15.3 等腰三角形 同步练习课后作业 -2025-2026学年八年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】（人教版）

15.3 等腰三角形 知识点1 等腰三角形“等边对等角”性质的应用 1．（2023秋•甘井子区期中）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可． 【详解】解：①当80°的角是顶角时，则两个底角为50°、50°； ②当80°的角是底角时，则顶角为20°． 故它的其余两个角的度数为50°、50°或80°、20°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况进行讨论，不要漏解而致错． 2．（2023•玉州区一模）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（　　） A．70° B．110° C．140° D．150° 【分析】在四边形ADCO中，求出∠AOC即可解决问题，根据圆心角与圆周角的关系可以求出∠AOC． 【详解】解：如图，∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70° ∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣2（∠ABO+∠OBC）＝220° ∴∠AOC＝360°﹣220°＝140°， ∵∠OAD+∠ADC+∠OCD+∠AOC＝360°， ∴∠DAO+∠DCO＝150°． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和为360°，求出∠AOC是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（2023秋•大埔县期末）如图，l1∥l2，点B在直线l1上，点A在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵AB＝BC，∠C＝25°， ∴∠C＝∠BAC＝25°， ∵l1∥l2，∠1＝60°， ∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°， ∵∠BEA＝∠C+∠2， ∴∠2＝95°﹣25°＝70°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补． 4．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出方程解答即可． 【详解】解：设∠A＝x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵AE＝ED， ∴∠A＝∠ADE＝x， ∵ED＝DB， ∴∠EBD＝∠BED＝2x， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∵∠A+∠EBD＝∠BDC， ∴， 解得：x， 即∠A． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等边对等角解答． 知识点2 等腰三角形“三线合一”性质的应用 5．（2024秋•海安县校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论中：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【分析】由题意知，△ABC是等腰三角形，由三线合一的性质知，高AD也是顶角的平分线，也是底边BC的中线，则①③正确；再由角平分线的性质得出②正确；由AD是BC的中垂线，根据线段中垂线的性质得出④正确，故可得到4个说法均正确． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵AD⊥BC于D， ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，故①③正确； ∵∠BAD＝∠CAD， ∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②正确； ∵AD是BC的中垂线， ∴若点P在直线AD上，则PB＝PC，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，角平分线的性质及线段中垂线的性质，比较简单． 等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 线段中垂线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．（2023秋•金平区期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（　　） A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．8cm2 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AP＝PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线， ∴AP＝PD， ∴S△BPDS△ABD，S△CPDS△ACD， ∴S△BPC＝S△BPD+S△CPDS△ABDS△ACDS△ABC， ∵△ABC的面积为4cm2， ∴S△BPC4＝2cm2． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键． 【易错警示】 易错点： 未分类讨论导致漏解。 7．（2021秋•义乌市期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是（　　） A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 【分析】由于△BCD中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：当BC＝CD时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠BDC＝40°， 当BD＝BC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝70°． 当DB＝DC时，如图所示， ∵∠A＝20°，AB＝AC， ∴∠ABC＝80°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CBD＝40°， ∵BD＝CD， ∴∠BDC＝100°， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 知识点3 等腰三角形的判定 8．（2023•河北一模）如图所标数据，下面说法正确的是（　　） A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形 C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形 【分析】由等腰三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：图①，三角形的第三边的长不确定，故①不一定是等腰三角形； 图②，三角形的第三个角是180°﹣50°﹣80°＝50°，三角形有两个角都是50°，故②是等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法． 9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC，EF交AC于D，若DE＝5，则DF＝　5　 ． 【分析】利用平行线及角平分线的性质先求得CD＝ED，CD＝DF，然后等量代换即可证明DE＝DF，进而解答即可． 【详解】解：∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE． ∵CF为外角∠ACG的平分线， ∴∠ACF＝∠GCF． ∵EF∥BC， ∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF． ∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF． ∴CD＝ED，CD＝DF（等角对等边）． ∴DE＝DF＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB交BE于D，图中等腰三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴△ABC是等腰三角形． ∴∠C＝∠ABC＝72°． ∵BD平分∠ABC交AC于E， ∴∠ABE＝∠EBC＝36°， ∵∠A＝∠ABE＝36°， ∴△ABE是等腰三角形． ∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C， ∴△BEC是等腰三角形． ∵∠DBC＝∠DCB＝36°， ∴△BCD是等腰三角形， ∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC， ∴△CDE是等腰三角形， ∴共有5个等腰三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键． 11．（2023•大冶市校级一模）如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想△DOP是 　等腰　 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 【分析】猜想△DOP是等腰三角形，根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． 【详解】（1）解：△DOP是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP＝∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO＝∠BOP， ∴∠DOP＝∠DPO， ∴OD＝PD， ∴△DOP是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 知识点 4 等腰三角形性质和判定的综合运用 12．（2024秋•昌黎县期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/小时的速度向正北方向航行，2h后到达灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 【分析】先求出∠M＝70°，∠N＝40°，再求出∠NPM的度数，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由平行可得，∠M＝70°，∠N＝40°， 则∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝70°， ∴NP＝NM， ∵NM＝40×2＝80（海里）， ∴NP＝80（海里）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、方向角，熟练掌握等腰三角形的性质 是解题的关键． 13．