14.3 角的平分线 【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业-2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

14.3 角的平分线 知识点1 角平分线的作法 1．（2023秋•句容市期中）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，按下列步骤作图： 第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE； 第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F； 第三步：作射线AF交BC于点M； 第四步：过点M作MN⊥AB于点N． 下列结论成立的是（　　） A．MA＝MB B．CM＝4 C．BN＝3 D．S△AMB＝15 【分析】由题意得出AM是∠CAB的角平分线，AB＝10，根据角平分线的性质可得△CAM≌△NAM，从而得到AN＝AC＝6，根据线段的和差求出BN，设MN＝CM＝x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8， ∴由勾股定理得：AB＝10，∠C＝90°， 由题意得：AM是∠CAB的角平分线， ∴CM＝CN， 又∵AM＝AM， ∴△CAM≌△NAM（HL）， ∴AN＝AC＝6， ∴BN＝AB﹣AN＝10﹣6＝4，故C选项错误； 设MN＝CM＝x，则BM＝8﹣x， 在直角三角形BNM中，由勾股定理得：BM2＝BN2+MN2， 即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3， ∴BM＝8﹣x＝8﹣3＝5，MN＝CM＝3，故B选项错误； ∵， ∴MA≠MB，故A选项错误； ∵，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作图方法． 2．分别画出已知钝角和平角的平分线． 【分析】根据角平分线的作图方法分别作图即可． 【详解】解：分别如图所示． 【点睛】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键． 知识点2 角平分线的性质 3．（2024秋•长乐区期中）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q在OB边上，则下列选项正确的是（　　） A．0＜PQ＜6 B．PQ≥6 C．0＜PO≤6 D．PQ＞6 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6， ∴点P到OB的距离为6， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥6． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 4．（2023春•叶县期中）如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥BE． （1）求证：AC＝DE+BD； （2）若AB＝6cm，则△DBE的周长为　6cm　 ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE＝DC，等量代换即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AE＝AC，根据等腰直角三角形的性质得到BE＝DE，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵∠C＝90°， ∴AC⊥DC， 又DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DE＝DC， 又∵BC＝DC+BD，AC＝BC， ∴AC＝DE+BD； （2）解：∵BC＝AC＝DE+BD， 在Rt△ACD与Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AE＝AC， ∵DE⊥AB，∠B＝45°， ∴BE＝DE， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝6cm． 故答案为：6cm． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2021秋•古冶区期中）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．17 B．34 C．38 D．68 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×34 ＝68， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 6．（2022春•来宾期末）在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是 　2或﹣2　 ． 【分析】由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，即可得a的值． 【详解】解：由题意可得，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的角平分线上， ∴点P到x轴和y轴的距离相等， 即|a|＝2， 解得a＝±2， ∴点P在第一或第二象限， ∴a的值为2或﹣2． 故答案为：2或﹣2． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键． 7．（2022秋•伊州区校级期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD＝OE＝OF，然后利用三角形面积的计算公式表示出S△ABO、S△BCO、S△CAO，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F． ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC于，OF⊥AB ∴OD＝OE＝OF， ∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为20、30、40， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝（AB×OF）：（BC×OD）：（AC×OE） ＝BA：CB：CA ＝2：3：4． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 8．（2023•东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 　12　 ． 【分析】如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．利用角平分线的性质定理证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N． 由作图可知CG平分∠ACB， ∵GM⊥AC，GN⊥BC， ∴GM＝GN， ∵S△BCG•BC•GN＝8，BC＝6， ∴GN， ∴GN＝GM， ∴S△AGC•AC•GM912， 故答案为：12． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型． 知识点3 角平分线的判定 9．（2023秋•湖北期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【分析】过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，可证到DM＝DG，得到AD平分∠CAM，再利用三角形外角性质即可求解． 【详解】解：过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，垂足分别是点M、N、G， ∵BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥BC， ∴DM＝DN， 同理可得，DN＝DG， ∴DM＝DG， ∵DM⊥BA，DG⊥AC， ∴AD平分∠CAM， ∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠CAM＝50°+60°＝110°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10．（2021秋•新城区校级月考）如图所示，平面内三条直线a、b、c两两相交，在平面内找出一点P，使得点P到三条直线的距离相等，那么符合条件的点P有 　4　 处． 【分析】根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：∵点P到三条直线的距离相等， ∴点P是三条直线a、b、c所形成的角的角平分线的交点，如图所示，图中点P、点P′、点P′′、点P′′′即为所求， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【易错警示】 易错点： 忽视点的位置有两种情况而导致少解 11．（2021秋•齐河县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 　3或7　 ． 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证Rt△PMN≌Rt△PDE，可求OD的长． 