2.1.2认识实数（2）课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”，系统讲解实数的概念分类、相关概念及与数轴的一一对应。课堂从有理数小数特征提问导入，引导学生从有理数自然过渡到实数，构建知识支架衔接前后内容。 其亮点在于通过实例分析培养抽象能力，如将有理数化为小数发现特征，结合例题归纳强化逻辑推理。数轴应用体现几何直观，如例2点的对称、例3整数点判断，帮助学生发展空间观念。当堂检测和课堂小结助力学生用数学语言表达知识体系，对学生加深理解培养核心素养，对教师提供清晰教学结构提升效率。

2.1 认识实数（2） 第二章 实数 学习目标 1.了解实数的意义，能对实数按要求分类.(重点） 2.了解实数范围内相关概念的意义.(重点） 3.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上 的点表示无理数.(难点） 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。 导入新课 情境引入 3 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 讲授新课 无限不循环小数为无理数. 如π=3.14159265…，0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0） 5 1、有理数的小数描述： 2、有理数的常见形式： 1、整数. 2、分数. 3、有限小数. 有限小数和无限循环小数是有理数. 4、无限循环小数. 归纳小结 1、无理数定义： 3、无理数的常见形式： 无限不循环小数叫做无理数. （1）具有特殊意义的数. （2）具有特殊结构的数. 如：π 如：0.2020020002…（相邻两个2之间的0的个数逐次加1） 2、无理数的特征： （1）无限、不循环、小数. （2）不能化成分数. （3）开方开不尽的数. 如： 例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2） . . 解：有理数有：3.14， ， 0.57； . . 无理数有：0.1010001000001… （相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 有理数和无理数统称为实数. 8 尝试·思考 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 3.14，0.57, 0.1010001000001… （1）按定义分： 实数 有理数 无理数： 整数 分数 0 正整数 负整数 正分数 负分数 有限小数和无限循环小数 无限不循环小数. （2）还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗? 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 （2）按性质分： 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 例如： 与 互为相反数 与 互为倒数 归纳小结 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 例1.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 解：(1)因为 ＝－4， 所以 的相反数是4，倒数是 ，绝对值是4. (2)因为 ＝15， 所以 的相反数是－15，倒数是 ，绝对值是15. (3) 的相反数是－ ，倒数是 ，绝对值是 . （1）a是一个实数，它的相反数为_____ ，绝对值为_____； （2）如果a≠0，那么它的倒数为_____. -a |a| 归纳小结 （1）如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?与同伴进行交流。 －2 －1 0 1 2 B A 前面讨论的两个正方形，边长分别是，且满足a2=2，b2=5。 1 思考·交流 －2 －1 0 1 2 - 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. ★实数和数轴上的点是一一对应的. 例2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数． 解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 ， 所以点B到点A的距离为1＋ ，则点C到点A的距离为1＋ ， 设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x， 所以－1－x＝1＋ ，所以x＝－2－ 【方法梳理】当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值． 例3.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解析：因为 ≈1.414，所以 和5.1之间的整数有2，3，4，5， 所以A，B两点之间表示整数的点共有4个． C 【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 1.判断题： ①实数不是有理数就是无理数. （ ） ③无理数都是无限小数. （ ） ④带根号的数都是无理数. （ ） ⑤无理数一定都带根号. （ ） ⑥两个无理数之积不一定是无理数. （ ） ⑦两个无理数之和一定是无理数. （ ） ⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（ ） × × × ②无理数都是无限不循环小数. （ ） √ √ √ √ √ 当堂检测 20 2.把下列各数填入相应的集合内： （1）有理数集合{ …}； （2）无理数集合{ …}； （3）正实数集合{ …}； （4）负实数集合{ …}. 0.15. · · 0.15 · · 0.15 · · 3.在 -3，－ ， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ） A. -3 B.－ C. －1 D. 0 D 4.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ． 【解析】1＜ ＜2，2＜ ＜3， 在 与 之间的整数是2. A B 2 5. 实数 a,b 的位置如图， 化简 |a + b| – |a – b|. a 0 b 解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而 原式=－(a＋b)－[－（a－b）] = －a－b＋（a－b） = －a－b＋a－b = －2b 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 实数与数轴上的点一一对应 课堂小结 $$