（2022秋•费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵点E为边AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD＝5， ∴CD＝AD＝5， ∴BD＝BC﹣CD＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（2020•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED． （1）写出图中所有的等腰三角形； （2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两底角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，即可找出图中所有的等腰三角形； （2）根据邻补角的性质可求得∠BED＝66°，在△BED中可求得∠ABD＝180°﹣2∠BED＝48°，设∠ACB＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°，求得∠A＝180°﹣2x°，又根据三角形外角的性质得出∠BDC＝∠A+∠ABD，则x＝180﹣2x+48，求得∠ACB＝76°． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵BE＝BD＝BC， ∴△BCD，△BED是等腰三角形； ∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED； （2）解：∵∠AED＝114°， ∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°． ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝66°． ∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°． 解法一：设∠ACB＝x°， ∴∠ABC＝∠ACB＝x°． ∴∠A＝180°﹣2x°． ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠ACB＝x°． 又∵∠BDC为△ABD的外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD． ∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76． ∴∠ACB＝76°．（10分） 解法二：设∠ACB＝x°， ∴∠ABC＝∠ACB＝x°． ∴∠DBC＝x°﹣48°． ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠ACB＝x°． 又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴x﹣48+x+x＝180，解得：x＝76． ∴∠ACB＝76°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难度一般． 15．（2023秋•新北区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（　　） A．10° B．120° C．10°或100° D．60°或120° 【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点D即为所求； 在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°， 由作图可知：AC＝AD， ∴， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°； 由作图可知：AC＝AD'， ∴∠ACD'＝∠AD'C， ∵∠ACD'+∠AD'C＝∠BAC＝80°， ∴∠AD'C＝40°， ∴∠BCD'＝180°﹣∠ABC﹣∠AD'C＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 综上所述：∠BCD的度数是10°或100°． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 16．（2022秋•东城区校级期中）已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可． 【详解】解：∵ac＝12﹣bc， ∴（a+b）c＝12， ∴12＝1×12＝2×6＝3×4，a+b＞c， ∴或或， ①当时，等腰△ABC三边长分别为：1，6，6或1，1，11（舍去）， ②当时，等腰△ABC三边长分别为：2，3，3或2，2，4（舍去）， ③当时，等腰△ABC三边长分别为：3，2，2或3，3，1， 当等腰△ABC三边长分别为：3，3，1时，存在两种情况， Ⅰ．当a＝c＝3，b＝1， Ⅱ．当b＝c＝3，a＝1， ∴存在的等腰三角形共5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论． 17．（2022秋•宛城区期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　9　 ． 【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，根据垂直定义可得∠AEB＝∠DFC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBF+∠BDF＝90°，再利用平角定义可得∠ABE+∠DBF＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠BDF，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BEBC＝3，再证明一线三等角全等模型△AEB≌△BFD，从而可得BE＝DF＝3，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠DBF+∠BDF＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABE+∠DBF＝90°， ∴∠ABE＝∠BDF， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BEBC＝3， ∵AB＝BD， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴BE＝DF＝3， ∴△BCD的面积BC•DF6×3＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2023秋•娄底期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，⋯，按此方法继续下去，第n个等腰三角形的底角度数是 　（）n﹣1×80°　 ． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角度数． 【详解】解：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB， ∴∠BA1C80°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1∠BA1C80°； 同理可得， ∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°， ∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×80°． 故答案为：（）n﹣1×80°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 19．（2023春•昭通期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】延长AD交BC于点E，如图，证明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，进而可得答案． 【详解】解：延长AD交BC于点E，如图， ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2， ∴AE＝4， ∵∠CAD＝∠C， ∴EC＝EA＝4， ∴BC＝BE+EC＝9； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，正确添加辅助线、证明△ABD≌△EBD是解题的关键． 20．（2023春•明山区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）、B（0，3）．点D在x轴上，若在线段AB（包括两个端点）上找点P，使得点A、D、P构成等腰三角形的点P恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点D的坐标不可能是（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（5，0） D．（9，0） 【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5，然后利用等腰三角形的判定对各选项进行判断． 【详解】解：∵A（4，0）、B（0，3）， ∴AB＝5， 当点D坐标为（﹣3，0）时，只能作以PD、PA为腰的等腰三角形， 当点D坐标为（﹣1，0）时，可以作以PD、PA为腰的等腰三角形也可以作AP、AD为腰的等腰三角形， 当点D坐标为（5，0）时，只能作以AD、PA为腰的等腰三角形， 当点D坐标为（9，0）时，只能作以AD、PA为腰的等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的判定，利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的情况是解决问题的关键． 21．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证． 【详解】解：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° ∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM＝5， ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE＝6， ∵∠4是△BCM的外角， ∴∠4＝∠5+∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5， ∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C， ∴∠5＝∠C， ∴CM＝BM＝6， ∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11． 故选：B． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键． 22．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 　　 ． 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH， ∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为3×3． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 23．