专题02 整式中的数字和图形规律探究的六种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题02 整式中的数字和图形规律探究的六种模型 目录 题型一：数字类规律探索之排列问题 1 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 2 题型三：数字类规律探索之新运算问题 4 题型四：数字类规律探索之等式问题 6 题型五：图形类规律探索之数字问题 11 题型六：图形类规律探索之数量问题 13 题型一：数字类规律探索之排列问题 1．以下是一组按规律排列的数：，4，，16，，…．第2025个数是（   ） A． B． C． D． 2．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 3.一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 6．观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 7.已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 8.已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 题型三：数字类规律探索之新运算问题 9.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 10.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 11．（新定义）若记，其中表示当时的值，即，表示当时的值，即，则 ． 12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 题型四：数字类规律探索之等式问题 13.已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 14．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 15.观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 16．观察下面的变形规律： ，； 解答下面的问题： (1)若n为正整数，请你猜想 ； (2)求和：． (3)求 17．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 题型五：图形类规律探索之数字问题 18．如图，按以下规律，在第个三角形中间填入的数是（    ） A． B． C． D． 19.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 20.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 21.探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 题型六：图形类规律探索之数量问题 22．一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 23．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 24．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 25．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… 26．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式中的数字和图形规律探究的六种模型 目录 题型一：数字类规律探索之排列问题 1 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 2 题型三：数字类规律探索之新运算问题 4 题型四：数字类规律探索之等式问题 6 题型五：图形类规律探索之数字问题 11 题型六：图形类规律探索之数量问题 13 题型一：数字类规律探索之排列问题 1．以下是一组按规律排列的数：，4，，16，，…．第2025个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了学生观察分析发现规律的能力，难度适中. 观察数列的规律，发现每个数的绝对值都是的次方，由此得出通项公式为，代入即可求解。 【详解】观察数列发现：数列的通项公式为， 代入计算：当时，. 故选：A. 2．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式的规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键．观察多项式中的系数和指数变化规律，分别确定a的系数、指数和b的系数、指数与项数n的关系即可解答． 【详解】解：一组按规律排列的多项式：，，，，，； 的系数依次为2，3，4，5，6，，次数都为1； 依此类推，第n项的系数为，次数为1，即对应项为； 的系数都为1，次数依次为3，4，5，6，7，； 依此类推，第n项的系数为，次数为，即对应项为； ∴第n个式子是． 故选：B． 3.一组数：，，，，，，…，根据这个规律，第n个数是 （n为正整数）．（用含n的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】 根据题目中的数据，可以发现奇数个数都是负数、偶数个数都是正数、整数部分的绝对值是按照1，2，3，4，…，在变化，分数部分的分子是一些连续的奇数，分母部分是对应的个数的平方加1，然后即可写出第n个数． 【详解】 解：∵一组数：，，，，，，…， ∴这列数可以表示为：，，，，…， ∴这组数的第n个数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，表示出第n个数． 题型二：数字类规律探索之末尾数字问题 6．观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 7.已知，，，，，，，推测的个位数字是 ． 【答案】9 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意，对于3的正整数幂，个位数字只出现3、9、7、1这四个数，且按这一顺序每四个一循环，据此可求． 【详解】解：，，，，，，， 个位数3、9、7、1按这一顺序每四个一循环， ， 的个位数是：9． 故答案为：9． 8.已知 ，，， 根据前面各式的规律，可得： （1） ( )； （2）的值的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，掌握整式的混合运算，找出数字计算的规律是解题的关键． （1）根据材料提示的运算法则即可求解； （2）由材料提示找到运算规律可得，再计算幂的结果的个位数，由此即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示得，， 故答案为：； （2） ， ∵，，，，，，……即个位数字4次以循环，在， ∴的个位数为， ∴， 故答案为：． 题型三：数字类规律探索之新运算问题 9.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 10.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 11．（新定义）若记，其中表示当时的值，即，表示当时的值，即，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义理解，规律探索，有理数的加法运算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 根据题意得出从2开始，若两数互为倒数，对应的两个的和为1，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 以此类推，从2开始，若两数互为倒数，对应的两个的和为1， 故． ， 故答案为：． 12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 由，可得，，，……，可推导一般性规律为：每3个循环一次，由，可得，求解即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴，，，…… ∴可推导一般性规律为：每3个循环一次， ∵， ∴， 故答案为：3． 题型四：数字类规律探索之等式问题 13.