对数与对数函数（6大题型）讲义——2026届高三数学一轮复习

[在此处键入] 对数与对数函数 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 【解题方法总结】 对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). 例1（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 例2化简： ． 【答案】 【详解】 ． 故答案为： 例3计算 (1) . (2) . 【答案】(1) (2)2 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） =2 题型二：换底公式的应用 【解题方法总结】 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 例4已知，，求.（用表示） 【答案】 【详解】∵，所以，又 ∴， ； ∴． 故答案为：． 例5计算： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）由换底公式可得，； （2）原式 . 例6若，，则 ． 【答案】1 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：1 题型三：指数式与对数式的互化 【解题方法总结】 根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可. 例7下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 例8已知，，计算= 【答案】 【详解】∵，， ∴，， ∴. 故答案为：. 例9已知，则 . 【答案】 【详解】，，因此，. 故答案为：. 题型四：对数（型）函数的定义域与值域 【解题方法总结】 根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可. 例10函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：C 例11已知函数，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得，所以的定义域为. 故答案为： 例12已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出的范围，然后可得答案. 【解答过程】因为，所以，所以， 故选：D. 题型五：对数函数的图象及应用 【解题方法总结】 ①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象. ②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等. 例13若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且的值域为，∴， 当时，在上是增函数． 又函数，所以为偶函数，图象关于y轴对称， 所以的大致图象应为选项A． 故选：A． 例14函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 例15函数与的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为在定义域上单调递减， 又，所以在定义域上单调递减， 故符合条件的只有A； 故选：A 题型六：对数型复合函数性质的应用 【解题方法总结】 借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可. 例16已知函数． (1)求的单调区间及最大值． (2)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）首先确定的定义域，将其整理为，利用复合函数单调性的判断方法得到单调性，结合单调性可求得最值； （2）根据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为，采用分离变量法可得，结合对勾函数单调性可求得，由此可得结果. 【解答过程】(1) 由得：，的定义域为； ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 由单调性可知：. (2) 在上恒成立，， 即，在上恒成立， ； 令，则在上单调递增，在上单调递减， ，，即实数的取值范围为. 例17已知函数是奇函数． (1)求的值． (2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是奇函数． （2）若时，即时， 是奇函数又是增函数， 且，可得， ，即 的取值范围是. 例18已知函数（且）在上的 最大值为.(1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$[在此处键入] 对数与对数函数 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 【解题方法总结】 对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). 例1（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2化简： ． 例3计算 (1) . (2) . 题型二：换底公式的应用 【解题方法总结】 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 (1)原则：化异底为同底； (2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底； ②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值. 例4已知，，求.（用表示） 例5计算： (1)； (2). 例6若，，则 ． 题型三：指数式与对数式的互化 【解题方法总结】 根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可. 例7下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例8已知，，计算= 例9已知，则 . 题型四：对数（型）函数的定义域与值域 【解题方法总结】 根据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可. 例10函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 例11已知函数，则的定义域为 ． 例12已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五：对数函数的图象及应用 【解题方法总结】 ①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象. ②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等. 例13若函数的值域为，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例14函数的图像是（    ） A． B． C． D． 例15函数与的大致图像是（    ） A． B． C． D． 题型六：对数型复合函数性质的应用 【解题方法总结】 借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可. 例16已知函数． (1)求的单调区间及最大值． (2)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 例17已知函数是奇函数． (1)求的值． (2)若时，是上的增函数，且，求的取值范围． 例18已知函数（且）在上的 最大值为.(1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. [在此处键入] 学科网（北京）股份有限公司 $$