学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（北京版九上第18～19章）

1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 24分） 9._________________ 10.．___________________ 11.__________________ 12.__________________ 13.___________________ 14.___________________ 15.___________________ 16.___________________ 一、选择题（每小题 3分，共 24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 18. （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （6分） x   y   20. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （6分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（8分） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级第十八~十九章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 5．如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 6．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“<”，“>”或“=”） 11．如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 12．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 13．如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在、上，与的交点为M．则矩形的周长为 ．    14．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 15．在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 18．（5分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 19．（6分）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 20．（6分）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的坐标为．    (1)求出m值并确定反比例函数的表达式； (2)请直接写出当时，的取值范围． 22．（8分）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 23．（8分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 24．（8分）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 26．（10分）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级第十八~十九章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 5．如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 6．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A．B．C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“<”，“>”或“=”） 11．如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 12．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 13．如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在、上，与的交点为M．则矩形的周长为 ．    14．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 15．在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 18．（5分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 19．（6分）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 20．（6分）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的坐标为．    (1)求出m值并确定反比例函数的表达式； (2)请直接写出当时，的取值范围． 22．（8分）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 23．（8分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 24．（8分）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 26．（10分）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共24分） 9._________________ 10.．___________________ 11.__________________ 12.__________________ 13.___________________ 14.___________________ 15.___________________ 16.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 18. （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （6分） 20. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （6分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（8分） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北京版九年级第十八~十九章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故错误，不符合题意； B、，则，故错误，不符合题意； C、，则，故错误，不符合题意； D、，则，故正确，符合题意． 故选：D． 2．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查抛物线的平移：上加下减，左加右减，根据平移规律解题即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线是， 故选：B． 3．如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 4．若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的增减性列出不等式，解出的范围，即可判断． 【详解】解：反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小， ，即， 故四个选项中k的值只有数值3符合， 故选：B． 5．如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 6．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线与轴交点可知，，且抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由直线经过一、二、四象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； D．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项符合题意；． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 8．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图像上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（   ） A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握对称轴，最值，相应方程的根是解题关键． 根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ∴，①正确； ∵抛物线的顶线坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，成立，故③正确； ∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间， ∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间， 时，， ， ， ， ∴，②正确； ∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图像， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴交点的横坐标即为方程的两个实数根， ∵点在二次函数的图像， ∴为其中一个实数根， 根据函数图像对称性，对称轴， ∴另一个实数根是1， ∴关于x的不等式的解集是， ∴④正确， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查网格中的相似三角形，根据网格特点，证明，得到即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为： 10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“<”，“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象可得，求出，，即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵点，都在该图象上， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 12．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为， 由题意可得：,, 设抛物线的函数解析式为， 代入点,，得： ， 解得：， 故抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 13．如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个长是宽的2倍的矩形，使它的一边在上，顶点G、H分别在、上，与的交点为M．则矩形的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．先证明，利用相似三角形的性质可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵，设，则，， ∴＝，解得， ∴， ∴矩形的周长为． 故答案为：． 14．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 15．在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质和三角形相似的判定和性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，过点E作于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，过点D作于点H，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或或5． 故答案为：或或5． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． ①根据题中二次函数的图像判断开口方向，，以及抛物线与轴的交点，可判断的符号，进而可判断； ②由二次函数的图象知：当时，，；当时，，两式相加，化简可得 ③一元二次方程的判别式，结合的关系与符号，进而可判断； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理），则， ，结合的关系与符号，进而可判断． 【详解】通过读图： ①因为，所以抛物线开口向上， 对称轴，由于，即对称轴， 可得， 抛物线与轴交于负半轴，所以， 综上，，结论①错误； ②： 二次函数的图象与轴交于由图可知， 又， ， 由二次函数的图象可知： 当时，  ， 当时，， 两式相加，化简可得，结论②正确； ③一元二次方程的判别式， 因为，所以， 由，可得，所以，方程有两个不相等的实根， 结论③错误； ④设，且在对称轴右侧（在左侧同理）， 则， ， ， ， ， ， ， （在对称轴右侧）， ， 又， ， 即，结论④正确． 综上，正确结论的序号是：②④． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 18．（5分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： 0 1 2 3 0 0 求该抛物线表示的二次函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得， ， 解得， 则二次函数解析式为． 19．（6分）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质与图象，根据点的坐标画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）计算出根据表格数据，描点连线绘制的数图象即可； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：列表： 0 1 0 0 描点、连线、画函数图象如图： （2）当时，的取值范围当． 20．（6分）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得出，进而得出，由得出，得到，进而利用相似三角形的判定即可证明结论； （2）由（1）得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 21．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的坐标为．    (1)求出m值并确定反比例函数的表达式； (2)请直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，的取值范围是，当时， 【分析】（1）把B的坐标代入求得m的值，得出B，再代入即可求得k的值； （2）根据图象，数形结合即可求得． 【详解】（1）∵据题意，点B的坐标为且在一次函数的图象上， ∴代入，得． ∴． ∴B点坐标为， 把B代入，得， 即， ∴反比例函数表达式为； （2）结合图象可得：当时，的取值范围是，当时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质等知识，注重数形结合，是解答本题的关键． 22．（8分）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴． 23．（8分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 24．（8分）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ； （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴． 25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 26．（10分）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意画出图形即可； ②由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求，的长，分两种情况讨论，由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： ②，理由如下： 如图，延长，交于点， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：，点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， 如图2，当点在点上方时， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点． ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点下方时， 同理可证， ， ， ， ， 恒成立， 综上所述：当点在线段上时，恒成立， ， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B C D C D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．或或5 16．②④ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴；··········································2分 （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以．········································5分 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 18．（5分） 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．将相关各点坐标代入，求出未知系数，即可求得二次函数的解析式． 【详解】解：由图表可知，二次函数的图象经过， 代入得， ， 解得，········································3分 则二次函数解析式为．·······································5分 19．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质与图象，根据点的坐标画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）计算出根据表格数据，描点连线绘制的数图象即可； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：列表： 0 1 0 0 描点、连线、画函数图象如图： ········································3分 （2）当时，的取值范围当．········································6分 20．（6分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得出，进而得出，由得出，得到，进而利用相似三角形的判定即可证明结论； （2）由（1）得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ；········································3分 （2）解：由（1）知， ， ， ．········································6分 21．（6分） 【答案】(1)， (2)当时，的取值范围是，当时， 【分析】（1）把B的坐标代入求得m的值，得出B，再代入即可求得k的值； （2）根据图象，数形结合即可求得． 【详解】（1）∵据题意，点B的坐标为且在一次函数的图象上， ∴代入，得． ∴． ∴B点坐标为， 把B代入，得， 即， ∴反比例函数表达式为；········································3分 （2）结合图象可得：当时，的取值范围是，当时，．········································6分 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质等知识，注重数形结合，是解答本题的关键． 22．（8分） 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴；········································3分 （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴．········································8分 23．（8分） 【答案】(1)①；②；③能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为；········································1分 ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，；········································3分 ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐；········································5分 （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为．·····································8分 24．（8分） 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，；········································2分 （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ；········································5分 （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴．········································8分 25．（10分） 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得；········································3分 （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴；········································6分 ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且．········································10分 26．（10分） 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意画出图形即可； ②由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求，的长，分两种情况讨论，由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： ········································2分 ②，理由如下： 如图，延长，交于点， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ；········································6分 （2）解：，点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， 如图2，当点在点上方时， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点． ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点下方时， 同理可证， ， ， ， ， 恒成立， 综上所述：当点在线段上时，恒成立， ， 故答案为：．········································10分 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$