【详解】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E， ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB， ∴PE＝PN， ∵PE＝PN，OP＝OP， ∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL）， ∴OE＝ON＝5， ∵OM＝3，ON＝5， ∴MN＝2， 若点D在线段OE上， ∵PM＝PD，PE＝PN， ∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）， ∴DE＝MN＝2， ∴OD＝OE﹣DE＝3， 若点D在射线EA上， ∵PM＝PD，PE＝PN， ∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）， ∴DE＝MN＝2， ∴OD＝OE+DE＝7． 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键． 12．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4即可． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥BC于E， 由条件可知：PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4， 即点P到BC的距离是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 13．（2023秋•兰陵县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝4即可得出结论． 【详解】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵∠ADB＝∠C， ∴∠ABD＝∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP＝AD， ∵AD＝4， ∴DP的最小值是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键． 14．（2023秋•门头沟区期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论： ①∠MCD＞∠MAB； ②射线BM是∠EBC的角平分线； ③BM＝CM； ④∠BMC＝90°∠BAC． 其中所有正确结论的序号是 　①②④　 ． 【分析】根据角平分线的定义和性质，三角形的边角不等关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵∠MCD是△ACM的外角， ∴∠MCD＞∠MAC， ∵AM平分∠BAC， ∴∠MAB＝∠MAC， ∴∠MCD＞∠MAB， 因此①正确； 如图，过点M分别作MN⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC，垂足分别为N、P、Q， ∵AM平分∠BAC，CM平分∠BCD， ∴MN＝MQ，MP＝MQ， ∴MN＝MP， ∴BM平分∠CBE， 因此②正确； ∵AB＜AC， ∴∠ACB＜∠ABC， ∴∠MBC＜∠MCB， ∴MB＞MC， 因此③不正确； 由上述证明可知，点M是△ABC的内角∠BAC，外角∠BCD，外角∠CBE的平分线的交点， ∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠MCB ＝180°（∠BCD+∠CBE） ＝180°（∠BAC+∠BCA+∠CBA+∠BAC） ＝180°（180°+∠BAC） ＝90°∠BAC， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的定义和性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 15．（2023春•垦利区期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为 　4　 ． 【分析】设BD交AC于点E，可得△ABE为等腰三角形，可根据三线合一证明AD为△ABE的中线，即可解答． 【详解】解：如图， 设BD的延长线交AC于点E， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵BD垂直AD于D， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣∠EAD＝∠AED， ∴△ABE为等腰三角形， ∴AD是△ABE的中线， ∴S△ABD＝S△AED，S△CDB＝S△CED， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，证明△ABE为等腰三角形是解题的关键． 16．（2024春•宁阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDES△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，如图： ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 17．（2022秋•如东县期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于M，若AC＝2，BC，则CM的长为 　　 ． 【分析】作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN＝CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN＝BM，即可解题． 【详解】解：作DN⊥AC于N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE ∴DN＝DM 在Rt△DCN和Rt△DCM中， ， ∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）， ∴CN＝CM， 在Rt△ADN和Rt△BDM中， ， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN＝BM， ∵AN＝AC﹣CN，BM＝BC+CM， ∴AC﹣CN＝BC+CM ∴AC﹣CM＝BC+CM ∴2CM＝AC﹣BC， ∵AC＝2，BC， ∴CM． 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN＝CM，AN＝BM是解题的关键． 18．（2024春•蒲城县期末）如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请用尺规作图法作出M点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】由已知条件，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知建在∠AOB的平分线与AB的交点上． 【详解】解：作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置． 【点睛】本题主要考查了作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是关键． 19．（2023秋•京山市期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，若AB＝8，BC＝10，求S△ABD：S△CBD的值； （2）如图2，点P为BD延长线上的一点，PG⊥AC于点G，当∠A＝∠C+40°时，求∠P的度数； （3）如图3，CM平分∠ACB的外角交BD的延长线于点M，连AM，点N是BC延长线上的一点且MA＝MN，请探究∠MNB与∠BMC之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得DE＝DF，根据三角形的面积公式即可求解； （2）设∠C＝x，得∠A＝x+40°，∠ABC＝140°﹣2x，∠ABD＝∠CBD＝70°﹣x，据此知∠PDG＝∠C+∠CBD＝70°，结合PG⊥AC可得答案； （3）过点M作MG⊥BN于点G，MQ⊥AC于点Q，ME⊥BA，交BA延长线于点E，证Rt△MAE≌Rt△MNG得∠MNG＝∠MAE，由平行线的判定得AM平分∠EAC，根据三角形外角的性质得∠MCN﹣∠MBC＝∠BMC，则2∠MCN﹣2∠MBC＝2∠BMC，即∠ACN﹣∠ABC＝2∠BMC，根据三角形外角的性质及平角的定义得∠MAE＝∠MAC＝∠MNB∠EAC（180°﹣∠BAC）（180°﹣2∠BMC）＝90°﹣∠BMC，即可得出结论． 【详解】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，如图1， ∵BD平分∠ABC交AC于点D． ∴DE＝DF， ∴S△ABDAB•DE，S△CBDBC•DF， ∵AB＝8，BC＝10， ∴S△ABD：S△CBD＝AB：BC＝8：10＝4：5； （2）设∠C＝x， ∵∠A＝∠C+40° ∴∠A＝x+40°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠A+∠C）＝140°﹣2x， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝70°﹣x， ∴∠PDG＝∠C+∠CBD＝x+70°﹣x＝70°， ∵P为BD延长线上的一点，PG⊥AC， ∴∠PGD＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠PDG＝20°； （3）∠MNB＝90°﹣∠BMC．