第一章 勾股定理 单元试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级上册 一、选择题 在 中，，， 的对边分别是 ，，，下列说法错误的是 A．如果 ，则 是直角三角形 B．如果 ，则 是直角三角形 C．如果 ，则 是直角三角形 D．如果 ，则 不是直角三角形 在 中，，周长为 ，斜边与一直角边之比为 ，则这个直角三角形的面积是 A． B． C． D． 如图是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从 角走到 角，至少走 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 如图，在单位正方形组成的网格图中标有 ，，， 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 A． ，， B． ，， C． ，， D． ，， 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 如图，是一扇高为 ，宽为 的门框，李师傅有 块薄木板，尺寸如下：①号木板长 ，宽 ，②号木板长 ，宽 ；③号木板长 ，宽 ．可以从这扇门通过的木板是 A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过 如图，在 中，，，， 是 边上的中线，则 的面积是 A． B． C． D． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为 ，则小正方形的面积为 A． B． C． D． 将一根 的筷子，置于底面直径为 ，高 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 如图， 中，，，，将 折叠，使点 与 的中点 重合，折痕为 ，则线段 的长为 A． B． C． D． 二、填空题 若一直角三角形两直角边长分别为 和 ，则斜边长为 ． 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是 ． 观察以下几组勾股数，并寻找规律：① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 如图，长为 的橡皮筋放置在水平木板上，固定橡皮筋两端 和 ，然后把中点 向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长为 ． 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 ． 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 ，当它把绳子的下端拉开 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 ． 三、解答题 有一只小鸟在一棵高 的小树最顶端抓虫子，它的伙伴在离该树 、高 的一棵大树的最顶端发出友好的叫声，它立刻以 的速度飞向大树的顶端，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树最顶端和伙伴在一起？ 甲、乙两船同时从港口 出发，甲船以 海里/时的速度向北偏东 航行，乙船向南偏东 航行． 小时后，甲船到达 岛，乙船到达 岛，若 ， 两船相距 海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ 如图，一块草坪的形状为四边形 ，其中 ，求这块草坪的面积． 如图， 中，，， 是 的中线，且 ． (1) 求 的长； (2) 求 的面积． 由于大风，山坡上的一棵树甲被从点 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部 处，已知 米， 米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为 米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】D 2. 【答案】B 【解析】设斜边是 ，直角边是 ， 根据勾股定理，得另一条直角边是 ． 周长为 ， ，解得：． 三边分别是 ，，． 三角形的面积公式 ． 3. 【答案】C 4. 【答案】B 【解析】设小正方形的边长为 ， 则 ，， ，． ， 能构成一个直角三角形三边的线段是 ，，． 5. 【答案】A 【解析】由题意可得：， 在 中， ， 米，， ， ， ， 米， 小巷的宽度为 （米）． 6. 【答案】C 【解析】因为 ，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于 米．所以选③号木板． 7. 【答案】A 【解析】 在 中，，， ． 是 边的中线， ． ． 8. 【答案】C 【解析】如图所示， ， ， 大正方形的面积为 ，， 小正方形的面积为 ． 9. 【答案】D 【解析】如图，当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ； 当筷子的底端在 点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在 中，，， ， 此时 ， 的取值范围是 ． 10. 【答案】A 【解析】设 ，由折叠的性质可得 ， 是 的中点， ， 在 中，， 解得 ． 即 ． 故选：A． 二、填空题（共6题） 11. 【答案】 【解析】在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和， 故斜边长 ． 12. 【答案】 13. 【答案】 ，， 【解析】 ① ，，， ② ，，， ③ ，，，， 第 组勾股数为：，，， 第⑤组勾股数为 ，，， 即 ，，． 14. 【答案】 【解析】 中，，， 根据勾股定理，得：， ． 15. 【答案】 【解析】作辅助线：连接 ， 因为 是直角三角形，所以 ， 因为 ， 所以 是直角三角形， 则要求的面积即是两个直角三角形的面积差， 即 ． 16. 【答案】 【解析】根据题意画出图形如图所示： 则 ， 设旗杆的高 为 ，则绳子 的长为 ， 在 中，，即 ， 解得：，故 ，即旗杆的高为 ． 三、解答题（共5题） 17. 【答案】如图，抽象出数学模型．过 作 于 ． 由题意可知：，． ． 在 中，． ． 答：这只小鸟至少 秒才可能到达大树顶端和伙伴在一起． 18. 【答案】 甲的速度是 海里/时，时间是 小时， 海里． ，， ． 海里， 海里， 乙船也用 小时， 乙船的速度是 海里/时． 19. 【答案】连接 . 在 中， 则 ． ，又 是直角三角形 草坪面积 . 这块草坪的面积为 平方厘米． 20. 【答案】 (1) 是 的中点，， ． ，， ， 是直角三角形，且 ， 也是直角三角形，且 是斜边， ， ． (2) ，， ， ． 答： 的面积是 ． 21. 【答案】如图所示：延长 ，过点 作 延长线于点 ， 由题意可得：，， 故 ， 即 ， 则 ， 故 ， 答：树原来的高度 米． 学科网（北京）股份有限公司 $$