精品解析：湖南省长沙市雨花区长沙市华益中学2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年上学期期末检测试卷八年级数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项符合题意； C．是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象向下平移1个单位长度，得到直线 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：A、 当时，，图象不过点，结论不正确； B、图象向下平移1个单位长度，得到直线，结论不正确； C、，y随x的增大而增大，结论正确； D、图象经过第一、三、四象限，结论不正确； 故选C． 4. 在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如下，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 189 192 189 192 方差 61 24 31 17 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知应该选择平均数大且方差小的那名同学参加运动会，据此可得答案． 【详解】解；从平均数来看，应该从乙、丁中选取一人参加运动会， 从方差来看，应该选择丁参加运动会， 故选：D． 5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键． 以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图像写出解集即可． 【详解】解：∵一次函数与的图像交点为，且， ∴． 故选A． 6. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象旋转的性质，得AB=AD，∠BAD=150°，从而得∠B=15°，结合∠ADE=∠B=15°，∠DAE=，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴AB=AD，∠BAD=150°， ∴∠B=∠ADB=(180°-150°)÷2=15°， ∴∠ADE=∠B=15°，∠DAE=， ∴=180°-100°-15°=65°． 故选C． 【点睛】本题主要考查旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 9. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在- 1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的对称轴为，且， ∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c． ∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；②根据抛物线与x轴的交点即可判断；③根据二次函数的对称性即可判断；④由对称轴求出b=-a即可判断． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x=， ∴， ∴b=-a＞0， ∴abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故②正确； ③∵对称轴为直线x=，且经过点（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴x=-1是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根， 故③正确； ④∵由①中知b=-a， ∴a+b=0， 故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，进而得出点坐标，即可得出答案． 【详解】解：关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 该抛物线表达式为顶点式，直接根据抛物线表达式确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 故答案为 ：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 14. 某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是85分，90分，80分，则小明的数学总评成绩为________分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的知识；解题的关键是熟练掌握加权平均数的性质，从而完成求解．结合题意，根据加权平均数的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，小明的数学总评成绩为： （分） 故答案为：84分． 15. 若抛物线经过和两点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，再结合抛物线经过和两点，则对称轴是直线，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又抛物线经过和两点， 对称轴是直线． ． 故答案为：． 16. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可． 【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合实际）， “衰分比”是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据绝对值意义，算术平方根定义，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 19. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． （1）求E点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了求两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握两条直线的交点坐标的求法是解题的关键． （1）联立，解二元一次方程组，即可确定点坐标； （2）确定点A、点C的坐标，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得， 点坐标为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 点A坐标为， 在中，当时，， 点C坐标为， ， ． 20. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 21. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图 Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为______； （4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 【答案】（1）20 （2） 补全频数分布直方图如图所示： （3）193 （4）150名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数，读懂题意，准确获取图中信息是解答的关键． （1）用A组频数除以其所占百分比即可求解； （2）求出B组频数，即可补全频数分布直方图； （3）数据从小到大排列，找到位于中间两个数，求其平均数即为中位数； （4）用该校八年级总人数乘以样本中跳绳个数不少于200个的人数所占比例求解即可 【小问1详解】 解：本次抽查的学生人数是（人）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：B组人数为（名）， 略 【小问3详解】 解：A组和B组总人数为（名）， ∴八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数位于C组，又第10个数为191，第11个数为195， ∴中位数为； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数有150名． 22. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）；W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 23. 如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵平分， ， ∴， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出，，进而利用直角三角形的性质及平行线的性质得，从而得，又求得，利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、勾股定理，度直角三角形的性质；熟练掌握菱形判定与性质是解决问题的关键． 24. 我们不妨约定．如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧． （1）判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“”；若不是，打“”） ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）已知关于x的二次函数为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．