理由如下： 如图3，过点M作MG⊥BN于点G，MQ⊥AC于点Q，ME⊥BA，交BA延长线于点E， ∵CM平分∠ACB的外角交BD的延长线于点M， ∴CM平分∠ACN， 又∵BM平分∠ABC， ∴ME＝MG＝MQ， 又∵MA＝MN， ∴Rt△MAE≌Rt△MNG（HL）， ∴∠MNG＝∠MAE， ∵ME＝MQ，MQ⊥AC，ME⊥BA， ∴AM平分∠EAC， ∵∠MCN﹣∠MBC＝∠BMC， ∴2∠MCN﹣2∠MBC＝2∠BMC，即∠ACN﹣∠ABC＝2∠BMC， ∴∠BAC＝∠ACN﹣∠ABC＝2∠BMC， 则∠MAE＝∠MAC＝∠MNB∠EAC（180°﹣∠BAC）（180°﹣2∠BMC）＝90°﹣∠BMC， ∴∠MNB＝90°﹣∠BMC． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形外角的性质． 20．（2024秋•蔡甸区校级月考）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，直接写出∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，直接写出S△AOB． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠BAO＝25°，∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70， ∴∠ABC＝60°，∠BAO＝25°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝30°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）连接OC，如图1， ∵AE、BF是角平分线， ∴OC是∠ACB的角平分线， ∴∠OCF＝∠OCE， 过O作ON⊥AC，OM⊥BC， 则OM＝ON， 在Rt△OEM与Rt△OFN中， ， ∴Rt△OEM≌Rt△OFN（HL）， ∴∠EOM＝∠FON， ∴∠MON＝∠EOF＝180﹣∠ACB， ∵AE、BF是角平分线， ∴，， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴180°﹣∠ACB＝∠BAC+∠ABC， ∴， 即， ∴∠ACB＝60°； （3）如图2，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OH⊥AC于H，OG⊥BC于G， ∵AE、BF是角平分线， ∴OD＝OH＝OG， ∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10， ∴， ∴OD＝2， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．（2022秋•九台区期末）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　9　 ． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案． 【详解】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝3+6＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3 角的平分线 知识点1 角平分线的作法 1．（2023秋•句容市期中）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，按下列步骤作图： 第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD＝AE； 第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于DE的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F； 第三步：作射线AF交BC于点M； 第四步：过点M作MN⊥AB于点N． 下列结论成立的是（　　） A．MA＝MB B．CM＝4 C．BN＝3 D．S△AMB＝15 2．分别画出已知钝角和平角的平分线． 知识点2 角平分线的性质 3．（2024秋•长乐区期中）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q在OB边上，则下列选项正确的是（　　） A．0＜PQ＜6 B．PQ≥6 C．0＜PO≤6 D．PQ＞6 4．（2023春•叶县期中）如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥BE． （1）求证：AC＝DE+BD； （2）若AB＝6cm，则△DBE的周长为　 　 ． 5．（2021秋•古冶区期中）如图，已知△ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．17 B．34 C．38 D．68 6．（2022春•来宾期末）在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是 　 　 ． 7．（2022秋•伊州区校级期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 8．（2023•东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 　 　 ． 知识点3 角平分线的判定 9．（2023秋•湖北期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 10．（2021秋•新城区校级月考）如图所示，平面内三条直线a、b、c两两相交，在平面内找出一点P，使得点P到三条直线的距离相等，那么符合条件的点P有 　 处． 【易错警示】 易错点： 忽视点的位置有两种情况而导致少解 11．（2021秋•齐河县期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 　 　 ． 12．（2024秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 13．（2023秋•兰陵县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 14．（2023秋•门头沟区期末）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠BAC的平分线与外角∠BCD的平分线相交于点M，作AB的延长线得到射线AE，再作射线BM．下面有四个结论： ①∠MCD＞∠MAB； ②射线BM是∠EBC的角平分线； ③BM＝CM； ④∠BMC＝90°∠BAC． 其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 15．（2023春•垦利区期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为 　 　 ． 16．（2024春•宁阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDES△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2022秋•如东县期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于M，若AC＝2，BC，则CM的长为 　 ． 18．（2024春•蒲城县期末）如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请用尺规作图法作出M点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 19．（2023秋•京山市期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，若AB＝8，BC＝10，求S△ABD：S△CBD的值； （2）如图2，点P为BD延长线上的一点，PG⊥AC于点G，当∠A＝∠C+40°时，求∠P的度数； （3）如图3，CM平分∠ACB的外角交BD的延长线于点M，连AM，点N是BC延长线上的一点且MA＝MN，请探究∠MNB与∠BMC之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明． 20．（2024秋•蔡甸区校级月考）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，直接写出∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，直接写出S△AOB． 21．（2022秋•九台区期末）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 ； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$