已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】239 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，根据前面几个式子的特点，得到规律，即可确定a与b的值，从而求解． 【详解】解：，，，， 观察得规律：， 则， 所以； 故答案为：239． 14．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 15.观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 16．观察下面的变形规律： ，； 解答下面的问题： (1)若n为正整数，请你猜想 ； (2)求和：． (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，然后计算即可； （2）根据（1）中规律拆项计算解答； （3）根据题目中的式子，可以将所求式子拆项，根据（1）中规律即可得出结果． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 17．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)___________． (2)根据以上观察，聪明的你发现___________． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． （1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 题型五：图形类规律探索之数字问题 18．如图，按以下规律，在第个三角形中间填入的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据前个三角形中间的数依次减，即可求出第个三角形中间的数． 【详解】解：，， 第个三角形中间填入的数是． 故选：D． 19.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 20.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按如下表方式设置，则第五排、第六排分别有 个座位；第n排有 个座位． 排数 1 2 3 4 … 座位数 50 53 56 59 … 【答案】 62，65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，列代数式．有理数加减的应用等知识． （1）由后一排比前一排多3个座位，进而可求出第5排和第6排的座位数． （2）由后一排比前一排多3个座位，从而可得出规律，从而可得答案． 【详解】解：（1）由表格数据可知：后边一排都比前边一排多3个座位， 所以第5排的座位为：（个）；6排有（个） （2）第一排有50， 第二排有， 第三排有， 第三排有， … ∴第n排有：， 故答案为：62，65，． 21.探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 题型六：图形类规律探索之数量问题 22．一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】(1)，，． (2)共可坐人． 【分析】本题考查整式的图形规律．本题关键在于通过观察桌子拼接时可坐人数的变化，归纳出通用规律张桌子可坐人，再利用该规律解决实际问题（计算多张桌子拼接后的总人数）．解题时需注意从特殊到一般的归纳方法，以及规律在实际场景中的应用． （1）通过观察1张、2张、3张桌子拼接时可坐人数的变化，找出数量规律，进而推导出张桌子拼接时可坐人数的表达式； （2）先利用（1）中得到的规律计算每5张桌子拼成的大桌子可坐人数，再乘以大桌子的数量（8张）得到总人数． 【详解】（1）解：观察图形或分析拼接规律： 1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可坐人数增加2人； 因此2张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 3张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 归纳得出，张桌子拼在一起可坐人数为人． 故答案为：，，． （2）根据（1）中得到的规律，当时，可坐人数为人， 已知40张桌子可拼成8张大桌子，每张大桌子可坐14人， 因此总人数为人． 答：共可坐人． 23．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，… 根据以上图中的规律完成下列问题： (1)图5中小黑点的个数记为，则__________； (2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）； (3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？ 【答案】(1)=26 (2)= (3) 【分析】（1）由已知图形得出可得； （2）由题意得，整理即可得； （3）利用（2）中所得结果列出方程，解之可得答案． 本题考查了图形的变化类问题，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现，解题的关键是能够找到图形变化的通项公式，难度不大． 【详解】（1）解∶将黑点从左向右分列观察计算， ， ， ， …… ∴； （2）由（1）可知 ； （3）由题意得， 则 ， 解得：． 24．下列图案是某大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，求： (1)第1个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第2个图中所贴剪纸“”的个数为 个；第3个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (2)第n个图中所贴剪纸“”的个数为 个； (3)如果所贴剪纸“”的个数为2024个时，那么它是第几个图？ 【答案】(1)，， (2) (3)第674个图 【分析】本题考查的知识点是规律型-图形的变化类，解题的关键是找出图形变化的部分是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分变化的规律后直接利用规律求解． （1）第1个图中所贴剪纸“”的个数为；第2个图中所贴剪纸“”的个数为；第3个图中所贴剪纸“”的个数为； （2）根据（1）中的规律可得出第个图中所贴剪纸“”的个数为； （3）利用（2）中得出的规律代入求解即可． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“”的个数为； 第2个图中所贴剪纸“”的个数为； 第3个图中所贴剪纸“”的个数为； 故答案为： ，，； （2）由（1）得：第个图案所贴剪纸“”数为个； （3）令，则   ，因此是第个 25．火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．下面是小明同学利用火柴按照一定的规律拼摆的一组图形： (1)填写下面的表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 ... 三角形的个数 1 2 3 ... 正方形的个数 3 5 ... 火柴棒总根数 12 20 ... (2)按此规律拼摆的第个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总很数是_____；（用含n的代数式表示） (3)按这种方法拼摆出的第100个图中，三角形有_____个，正方形有_____个，所用的火柴棒总根数是_____． 【答案】(1)见解析 (2)n；； (3)100；201；804 【分析】主要考查了图形类规律探索．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点． （1）根据题意，数出图中的三角形、正方形、火柴棒数量即可； （2）由（1）可知，找出数量的变化规律，即可得到答案； （3）把代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：如下表格： 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 …… 拼成三角形个数 1 2 3 4 5 …… 拼成的正方形个数 3 5 7 9 11 …… 所用火柴棒总根数 12 20 28 36 44 …… （2）解：第n个图中，三角形有n个，正方形：个，所有火柴棒有根； （3）解：当时，， ； 所以，按这种拼图方法拼出的第100个图形三角形有100个，正方形201个，共需要火柴棒804根． 26．将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$