湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期8月开学考试数学试题

高 三 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x2＜2x}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝ A．(－∞, 2) B．(－1, ＋∞) C．(0, 2) D．(－1, 2) 2．已知复数z满足zi＝2－3i，则z＝ A．－3＋2i B．－3－2i C．3＋2i D．3－2i 3．若椭圆C：＋＝1(m＞0)的焦距为2，则C的离心率为 A． B． C． D． 4．已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 A．若α∥β，mα，lβ，则m∥l B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，m∥α，则m∥β 5．已知a＞0，b＞0，且ab－4b＋1＝0，则＋9b的最小值是 A．4 B．6 C．8 D．9 6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝4，S15＝28，则S10＝ A．18 B．16 C．14 D．12 7．已知直线l：ax＋by＝r2，圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)，则“点P(a, b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x∈R，xf(x＋2)＝(x＋2)f(x)＋1恒成立，则 f(2025)＝ A．1 B． C．－1 D．－ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则 价格（千元） (0,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,25] 频数 150 600 180 50 20 A．估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B．估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C．估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D．估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过12 10．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为CA延长线上一点，∠DAB的平分线交直线CB于E，若a＝，b＝3，c＝2，则 A．sin A∶sin B∶sin C＝∶3∶2 B．A＝ C．△ABC的面积为 D．AE＝4 11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点P满足PF⊥AB，且直线BP与x轴平行，直线AP与x轴交于点M，则下列说法正确的是 A．·＝－ B．若|AF|＝2|BF|，则直线l的斜率为或－ C．若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列 D．点M到直线PF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数f(x)＝x3－ax2在x＝－2处有极值，则实数a＝ ▲ ． 13．已知向量a，b满足|a|＝2，cos ＜a, b＞＝，且|a＋b|＝，则|b|＝ ▲ ． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝m，nan－Sn＝，若对任意的n∈N*，等式＝λ恒成立，则m＋λ＝ ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数f(x)＝2sin ωx(cos ωx－sin ωx)＋(ω＞0)的最小正周期为． （1）求ω的值； （2）求f(x)的单调递增区间． 16．（本小题满分15分） 如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，PB＝BA＝AD＝3，BC＝5，点E在棱PA上． （1）若E为PA的中点，证明：BE⊥PD； （2）若两条异面直线CD，BE所成角的余弦值为，求的值． 17．（本小题满分15分） 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查，将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，经统计得下表： 男生 [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) 人数 4 5 27 21 3 女生 [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”。 （1）根据以上数据完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分17分） 已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)经过点(－2, )，动直线l与E恰有1个公共点，且与E的两条互相垂直的渐近线分别交于点M，N． （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，求证：△OMN的面积为定值； （3）过E的右焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，若AB的中点为P，CD的中点为Q，求证：直线PQ与y轴垂直． 19．（本小题满分17分） 已知函数f(x)＝ln ＋＋1． （1）若f(x)的图象在点(3, f(3))处的切线过原点，求实数a的值； （2）若f(x)在(2, 3)上是增函数，求实数a的取值范围； （3）求证：f(x)≤(x－2)2ex－2－－ln (x－2)． WH【高三开学考·数学 （第 1 页 共 1 页）】 学科网（北京）股份有限公司 $$WH【高三开学考·数学 （第 1 页 共 4 页）】 高 三 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150分，考试时间 120分钟。 2．答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各 题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 4．本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x2＜2x}，B＝{x|－1＜x＜2}，则 A∩B＝ A．(－∞, 2) B．(－1, ＋∞) C．(0, 2) D．(－1, 2) 2．已知复数 z满足 zi＝2－3i，则 z＝ A．－3＋2i B．－3－2i C．3＋2i D．3－2i 3．若椭圆 C： x 2 m2 ＋ y2 2 ＝1(m＞0)的焦距为 2 2，则 C的离心率为 A． 2 2 B． 3 2 C． 3 3 D． 6 3 4．已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 A．若α∥β，m α，l β，则 m∥l B．若 m⊥β，α⊥β，则 m∥α C．若 l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，m∥α，则 m∥β 5．已知 a＞0，b＞0，且 ab－4b＋1＝0，则1 a ＋9b的最小值是 A．4 B．6 C．8 D．9 6．已知正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S5＝4，S15＝28，则 S10＝ A．18 B．16 C．14 D．12 7．已知直线 l：ax＋by＝r2，圆 C：x2＋y2＝r2(r＞0)，则“点 P(a, b)在圆 C外”是“直线 l 与圆 C相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x∈R，xf(x＋2)＝(x＋2)f(x)＋1恒成立，则 f(2025)＝ A．1 B．1 2 C．－1 D．－1 2 WH【高三开学考·数学 （第 2 页 共 4 页）】 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下 表为根据调查得到的 2024年 1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用 该区间的中点值代表，则 价格（千元） (0,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,25] 频数 150 600 180 50 20 A．估计 1000名用户购买手机价格的众数为 7.5 B．估计 1000名用户购买手机价格的平均数为 8.45 C．估计 1000名用户购买手机价格的中位数不超过 6 D．估计 1000名用户购买手机价格的 84%分位数不超过 12 10．已知△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，D为 CA延长线上一点，∠DAB 的平分线交直线 CB于 E，若 a＝ 7，b＝3，c＝2，则 A．sin A∶sin B∶sin C＝ 7∶3∶2 B．A＝π 6 C．△ABC的面积为3 3 2 D．AE＝4 11．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：y2＝2x的焦点为 F，过点 F的直线 l与 C交于 A， B两点，点 P满足 PF⊥AB，且直线 BP与 x轴平行，直线 AP与 x轴交于点 M，则下列说 法正确的是 A．OA→·OB→＝－3 4 B．若|AF|＝2|BF|，则直线 l的斜率为 2 4 或－ 2 4 C．若 Q为 C的准线上任意一点，则直线 QA，QF，QB的斜率成等差数列 D．点 M到直线 PF的距离为1 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．若函数 f(x)＝1 3 x3－ax2在 x＝－2处有极值，则实数 a＝ ▲ ． 13．已知向量 a，b 满足|a|＝2，cos ＜a, b＞＝1 4 ，且|a＋b|＝ 10，则|b|＝ ▲ ． 14．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＝m，nan－Sn＝ n(n＋1) 2 ，若对任意的 n∈N*，等式 Sn S2n ＝λ恒成立，则 m＋λ＝ ▲ ． WH【高三开学考·数学 （第 3 页 共 4 页）】 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13分） 已知函数 f(x)＝2sin ωx( 3 2 cos ωx－1 2 sin ωx)＋1 2 (ω＞0)的最小正周期为π 2 ． （1）求ω的值； （2）求 f(x)的单调递增区间． 16．（本小题满分 15分） 如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC， PB＝BA＝AD＝3，BC＝5，点 E在棱 PA上． （1）若 E为 PA的中点，证明：BE⊥PD； （2）若两条异面直线 CD，BE所成角的余弦值为3 65 65 ，求 AE EP 的值． 17．（本小题满分 15分） 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共 100人进行问卷调查， 将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为 5组：[30, 40)， [40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，经统计得下表： 男生 [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) 人数 4 5 27 21 3 女生 [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜 欢体育运动”。 （1）根据以上数据完成 2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为是 否喜欢体育运动与性别有关联？ WH【高三开学考·数学 （第 4 页 共 4 页）】 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取 8人，再从这 8人中随 机抽取 3人担任体育运动宣传员，记随机变量 X为抽取的 3人中女生的人数，求 X的分布 列和数学期望． 参考公式：χ2＝ n(ad－bc) 2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ，其中 n＝a＋b＋c＋d 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分 17分） 已知双曲线 E：x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)经过点(－2, 3)，动直线 l与 E恰有 1个公共点， 且与 E的两条互相垂直的渐近线分别交于点 M，N． （1）求 E的方程； （2）已知 O为坐标原点，求证：△OMN的面积为定值； （3）过 E的右焦点作两条互相垂直的直线 l1，l2，且 l1与 E交于 A，B两点，l2与 E交于 C， D两点，若 AB的中点为 P，CD的中点为 Q，求证：直线 PQ与 y轴垂直． 19．（本小题满分 17分） 已知函数 f(x)＝x－2 x ln 1 x－2 ＋ ln x－a x ＋1． （1）若 f(x)的图象在点(3, f(3))处的切线过原点，求实数 a的值； （2）若 f(x)在(2, 3)上是增函数，求实数 a的取值范围； （3）求证：f(x)≤(x－2)2ex－2－a－1 x －ln (x－2)． 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由题意知A={x|x2<2x}={x0<x<2},B={x-1<x<2},则A∩B={x0<x<2.故选C 2.B由i=2-3i,得=2-31=-3-21.放选B &A由=2B得(=万.义G=6+=6+2>2.所以=2m==4e=台-号放选 4.C若a∥B,nCa,lC3,则m∥l或，l异面，故A错误；若m⊥B,a⊥3，则m∥a或mCa,故B错误；若l⊥a,l⊥B,则 a∥3，故C正确；若a∥3∥a,则m∥B或mC3,故D错误，故选C 五A因为a64b+1=0,所以a+石=4，所以d+96=子（日+9b)(a+6)=子(10+6+9ub),又a>0.b>0,所以 a6>0,所以品+9ab>2√品·9a6=6,当且仅当品=9ab,即a=1,b=号时等号成立，所以2+96>号(10+6)=4， 即】十9助的最小值是4.故选A 6D由等比致列前n项和的性质可得，S,S。一S,5。一S成等比数列，则三=。子，即-袋子解 得Sn=12或Sw=一8（舍去）.故选D 7.C若点P(a,b)在圆C外，则a+>r,所以圆心C到直线1的距离d=一 a+ 专<r,所以直线（与圆C相交，所以 “点P(α，b)在圆C外”是“直线1与圆C相交"的充分条件；若直线1与圆C相交，则圆心C到直线1的距离d=一二 Va+ <r,所以a2十>，所以点P(a,b)在圆C外，所以“点P(,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交"的必要条件.综上，“点 P(a,b)在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件.故选C 8.D因为Hx∈R,xf(x十2)=(x十2)f(x)+1恒成立，令x=u(n∈N),则nf(十2)=(n十2)f()+1恒成立，即 2=2+所以安-2=（日)所以得2-0=号(}号). n十2 -=合号）).99=（信-），g需2-号器2=().以上务式两边 2023 分别相加，得号-1)=(1-20)-20器在+2)=+2)+1中，令=-1.得-11) 2025 (-1D+1,因为)为偶函数，所以-1)=1)+1，所以D=所以号2-()-80器所以 2025 号2-8器所以1205)=1012-2g=-放选D 2025 2 9.AB1000名用户购买手机价格的众数为7.5，A正确：平均数为2.5×0.15十7.5×0.6十12.5×0.18十17.5×0.05+ Q.02=8.45,B正确：中位数为5计。X5≥7.92>6，C错误；1000名用户购买手机价格的84%分 器×5=12.5>12.D错说放选AB 【高三开学考·数学参考答案第1页（共6页）】 WH 10.AC因为a=√7，b=3,c=2,所以由正弦定理，得simA:sinB:sinC=a:b:c=√7：3：2，故A正确：由余弦定理 得，osA-十抗C=之，因为AE(0,,所以A=号，放B错误：△ABC的面积为2snA=3罗，放C正确：由 2bc 余弦定理，得osC=AC AOC HOAR-29,因为0<C<x,所以mC=牙，因为A=音，AE是∠DAB的角平分 2AC·BC 线，所以∠EAB=音·所以s血∠ABC=血（停+C)=要，在△AC中，由正弦定理，得能=n·解得 AE=6,故D错误.故选AC 山.ACD由题意知F(受，0），显然直线1的斜率存在且不为0，设直线1的方程为x=y+受，A(),B(),由 y=21, 得y-2一1=0，所以十为=2地=-1，所以西=兰·号-，所以O·0成=十必 x=1y+ 号，放A正确：因为|AF川=2引BF,所以=2，所以助=一20，又为=-一1，解得=号=厄或为 =-厄，所以1-”士产-号或1=-厚，即直线1的斜华为22或-2厄，放B错误：设Q(-之m）,则kc 2 2 工。、，业二m一=20.a三y+工，所以2c一o1一=一2m一+0-2二2=， -（-2) y+1 3y+1 2 2 2 G+0+D[mi+1)(+1D+1-m)(g+1)+(为-m)(f+1)]=G++D[m()+ 2 m()+m (mi-m)(yis:+y:-myi-m)](m (yiy:)m() 2 m+y0+)+(n十)-mM+9)-2m]=一G++[m)户+h(m+为)+y+为)-m]= (+1D5+Dm-21+21-m)=0,即2kg-a-a=0,则直线QA,QF,QB 2 的斜率成等差数列，故C正确：如图所示，过点M作MH⊥FP,垂足为H,又MP AM =所以品=”产，品-品，所以滑=产，所以 一2 Nm兰儿a之).修兰子-专成DE糖m 一1 12.-1因为f八x)=号x-ar2,(x)=x2-2ax,x)在x=-2处有极值，所以f(-2)=0,所以(-2+4a=0,解得 a=一1.经检验当a=-1时，了(x)=x2+2x=x(x+2),当x<一2或x>0时，(x)>0:当-2<x<0时，f'(x)<0, 所以f(x)在（一∞，一2），(0，十∞)上单调递增，在（一2,0）上单调递减，函数在x=一2处有极大值，满足题意. 13.2由1a十b=⑥，得1a+2a·b+|b=10,即4+2×2·1b×+b=10,整理得|b+bl-6=0,解 得|b川=2，或|b=-3(舍去). 【高三开学考·数学参考答案第2页（共6页）】 WH 14.是因为u。-S,=r2,所以当≥2时，有(1-1Da1-5-1=-》m-2,两式相减得(1一1Da-(m-1D 2 2 a-1=n一1，所以a,一a-1=1,所以数列{an}是以m为首项，1为公差的等差数列，所以an=m十(n一1)×1=m十n 1.8=士m空=士g,期s=士2g=2r+2m1m所u经=装 2 2 m兴，又因为对任意的n∈N,等式子=X恒成立，所以4(2m一D=m一2.解得m=合A=子，所以 4r+(4m-2)n m十=是 -号sn2ar+1-2inom）=号n2ar+os2ar=sm(2r+吾） …5分 (1)因为)的最小正周期为受，所以亮=受，解得。=2 …7分 (2)由(1)得，(z)=sin(4红+音) 8分 令2kx-受≤4r+否≤2kx+受，b∈Z, 11分 解得复-否<x<经+臣k∈乙 故x)的单调递增区间为[弩-吾，经+竞]k∈刀.… …13分 16.(1)证明：因为PB⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AD⊥PB, …1分 因为AD∥BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD,… 2分 又AB,PBC平面PAB,AB∩PB=B,所以AD⊥平面PAB,… …3分 因为BE平面PAB,所以AD⊥BE,…4分 因为PB=BA,E为PA的中点，所以BELPA,…5分 又AD,PAC平面PAD,AD∩PA=A,所以BE⊥平面PAD,…6分 因为PDC平面PAD,所以BELPD.…7分 (2)解：如图，以B为坐标原点，以BC,BA,BP所在直线分别为x轴y轴，：轴，建立 室间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,3,0),C(5,0,0),D(3,3,0),P(0,0,3),B-=(0, 0,3),PA=(0,3,-3),CD=(-23,0),…8分 设P2=mPA(0≤m<1),则Bi-B乎+P2-B+mPA=(0,0,3)+(0,3m,-3m=(0,3m,3-3m).…10分 设异面直线CD与BE所成角为0， 则cos0=|cos(CD,B证1= C.B正 -2×0+3×3m+0×(3-3m)l 1CD1·1BE1/(-2)+3+0×√0+9m+9(1-m) 3m 365 65 …13分 √13×/2m2-2m+1 【高三开学考·数学参考答案第3页（共6页）】 WH 整理得3m+21-1=0,解得m=号或m=-1(舍去)，…14分 3 所以P成-号，所以带-2。 …15分 17.解：(1)2×2列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 …2分 零假设为H。:是否喜欢体育运动与性别无关联.…3分 n(ad-b)2 100×(24×32-36×8)3 根据列联表可得X=a+b)(+D(a+c)(什d-(24+36)X(8+32)X(24+8)X(36+32) 75 7 ≈4.412> 3.841=江0哈，…5分 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联. …7分 (2)从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 24 8 则男生抽取人数为8×2十8=6，女生抽取人数为8×24千8=2 9分 X的所有可能取值为0,1,2，其中P(X=0)= 则X的分布列为： X 2 5 28 13分 所以E(X0=0X是+1×0+2×品=是 284 15分 18)解：双曲线E后一苦-1的渐近线方程为y=土 -T: 由两条渐近线垂直可得一么，么=一1，所以a=6… 2分 a 将点(-25代人号-兰=1，得。一-是=1，解得=1， …3分 所以E的方程为x2一y=1.… …4分 (2)证明：当动直线1的斜率不存在时，l:x=±1，MN=2,S6N=号×1×2=1. …5分 当动直线l的斜率存在时，不妨设直线l:y=kx十m(k≠士1)， y=kx十， 故由 得(1-)x2-2mkx-m2-1=0, x2-y2=1. 【高三开学考·数学参考答案第4页（共6页）】 WH 从而△=（一2k)”一4(1一k2)(一m2一1）=0，化简，得=7十1. 6分 又因为双曲线E的渐近线方程为y=士x, y=k十, 得 所以M(巴巴)，同理可得N(一件：平， …7分 y=I, y=Ik' 所以MN=√(+)广+（巴） 2mlvk+1 11-k21 …8分 又原点O到直线l:虹x一y十m=0的距离d=m …9分 √k+1 所以Saw=MNld=",又=m+1,所以Sa=尸=1 …10分 综上所述，△OMN的面积为定值l.…1们分 (3)证明：由题意可得，双曲线E的右焦点为F(√2,0)， 当直线山与l的斜率都存在时，设直线的方程为y=k(x一√2)，A(x1边)，B(,2), y=k1(x-√2)， 得(1-k好)x2+2√2好x-2k好-1=0， x-3y2=1, △=(22)+4(1一k好)(2k+1)=4(+1)>0且k≠士1， 所以看+鸭+=6+n-2)=会 12分 因为点P是AB的中点，所以P(兴当) 13分 因为山6，所以将换成古得Q后吕合) …14分 因为点P与点Q的纵坐标相同，所以直线PQ与y轴垂直，… 15分 当直线1的斜率不存在，直线的斜率为0时，易得P(2,0),Q(0,0): 当直线的斜率为0，直线2的斜率不存在时，易得P(0,0),Q(√2,0). 所以直线PQ的方程为y=0,与y轴垂直.… 16分 综上所述，直线PQ与y轴垂直. …17分 11D解：函数)的定义城为2，十o,导函数了（0)=2n之2-·之2+@ a+1-x-nx-2n(x-2) …2分 f3)=n3-a+1f(3)=-2。n3, 3 9 因为)的图象在点（3,3)处的切线过原点，所以2二2，h3=,所以a=喜十n3、4分 9 （2②)解：令8a)=+nr+2hx一2).则g()=1+士+产2>0对>2成立， 【高三开学考·数学参考答案第5页（共6页）】 WH 所以g(x)在(2，十∞)上是增函数，所以x∈(2,3)时，g(x)<g(3)=3十n3,…6分 因为fx)在(2,3)上是增函数，所以()=十1四≥0在(2,3)上成立，…7分 所以a+1≥g(x)在(2,3)上成立，所以a+1≥3+1n3,a≥2+ln3, 即a的取值范围是[2十n3,十0∞).…8分 （3)证明：要证f)≤x-2e---h(r-2》,只要证子n2+h1+1一2)e-hr一2 …9分 令h(x)=(x-2)2e-n(x-2),k(x)=x(x-2)e- x-21 易知y=()在(2，+∞)上是增函数，且W(3)=30-1>0,k(号)=子-3<0， 所以在（子，3）上存在一个实数m,使得(m）=0,且A()在2，m)上单调递减，在m,十∞)上单调递增. …10分 于是其极小值点x=m满足m(m一2e一一 m一2=0， 也即-2汁2ln(m一2)十nm=0,①…11分 函数h(x)的极小值，亦为最小值为h(m=(m一2)e-2-h(m一2)=一1n(m一2.…12分 令gx)=n之2+h+1.期9()=2h2h2 x 令k(x)=2-x一lnx一21n(x-2)=2一g(x),因为g(x)在(2，十o∞)上是增函数，所以k(x)在(2，十o∞)上是减函数， k(2+e2)=2-2-e-ln(2+e)十4=4-e2-ln(2+e)>0, k(3)=2-3-n3=-1-ln3<0, 所以存在唯一一个数n∈(2十e2,3),使得9(m)=0,且当x∈(2，n)时，k(x)>0,9(x)>0: 当x∈(n,+o∞)时，k(x)<0,9'(x)<0, 于是其极大值点x=n满足n十n1十2n(1一2)=2，即一2十2n(1一2)+ln=0,②…14分 函数g()的极大值，亦为最大值为g(0=”,1n二2十血”+1=+血m十2血-2》☐-h(m-2》 =1-ln(1-2),…15分 结合①②及函数g(x)=x十nx十2n(x一2)在(2，十c∞)上是增函数且g(m)=g()=2知，m=n且h(m)=g().… …16分 即h(x)的最小值与g(x)的最大值相等，所以(x)≤h(x), 所以fx)≤(x-2)e2--h(x-2)成立.…17分 【高三开学考·数学参考答案第6页（共6页）】 WH