（2022春•郓城县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点． （1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF； （2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出BE＝CE，根据角的和差推出∠ACE＝∠EFC，根据等腰三角形的判定等量代换即可得解； （2）结合（1）推出△ABF和△CEF都是等腰直角三角形，利用SAS证明△CBF≌△EAF，根据全等三角形的性质及等腰三角形性质即可得解． 【详解】（1）证明：连接CE， ∵AB＝AC，D是BC边的中点， ∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ACB﹣∠ECB， 即∠ABE＝∠ACE， ∵∠ABE＝∠EFC， ∴∠ACE＝∠EFC， ∴EF＝CE， ∴BE＝EF； （2）解：AE＝2BD，理由如下： 连接CE， 由（1）得，∠ABE＝∠ACE， ∵∠ABE＝∠BAC＝45°， ∴△ABF和△CEF都是等腰直角三角形， ∴AF＝BF，CF＝EF， 在△CBF和△EAF中， ， ∴△CBF≌△EAF（SAS）， ∴BC＝AE， ∵BC＝2BD， ∴AE＝2BD． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形的性质证明△CBF≌△EAF是解题的关键． 24．（2023春•渠县期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE． （1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°； （2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°，于是得到结论； （3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝75°， ∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°； （2）设∠BAD＝x， ∴∠CAD＝90°﹣x， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝45°， ∴∠CDEx， ∴∠BAD＝2∠CDE； （3）设∠CDE＝x，∠C＝y， ∵AB＝AC，∠C＝y， ∴∠B＝∠C＝y， ∵∠CDE＝x， ∴∠AED＝y+x， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝y+x， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴y+∠BAD＝y+x+x， ∴∠BAD＝2∠CDE． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 25．（1）如图（1），线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　4　 个． （2）如图（2），△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，把该三角形分割出一个小等腰三角形，这样的直线最多可以画 　5　 条． （3）如图（3），在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个小等腰三角形，试求∠B的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，于是得到结论； （3）如图3，当AD＝CD，①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）如图2中，①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； （3）如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝10°， ∴∠CDB＝20°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠ACE＝∠AEC＝85°， ∴∠B＝∠BCE＝42.5°， 如图5， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠AEC＝∠A＝10°， ∴∠B＝5°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3 等腰三角形 知识点1 等腰三角形“等边对等角”性质的应用 1．（2023秋•甘井子区期中）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 2．（2023•玉州区一模）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（　　） A．70° B．110° C．140° D．150° 3．（2023秋•大埔县期末）如图，l1∥l2，点B在直线l1上，点A在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 4．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数． 知识点2 等腰三角形“三线合一”性质的应用 5．（2024秋•海安县校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论中：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 6．（2023秋•金平区期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4cm2，则△BPC的面积为（　　） A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．8cm2 【易错警示】 易错点： 未分类讨论导致漏解。 7．（2021秋•义乌市期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是（　　） A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 知识点3 等腰三角形的判定 8．（2023•河北一模）如图所标数据，下面说法正确的是（　　） A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形 C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形 9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC，EF交AC于D，若DE＝5，则DF＝　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB交BE于D，图中等腰三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（2023•大冶市校级一模）如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想△DOP是 　等腰　 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 知识点 4 等腰三角形性质和判定的综合运用 12．（2024秋•昌黎县期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/小时的速度向正北方向航行，2h后到达灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 13．（2022秋•费县期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（2020•宁德一模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED． （1）写出图中所有的等腰三角形； （2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数． 15．（2023秋•新北区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是（　　） A．10° B．120° C．10°或100° D．60°或120° 16．（2022秋•东城区校级期中）已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．（2022秋•宛城区期中）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　 ． 18．（2023秋•娄底期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，⋯，按此方法继续下去，第n个等腰三角形的底角度数是 　 ． 19．（2023春•昭通期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 20．（2023春•明山区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）、B（0，3）．点D在x轴上，若在线段AB（包括两个端点）上找点P，使得点A、D、P构成等腰三角形的点P恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点D的坐标不可能是（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣1，0） C．（5，0） D．（9，0） 21．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 22．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 　 ． 23．（2022春•郓城县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点． （1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF； （2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由． 24．（2023春•渠县期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE． （1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 25．（1）如图（1），线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 个． （2）如图（2），△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，把该三角形分割出一个小等腰三角形，这样的直线最多可以画 　 　 条． （3）如图（3），在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个小等腰三角形，试求∠B的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$