精品解析：吉林省长春东力旺实验初级中学2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

长春力旺实验中学 2024-2025学年度下学期七年级数学学科期末考试试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、不等式两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，故，选项正确． 、不等式两边同时除以一个小于零的数，不等号方向发生改变，故，选项错误． 、当时，，当时，当时，无法判断和的大小，选项错误． 故选． 3. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】一个多边形的镶嵌应该符合其内角度数可以整除360° 【详解】A、三角形内角和为180°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意； B、四边形内角和为360°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意； C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺，故此选项合题意； D、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6＝120°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查图形的镶嵌问题，重点是掌握多边形镶嵌的原理． 4. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 5. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形的三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，为中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：A． 6. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的尺规作图法成为解题的关键． 由三角形内角和可得，再根据作图过程可得平分，即，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图过程可得：平分， ∴， ∴． 故选D． 7. 小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，若下方树干的长为，则树的高度的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴； 故选D． 8. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知是关于的一元一次方程，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 10. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性，即可求解． 【详解】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 11. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 _______ 边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的外角和定理以及内角和定理，正确掌握相关性质和定理是解题的关键． 先设正多边形的边数是，因为一个正多边形的内角和等于它的外角和的2倍，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为六边形． 故答案为：六． 12. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 14. 本学期我们学习了华师版初中数学七年级下册课本，请你根据所学内容判断以下语句： ①如果与互为相反数，则； ②已知方程，用含的式子表示，则； ③若，则； ④一个图形以两条相互平行的直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换； ⑤在一个多边形中，它的内角最多可以有3个是锐角． 上述语句中，所有正确的语句的序号有______ 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数、等式的基本性质、不等式的性质、轴对称的性质、多边形的性质，根据相反数的定义列方程求解即可；根据等式的性质把方程移项、系数化为即可得到结果；举反例：当时，可得：，说明命题不成立；根据平行线的性质和轴对称的性质可知：一个图形以两条相互平行的直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换；利用多边形外角和是，可知多边形的外角最多有个钝角，则与这个外角互为邻补角的内角是锐角，所以多边形最多有个锐角． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得：， 故正确； ， 移项得：， 方程两边同时乘以得：， 故正确； ， 例如：， 则， ，，则不成立， 故错误； 一个图形以两条相互平行的直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换， 故正确； 多边形的外角和是， 多边形的外角中最多有个钝角， 则与这个外角互为邻补角的内角是锐角， 在一个多边形中，它的内角最多可以有个是锐角， 故正确． 综上所述，正确的语句的序号有． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 17. “星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 【答案】此次“星耀舞台”一共有11个节目 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设此次“星耀舞台”一共有个节目，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设此次“星耀舞台”一共有个节目． 根据题意得：， 解得：， 答：此次“星耀舞台”一共有11个节目． 18. 已知，如图，在中，，，BP平分，CP平分，求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形角平分线性质得：∠CBP=∠ABC=40°，∠BCP=∠ACB=25°；由三角形的内角和定理，求得∠BPC的度数； 【详解】在△ABC中， ∵∠ABC=80°，BP平分∠ABC， ∴∠CBP=∠ABC=40°. ∵∠ACB=50°，CP平分∠ACB， ∴∠BCP=∠ACB=25°. 在△BCP中∠BPC=180°−(∠CBP+∠BCP)=115°. 【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题关键在于利用角平分线的性质进行计算. 19. 如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中， （③______）， （④______） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤______） ， 在和中， （⑦______）， ． 【答案】①等角的补角相等； ②； ③ASA ④全等三角形的对应边相等； ⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ⑥； ⑦AAS 【解析】 【分析】本题考查等角补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 根据等角的补角相等，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，补全证明过程即可． 【详解】解：小力的证法： （已知），且 （等角的补角相等）， 在和中， （）， （全等三角形的对应边相等） 小旺的证法： ，（已知），且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ， 在和中， （）， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③ASA；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦AAS 20. （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段的对称轴，再作点关于此轴的对称点） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、轴对称的性质，利用轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）作长方形边长的垂直平分线，即可得到对称轴； （2）①根据轴对称图形的性质即可作图；②先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点，则直线即为所求． 【详解】解：（1）如图1，长方形的一条对称轴即为所求： （2）①如图2，四边形的对称轴即为所求： ②如图3，先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点， ∵点在线段的对称轴上， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线即为所求． 21. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子1000米耐力跑用时不超过3分40秒为单项满分．小刚在一次模拟测试时，先以4米/秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以6米/秒的平均速度跑完剩余路程．问小刚最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 【答案】小刚最多跑640米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意正确列出不等式是解题的关键．设小刚跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意列出不等式，求出的范围即可解答． 【详解】解：3分40秒秒， 设小刚跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分， 根据题意得：， 解得：， 答：小刚最多跑640米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分． 22. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A． B． C． D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 【答案】【问题情境】（1）C；（2）；【初步运用】见解析；【拓展提升】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解； 初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明； 拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】问题情境： 解：（1）是的中线， ， 在和中， ∴， ∴由已知和作图得到，依据是， 故选：C； （2）由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案：； 初步运用： 证明：延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 拓展提升： 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 23. 如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． （1）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组解集为______ （2）在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是______；（填序号） （3）若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； （4）如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 【答案】（1）；；；数轴见解析 （2）②④ （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式的解集，理解“母不等式”的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式组的求解步骤即可解答； （2）根据“母不等式”的定义即可得出答案； （3）分和两种情况讨论，解不等式得出的范围，再根据“母不等式”的定义即可得出答案； （4）解不等式组得，解不等式得，解不等式得，再根据“母不等式”的定义得出关于的不等式组，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为． 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：不在的范围内，故①不符合题意； 在的范围内，故②符合题意； 不在的范围内，故③不符合题意； 在的范围内，故④符合题意； 是（1）中不等式组的“母不等式”的是②④． 故答案为：②④； 【小问3详解】 解：当，即， 解不等式，得， ∵不在的范围内， ∴不符合题意，舍去； 当，即， 解不等式，得， ∵在的范围内， ∴符合题意； ∴的取值范围是． 故答案为：； 【小问4详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组解集为， 解不等式，得， 解不等式，得， 由题意得，是的“母不等式”，不是的“母不等式”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 24. 如图，在中，已知，，，是的高，，动点从点开始沿线段方向以的速度向点运动，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，设运动时间为秒． （1）请直接写出线段的长度（用含有的代数式表示）：______； （2）求证：； （3）当将的面积分成两部分时，求的值； （4）在点运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，直接写出的面积．若变化，直接写出面积的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 （4）的面积不变，面积是 【解析】 【分析】（1）由题意得，，再根据即可求解； （2）根据旋转的性质得到，，进而推出，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）根据题意可得或，再分2种情况讨论，分别列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据等腰三角形和全等三角形的性质得到，进而得出，再由是的高以及三线合一性质得到，，则有，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵将的面积分成两部分， ∴或， ①当，则， ∴， 解得：； ②，则， ∴， 解得：； ∴综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积不变，面积是． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点，正确找出全等三角形并运用相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春力旺实验中学 2024-2025学年度下学期七年级数学学科期末考试试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三角测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ） A. 等腰三角形三线合一 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等边对等角 6. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，若下方树干的长为，则树的高度的长为（　　） A B. C. D. 8. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 已知是关于的一元一次方程，则______． 10. 如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______. 11. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正 _______ 边形． 12. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 14. 本学期我们学习了华师版初中数学七年级下册课本，请你根据所学内容判断以下语句： ①如果与互为相反数，则； ②已知方程，用含的式子表示，则； ③若，则； ④一个图形以两条相互平行的直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换； ⑤在一个多边形中，它的内角最多可以有3个是锐角． 上述语句中，所有正确的语句的序号有______ 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16 解方程组：． 17. “星耀舞台”是力旺中学的传统活动．在准备阶段，需要根据节目个数和所计划的节目表演时长（不包含报幕、串场等时间）进行安排．如果每个节目表演3分钟，则所有节目表演完还剩下7分钟；如果每个节目表演4分钟，则所有节目表演完比计划表演时长超出4分钟．求此次“星耀舞台”一共有多少个节目？ 18. 已知，如图，在中，，，BP平分，CP平分，求的度数. 19. 如图，，，求证．小力和小旺分别想到了两种证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①______）， 在和中， （③______）， （④______） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤______） ， 在和中， （⑦______）， ． 20. （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段对称轴，再作点关于此轴的对称点） 21. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子1000米耐力跑用时不超过3分40秒为单项满分．小刚在一次模拟测试时，先以4米/秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以6米/秒的平均速度跑完剩余路程．问小刚最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 22. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A． B． C． D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 23. 如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． （1）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______ （2）在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组“母不等式”的是______；（填序号） （3）若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； （4）如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 24. 如图，在中，已知，，，是的高，，动点从点开始沿线段方向以的速度向点运动，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，设运动时间为秒． （1）请直接写出线段的长度（用含有的代数式表示）：______； （2）求证：； （3）当将的面积分成两部分时，求的值； （4）在点运动过程中，的面积是否发生变化？若不变，直接写出的面积．若变化，直接写出面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$