求b的值． （3）已知关于x的二次函数为“完美二次函数”且关于x的一次函数随x的增大而减小． ①求t的取值范围； ②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线与坐标轴围成的三角形的面积为S．求S的取值范围． 【答案】（1）①；②；③ （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）分别把代入函数解析式，求出其与x轴的交点坐标，然后进行判断即可； （2）先求出点C的坐标为，得出，设点的坐标为，点B的坐标为，得出，，，，根据，得出，将，代入得出答案即可； （3）①根据二次函数是关于x的“完美二次函数”，得出，求出，根据关于x的一次函数随x的增大而减小，求出，即可得出答案； ②根据，得出，，得出抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，抛物线的顶点在第三象限，过点M作轴于点F，求出，，，，证明，得出，求出，根据三角形面积公式得出，根据t的取值范围，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴该二次函数不是“完美二次函数”； ②把代入得：， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，，即抛物线与x轴有两个交点，且两个交点一个在原点左侧，一个在原点右侧， ∴该二次函数是“完美二次函数”； ③把代入得：， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，，即抛物线与x轴有两个交点，且两个交点一个在原点左侧，一个在原点右侧， ∴该二次函数是“完美二次函数”； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵关于x的二次函数为“完美二次函数”，且， ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴， 设点的坐标为，点B的坐标为， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵二次函数是关于x的“完美二次函数”， ∴， ∴或， 解不等式组得：， 不等式组无解， ∴的解集为：， ∵关于x的一次函数随x的增大而减小， ∴， 解得：， 综上分析可知：； ②∵， ∴，， ∴抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， 根据顶点坐标公式可得：点M的坐标为： ∵， ∴抛物线的顶点在第三象限， ∴直线与轴的交点在x轴的正半轴上，如图所示： 过点M作轴于点F， 则，， 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：点在直线上， ， ， 直线， 直线交抛物线于点E、F， 联立， 整理得：， ， 点M为线段的中点， ， 将代入直线，则， ， 同理可得：， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必经过一定点，该定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得直线的函数解析式为，设与直线平行的直线的函数解析式为，由题意，当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点．联立方程组得，由根的判别式列方程求得，进而求得方程的解即可； （3）将点代入直线解析式，进而得出直线，联立抛物线与直线，利用一元二次方程根和系数的关系，得到，进而得到的中点的横坐标，从而得到点，同理可得，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得到直线必经过定点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设与直线平行的直线的函数解析式为， ∵， ∴当直线与抛物线相切时，长度最大，此时点P为切点． 联立方程组，整理，得， 则，解得， ∴方程为，即， 解得，此时， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数和直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等知识，题目较难，计算量大，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末检测试卷八年级数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国新能源汽车产业的蓬勃发展，满足了全球广大消费者对优质产品和服务的需求，为全球汽车产业转型提供有力支撑，为应对全球气候变化、推动低碳发展作出了中国贡献，展现了中国担当．下列新能源车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 3x-4=0 B. x2-3x=0 C. x+3y=2 D. =3 3. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象向下平移1个单位长度，得到直线 C. y随x的增大而增大 D. 图象经过第一、二、三象限 4. 在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如下，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 189 192 189 192 方差 61 24 31 17 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，将绕点逆时针旋转，得到，这时点B、C、D恰好在同一直线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标为______． 12. 抛物线的顶点的坐标为________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 14. 某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是85分，90分，80分，则小明的数学总评成绩为________分． 15. 若抛物线经过和两点，则_____． 16. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，两直线交于点E． （1）求E点的坐标； （2）求的面积． 20. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 21. 一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一．某校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为x（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为5组：（A组：；B组：；C组：；D组：：E组：，对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的学生的跳绳个数频数分布直方图 被抽取的学生的跳绳个数扇形统计图 Ⅱ．被抽取的学生的跳绳个数在C组的数据是：191，195，197，197，197，197． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是______人； （2）补全频数分布直方图； （3）八年级被抽取的学生跳绳个数的中位数为______； （4）若该校八年级选择跳绳项目的学生有600名，估计年级学生跳绳个数不少于200个的人数． 22. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 23. 如图，四边形是平行四边形，对角线平分，过点作交其延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的值． 24. 我们不妨约定．如果一个二次函数的图象经过四个象限，则称这个二次函数为“完美二次函数”通过作图，我们发现“完美二次函数”的图象必与x轴有两个交点，并且这两点位于原点的两侧． （1）判断下列关于x的二次函数是否为“完美二次函数”（若是，打“”；若不是，打“”） ①（ ） ②（ ） ③（ ） （2）已知关于x的二次函数为“完美二次函数”，其图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足．求b的值． （3）已知关于x的二次函数为“完美二次函数”且关于x的一次函数随x的增大而减小． ①求t的取值范围； ②若该“完美二次函数”的顶点为M，与y轴交于点D，直线与坐标轴围成的三角形的面积为S．求S的取值范围． 25. 已知抛物线与x轴交于，两点，y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线下方抛物线上一点，于点Q，当长度最大时，求点P的坐标： （3）如图2，过点分别作直线交抛物线于点E、F，直线（，且）交抛物线于点G、H，点M、N分别为线段、的中点，．求证：直线必经过一定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $