)， 去分母得5(2x-1)=11x-10， 展开得10x - 5 = 11x - 10， 解得x = 5。 则十位数字为5 - 1 = 4，这个两位数是45. 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 1. 解实际问题时，要依“审、设、列、解、验、答”步骤，精准分析题意找等量关系。 2. 不同类型问题有各自特点，像几何面积问题常借图形面积公式，将不规则图形变规则图形，变化率问题用增长（降）率公式构建方程。 3. 解出方程的根后，要结合实际意义检验，舍去不符合题意的解，保证答案合理。 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 4. 在变化率问题中，常用的等量关系为： 初始量×(1＋平均增长率)n＝增长后的量； 初始量×(1－平均降低率)n＝降低后的量． 其中n为正整数，表示增长或降低的次数． 5.解决利润问题常用的关系： (1)利润＝售价－进价． (2)利润率＝×100%＝×100%. (3)售价＝进价(1＋利润率)． (4)总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出．) 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 变式1：某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关，当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元.以同样的栽培条件，若每盆增加1棵，平均每棵盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵？ 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花（x+3）棵，平均每棵盈利为（3-0.5x）元， 由题意得(x+3)(3-0.5x)=10， 化简，整理得： 解这个方程，得：=1，=2. 经检验， x=1，x=2 均符合题意. 答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4棵或5棵． 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 变式2：某养殖场2010年的产值为500万元，2012年的产值为605万元.求2010～2012年该养殖场产值的年平均增长率. 解:设2010～2012年该养殖场的年平均增长率为x，那么2011年的产值为500+500x=500(1+x)，2012年的产值为500(1+x)+ 500（1+x）·x=500. 根据题意，得 500 =605. 解这个方程，得 =0.1，=-2.1. 根据题意，605万元>500万元，故年增长率x>0, x1=0.1符合题意.所以，该养殖场2010～2012年产值的年平均增长率为0.1，即10﹪. 题型剖析 题型四、与一元二次方程有关的实际应用题 变式3：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。市场调研表明：当销售价为每上涨1元时，其销售量就将减少10个。商场要想销售利润平均每月达到10000元，每个台灯的定价应为多少元？ 解：设每个台灯涨价x元，则定价为(40 + x)元，销售量为(600 - 10x)个，根据题意得： (600 - 10x)(40 + x - 30)=10000 解得=10，=40 当x = 10时，40 + x = 50；当x = 40时，40 + x = 80。 答：每个台灯的定价应为50元或80元。 题型剖析 1. 下列有关x的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. =1 C. + 2 = 0 D. 分析：根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。选项B中含有分式，不是整式方程，所以B错误；选项D中当a = 0时，方程就不是一元二次方程，所以D错误；选项A和C符合一元二次方程的定义，所以答案是AC。 AC 针对训练 2. 解下列一元二次方程 (1)=0 (2) 解：移项，得=-8 配方，得=-8+9 即=1 两边开平方，得 解得=4，=2 解：将方程化为一般形式=0 其中，a=2，b=-7，c=3 -4ac=-42 解得=7，= 针对训练 3. 已知关于x的方程的两根为-3和-1，求p，q的值。 分析：本题考查知识点一元二次方程的根与系数的关系。对于一元二次方程，若方程的两个根为 ，则 。 解：在方程中，a = 1，b = p，c = q，已知两根=-3，=-1。根据根与系数的关系可得：=-p，即-4=-p，解得p = 4； ，即3 = q。 所以，p的值为4，q的值为3。 针对训练 4. 一块长方形铁片长32cm，宽24cm，四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖铁盒，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高． 【解析】设小正方形的边长即盒子的高为xcm，依题意，得（32-2x）（24-2x）=32×24×0.5，解得=24（不合题意舍去），=4 . 答：盒子的高为4cm. 针对训练 5. 在长为40米、宽为26米的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的长和宽平行），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为864平方米，求道路的宽。 针对训练 解：设道路的宽为x米。 将原图中两条道路分别向上和向右平移，可得草坪的长为(40 - x)米，宽为(26 - x)米。 根据草坪面积为864平方米，可列方程为(40 - x)(26 - x)=144×6 解得 = 2， = 88。 因为道路宽不可能超过矩形的宽26米，所以x = 88不符合题意，舍去。 故道路的宽为2米。 针对训练 6.某商场将进货价为20元的商品按30元出售时，每天能卖出300件。经调查发现，该商品每涨价1元，其销售量就会减少10件。为了每天赚4000元利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 分析：设商品售价为(30 + x)元，则每个商品的利润为(30 + x - 20)元。因为每涨价1元销售量减少10件，所以涨价x元后，销售量为(300 - 10x)件。根据“单件利润×销售数量 = 总利润”，可列方程为(300 - 10x)(30 + x - 20)=4000。 解：设商品售价为(30 + x)元，则销售量为(300 - 10x)件，根据题意得： (300 - 10x)(30 + x - 20)=4000 解得==10。 当x = 10时，30 + x = 40，300 - 10x = 300 - 10×10 = 200。 答：售价应定为40元，这时应进货200件。 针对训练 ✅ 知识构建：一元二次方程的基本概念和应用 一元二次方程基本概念→解法→根与系数的关系→应用 ✅ 思想方法： 转化与化归、方程思想、类比思想、分类讨论思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $$