4.3 用一元一次方程解决问题 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册

4.3 用一元一次方程解决问题 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、列一元一次方程解决问题的一般步骤 1. 审：审题，分析题中已知量和未知量，明确各数量之间的关系 2. 设：设未知数，用字母表示题目中的未知量（直接设元或间接设元） 3. 列：根据题目中的等量关系列出方程 4. 解：解所列的一元一次方程 5. 验：检验方程的解是否符合题意 6. 答：写出答案（包括单位名称） 二、等量关系分析方法 1. 线形示意图法 适用于行程问题、工程问题等有明显数量关系的问题 通过线段长度表示数量关系，直观反映各量之间的大小关系 2. 表格法 适用于鸡兔同笼问题、积分问题等涉及多个量之间关系的问题 将已知量和未知量填入表格，清晰展示各量之间的关系 三、常见问题类型及等量关系 1. 行程问题 相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 追及问题：快者路程=慢者路程+初始距离 环形跑道问题：同向而行首次相遇时，快者比慢者多跑一圈 2. 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 合作问题：各部分工作量之和=总工作量 3. 利润问题 利润=售价-进价 利润率=利润/进价×100% 售价=标价×折扣 4. 积分问题 比赛积分：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分 考试得分：答对得分-答错扣分=总分 5. 调配问题 内部调配：调配前后总量不变 外部调配：调入量=调出量+剩余量 四、解题关键技巧 1. 找等量关系：仔细审题，找出题目中隐含的等量关系 2. 设元技巧：一般设直接未知数，复杂问题可设间接未知数 3. 检验结果：不仅要检验方程的解是否正确，还要检验是否符合实际意义 4. 单位统一：注意题目中各量的单位是否统一，必要时进行单位换算 五、典型例题解析 例1：行程问题 甲、乙两地相距300km，一列慢车从甲地开出，速度为60km/h，一列快车从乙地开出，速度为90km/h。两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ 解：设x小时后两车相遇。 根据题意，得60x + 90x = 300 解得x = 2 答：2小时后两车相遇。 例2：利润问题 一件商品的进价为200元，标价为300元，打折销售后利润率为5%，问此商品是按几折销售的？ 解：设此商品是按x折销售的。 根据题意，得300×x/10 - 200 = 200×5% 解得x = 7 答：此商品是按7折销售的。 巩固练习 一、选择题 1．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（　　）米. A．2 B．3 C．4 D．5 2．将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（　　） A．只有一种 B．恰有两种 C．多于三种 D．不存在 3．某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打x折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则x的值为（　　） A．六 B．七 C．八 D．九 4．植树节到了，某学习小组组织大家种树，如每个人种10棵，则还剩6棵；如每个人种12棵，则缺6棵，设该学习小组共有x人种树，则方程为（　　） A．10x﹣6=12x+6 B．10x+6=12x﹣6 C． +6= ﹣6 D． ﹣6= +6 5．检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需，就可以完成．两小组合做后，再由乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为（　　） A． B． C． D． 6．甲乙两人同时从到地，甲比乙每小时多行，若甲每小时行，结果甲比乙早到，设两地的路程为，根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（　　） A．106 B．98 C．84 D．78 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．五水共治检查组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米才停下来休息．司机说：“再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了”．则A市到B市的路程为（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．1200千米 10．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何? 其大意为：若3个人乘一辆车，则空 2 辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数.甲、乙两人所列方程如下，下列方程正确的是（　　） 甲：设车数为x辆，可列方程为3（x-2）=2x+9. 乙：设人数为y，可列方程为 A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题 11．一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，将两个数字对调后得到的新两位数比原来的两位数小36，原来两位数是 　 　． 12．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3 小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水.若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则还需　 　小时可注满水池. 13．甲、乙两人在一条长400 m的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 m/ min，乙的速度是240 m/ min，两人同时同地同向跑，　 　min后甲、乙两人第一次相遇. 14．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走米，乙每分钟走米，丙每分钟走米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇分钟后，又与丙相遇那么，东、西两村之间的距离是　 　米 15．刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”王老师今年　 　岁． 16．把若干本书分给甲乙丙三人．分给甲的书是总量的，分给乙的书是总量的，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍，最后还剩下11 本．那么，乙分得的书有　 　本． 17．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则　 　小时后水开始溢出水池． 18．为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了　 　次“优秀”等级． 三、解答题 19．“丰收1号”油菜籽平均每公顷的产量为2400kg，含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”平均每公顷的产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点. 某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少了3 hm2，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了3750kg. 这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷? 20． A、B两地相距31千米，甲从 A地骑自行车去B 地，1小时后乙骑摩托车也从 A 去 B地.已知甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶28 千米. （1）问乙出发后多少小时追上甲? （2）若乙到达 B 地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间? 21．某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作． （1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？ （2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？ 22．某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：1名教师全部收费，其余7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠. （1）当学生人数等于多少时，甲旅行社与乙旅行社收费一样? （2）若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便 ，问学生人数是多少？ 23．某粮仓原有大米132吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨，记作吨；当天运出大米15吨，记作吨.）若经过这一周，该粮仓存有大米88吨 某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 （1）求的值. （2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用. 24．2024年某市在进行“全国文明城市”创城期间，某校策划了“文明城、共参与”的知识竞赛，七（1）班为了给参赛同学准备奖品，让班长为班级购买奖品，下面是班长购买奖品后与生活委员的对话： （1）请用方程的知识帮助班长计算一下，为什么说班长搞错了. （2）班长连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是 2元或 3元，那么笔记本的单价是多少元? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 用一元一次方程解决问题 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、列一元一次方程解决问题的一般步骤 1. 审：审题，分析题中已知量和未知量，明确各数量之间的关系 2. 设：设未知数，用字母表示题目中的未知量（直接设元或间接设元） 3. 列：根据题目中的等量关系列出方程 4. 解：解所列的一元一次方程 5. 验：检验方程的解是否符合题意 6. 答：写出答案（包括单位名称） 二、等量关系分析方法 1. 线形示意图法 适用于行程问题、工程问题等有明显数量关系的问题 通过线段长度表示数量关系，直观反映各量之间的大小关系 2. 表格法 适用于鸡兔同笼问题、积分问题等涉及多个量之间关系的问题 将已知量和未知量填入表格，清晰展示各量之间的关系 三、常见问题类型及等量关系 1. 行程问题 相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 追及问题：快者路程=慢者路程+初始距离 环形跑道问题：同向而行首次相遇时，快者比慢者多跑一圈 2. 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 合作问题：各部分工作量之和=总工作量 3. 利润问题 利润=售价-进价 利润率=利润/进价×100% 售价=标价×折扣 4. 积分问题 比赛积分：胜场积分+平场积分+负场积分=总积分 考试得分：答对得分-答错扣分=总分 5. 调配问题 内部调配：调配前后总量不变 外部调配：调入量=调出量+剩余量 四、解题关键技巧 1. 找等量关系：仔细审题，找出题目中隐含的等量关系 2. 设元技巧：一般设直接未知数，复杂问题可设间接未知数 3. 检验结果：不仅要检验方程的解是否正确，还要检验是否符合实际意义 4. 单位统一：注意题目中各量的单位是否统一，必要时进行单位换算 五、典型例题解析 例1：行程问题 甲、乙两地相距300km，一列慢车从甲地开出，速度为60km/h，一列快车从乙地开出，速度为90km/h。两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ 解：设x小时后两车相遇。 根据题意，得60x + 90x = 300 解得x = 2 答：2小时后两车相遇。 例2：利润问题 一件商品的进价为200元，标价为300元，打折销售后利润率为5%，问此商品是按几折销售的？ 解：设此商品是按x折销售的。 根据题意，得300×x/10 - 200 = 200×5% 解得x = 7 答：此商品是按7折销售的。 巩固练习 一、选择题 1．若一根绳子的长度等于它本身的 加上 米，则这根绳子全长是（　　）米. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】【解答】解：设这根绳子全长x米， 则 解得：x=3. 故答案为：B 【分析】这根绳子全长x米，根据“ 绳子的长度等于它本身的 加上 米 ”列方程求解即可. 2．将1，2，3，4，…，12，13这13个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10，这样的分组方法（　　） A．只有一种 B．恰有两种 C．多于三种 D．不存在 【答案】D 【解析】【解答】解：1+2+…+13=91，分为两组，一组的和为x，另一组的和为x﹣10， 则x+（x﹣10）=91，解得x= ， ∵x为整数， ∴没法分， 故答案为：D． 【分析】先把这13个整数相加，然后设一组的数和为x，根据题意可得另一组的数的和为x-10，利用13个数的和可得x的值，利用x为整数这个条件可得结论. 3．某文具店店庆促销，单价为100元的书包，打x折后，每个再减10元，降价后售价为70元．则x的值为（　　） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意，可得. 解得． 故选：C． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意，列出方程，求得方程的解，即可求解. 4．植树节到了，某学习小组组织大家种树，如每个人种10棵，则还剩6棵；如每个人种12棵，则缺6棵，设该学习小组共有x人种树，则方程为（　　） A．10x﹣6=12x+6 B．10x+6=12x﹣6 C． +6= ﹣6 D． ﹣6= +6 【答案】B 【解析】【解答】解：设该学习小组共有 人种树，则每个人种10棵时的共有 棵树；每个人种12棵时共有 棵树， 根据等量关系列方程得： 故答案为：B. 【分析】设该学习小组共有 人种树，可得每个人种10棵时的共有()棵树；每个人种12棵时共有( )棵树，根据树的总数列出方程即可. 5．检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需，就可以完成．两小组合做后，再由乙小组单独做，则完成这台机器的检修任务还需的小时数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设还需x小时完成这台机器的检修任务． 根据题意，得， 解得， 故还需小时才能完成这台机器的检修任务． 故选：B． 【分析】本题主要考查的是关于一元一次方程的应用，设还需x小时完成这台机器的检修任务．根据 两小组合做后，再由乙小组单独做 ，列出关于x的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案. 6．甲乙两人同时从到地，甲比乙每小时多行，若甲每小时行，结果甲比乙早到，设两地的路程为，根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：乙每小时行， 设两地的路程为， 甲比乙早到， 列方程为， 故答案为：C． 【分析】设两地的路程为，根据题意列方程即可． 7．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（　　） A．106 B．98 C．84 D．78 【答案】C 【解析】【解答】解：设7个数中最小的数为x， 则另外6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16， 可得， 当时，解得，故选项A不合题意； 当时，解得，故选项B不符合题意； 当时，解得，故选项C符合题意； 当时，解得，故选项D不合题意； 故选：C 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，设7个数中最小的数为x，得出另外的6个数分别为x＋2，x＋7，x＋9，x＋14，x＋15，x＋16，求得7个数之和为7x+63，结合选项，验证每一个选项，即可求解． 8．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意可知两种蔓的生长方向相反，相向而行，直到相遇， 墙高为9尺，转换成统一单位为90寸（因为1尺=10寸），瓜蔓每天长7寸，葫芦蔓每天长1尺（即10寸），设经过x天后两蔓相逢， 故可以列出等式：7x+10x=90，解出x的值，即两蔓相逢的天数， 根据题目要求，正确的等式为：7x +10x= 90， 故答案为：A. 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用， 将实际问题转化为数学模型，在解答过程中，要注意单位的统一，将所有数据转换为同一单位进行计算，以便于列出正确的等式，通过列出并求解等式，能够直观地看到问题的数学本质，从而找到解决问题的方法. 9．五水共治检查组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米才停下来休息．司机说：“再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了”．则A市到B市的路程为（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．1200千米 【答案】A 【解析】【解答】解：设AB两市相距x千米， 则由题可知：CA= x+50千米 BC= x﹣50千米 ∴BE= BC= x﹣ km CE= BC= x﹣ km AD= AC= （ x+50）= x+ DE=AB﹣AD﹣BE=x﹣（ x+ ）﹣（ x﹣ ）= x， ∵DE=400， ∴400= x， ∴x=600（km） ∴AB两地相距600千米； 故选A． 【分析】设AB两市相距x千米，根据题目的叙述用x表示出DE的长，即可求得答案． 10．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何? 其大意为：若3个人乘一辆车，则空 2 辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，求人数和车数.甲、乙两人所列方程如下，下列方程正确的是（　　） 甲：设车数为x辆，可列方程为3（x-2）=2x+9. 乙：设人数为y，可列方程为 A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【解析】【解答】解：设车数为x辆，根据“ 今有三人共车，二车空”可得人数为 3（x-2），根据“二人共车，九人步”可得人数为“2x+9 ”，根据人数不变列出方程 3（x-2）=2x+9.故甲正确； 设人数为y，根据“ 今有三人共车，二车空”可得车的数量为，根据“二人共车，九人步”可得车的数量为，根据车的数量不变列出方程故乙正确. 故答案为：C. 【分析】（1）设车数为x辆，分别根据“ 今有三人共车，二车空”、“二人共车，九人步”表示出人数，根据人数不变列出方程； （2）设人数为y，分别根据“ 今有三人共车，二车空”、“二人共车，九人步”表示出车数，根据车的数量不变列出方程. 二、填空题 11．一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，将两个数字对调后得到的新两位数比原来的两位数小36，原来两位数是 　 　． 【答案】62 【解析】【解答】解：设原来两位数的个位数字是x，则它的十位数字是， 根据题意得， 解得， 所以， 所以原来的两位是62， 故答案为：62． 【分析】设原来两位数的个位数字是x，则它的十位数字是，根据题意列出方程，求出x的值，再求出原来的两位数即可。 12．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管3 小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水，单独开放丙管4小时可放尽一池水.若甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管，则还需　 　小时可注满水池. 【答案】 【解析】【解答】解：设还需n小时可注满水池，设水池总水量为1. ∵单独开放甲管3 小时可注满一池水，单独开放乙管6小时可注满一池水， ∴甲管的注水速度为，乙管的注水速度为. ∵单独开放丙管4小时可放尽一池水， ∴丙管的放水速度为. ∵甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管， ∴可列方程+（+）n-n=1.解得n=. 故答案为：. 【分析】设还需n小时可注满水池，设水池总水量为1，先分别求出甲、乙、丙的各自的注水（或放水）速度，再根据“甲管先开放1小时，而后同时开放乙、丙两个水管”列出方程求解. 13．甲、乙两人在一条长400 m的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 m/ min，乙的速度是240 m/ min，两人同时同地同向跑，　 　min后甲、乙两人第一次相遇. 【答案】 【解析】【解答】解：设x min后甲、乙两人第一次相遇， 可列方程为，解得x=. 故答案为：. 【分析】设x min后甲、乙两人第一次相遇，根据同向跑，甲比乙多跑一圈才能追上乙，列出方程求解. 14．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走米，乙每分钟走米，丙每分钟走米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇分钟后，又与丙相遇那么，东、西两村之间的距离是　 　米 【答案】37800 【解析】【解答】解：设东、西两村之间的距离是x米， 根据题意可得：， 解得：x＝37800． ∴东、西两村之间的距离是37800米． 故答案为：37800． 【分析】设东、西两村之间的距离是x米，根据“甲与乙相遇，甲与丙相遇的时间差是6分钟”，列出方程，再求解即可. 15．刘俊问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”王老师今年　 　岁． 【答案】31 【解析】【解答】设王老师今年x岁，则刘俊今年（x+3）岁，依题意有 45-x=x-（x+3）， 解得x=31． 答：王老师今年31岁． 故答案为：31. 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设王老师今年x岁，则可以表示出刘俊今年（x+3）岁，不论怎么样变化年龄差是不会变的，据此可列出方程45-x=x-（x+3），解方程可求出x的值，进而可求出王老师今年的年龄 16．把若干本书分给甲乙丙三人．分给甲的书是总量的，分给乙的书是总量的，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍，最后还剩下11 本．那么，乙分得的书有　 　本． 【答案】7 【解析】【解答】解：设一共有x本书分给3人，则甲分得本书，乙分得本书，丙分得本书，由题意可得： ， 解得：x=28 ∴乙分得的书的数量：（本）． 故答案为：． 【分析】一共有x本书分给3人，则根据题意可得分给甲本书，分给乙本书，分给丙本，列方程求解得书本的总数量，再即可得到乙分得的本数. 17．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则　 　小时后水开始溢出水池． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得，打开甲水管1小时后池内的水为：，打开乙水管1小时后池内的水为：， 打开丙水管1小时后池内的水为：，打开丁水管1小时后池内的水为：， ∴第2次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第3次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第4次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， 第5次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：， ∴第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：，此时水溢出水池， 设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意，得， 解得：， ∴水开始溢出水池的时间为：（小时）， 故答案为：． 【分析】根据“要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时”的甲、乙、丙、丁每小时的进水、排水量，从而计算出第1次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水量，进而再计算后面的几次，直到发现水池内水的体积超过1，可求出第6次先打开甲水管1小时后池内的水溢出，接下来设第6次，甲打开小时，水池内的水正好满了，根据题意得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可求解水开始溢出水池的时间. 18．为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了　 　次“优秀”等级． 【答案】139 【解析】【解答】解：设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，根据题意， 得， 解得． 答：这学期小明回答问题获得了139次“优秀”等级． 故答案为：139. 【分析】设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，则获得了(240-x)次“一般”等级，根据“优秀”等级得分与“一般”等级得分之和为总积分列出方程，求解即可解答． 三、解答题 19．“丰收1号”油菜籽平均每公顷的产量为2400kg，含油率为40%.“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”平均每公顷的产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点. 某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少了3 hm2，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了3750kg. 这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷? 【答案】解：设这个村去年种植油菜的面积是x公顷，则这个村今年种植油菜的面积是(x-3)公顷，由题意得： 解得：x=20. ∴x－3=20－3=17（公顷）. 答：这个村去年种植油菜的面积是 ， 今年种植油菜的面积是 。 【解析】【分析】设这个村去年种植油菜的面积是x公顷，则这个村今年种植油菜的面积是(x-3)公顷，由“所产油菜籽的总产油量比去年提高3750kg”，列出一元一次方程，解方程即可， 20． A、B两地相距31千米，甲从 A地骑自行车去B 地，1小时后乙骑摩托车也从 A 去 B地.已知甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶28 千米. （1）问乙出发后多少小时追上甲? （2）若乙到达 B 地后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间? 【答案】（1）解：设乙出发后x小时追上甲， 由题意得12(x+1)=28x， 解得 答：乙出发后 小时追上甲 （2）解：设在返回路上与甲相遇时距乙出发y小时， 由题意得12(y+1)+28y=31×2， 解得 答：在返回路上与甲相遇时距乙出发 小时. 【解析】【分析】 (1) 设乙出发后x小时追上甲，根据“ 1小时后乙骑摩托车也从A去B地 ”可列出方程求解； (2)设在返回路上与甲相遇时距乙出发y小时，根据“ A、B两地相距31千米 ”列出方程求解. 21．某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作． （1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？ （2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？ 【答案】（1）解：由徒弟先做一天，剩下的工程天完成，根据题意得： ， 解得， 答：师徒二人共合作了2天； （2）解：师傅的工作量，则徒弟的工作量．即两人的工作量相等，所以他们平分报酬， ∴他们每人（元）． 【解析】【分析】（1）由徒弟先做一天，设剩下的工程天完成，根据题意，找出等量关系，列出方程，求得方程的解，即可得到答案； （2）由（1）的工作时间，求得师徒完成的工作量，结合师徒的工作量，进行分配，即可得到答案． （1）解：由徒弟先做一天，剩下的工程天完成，根据题意得： ， 解得， 答：师徒二人共合作了2天； （2）解：师傅的工作量，则徒弟的工作量． 即两人的工作量相等，所以他们平分报酬， ∴他们每人（元）． 22．某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：1名教师全部收费，其余7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠. （1）当学生人数等于多少时，甲旅行社与乙旅行社收费一样? （2）若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便 ，问学生人数是多少？ 【答案】（1）解：设当学生人数等于x时，甲旅行社与乙旅行社收费一样，全部收费为单位1， 甲旅行社的收费为1+0.75(x+1)元， 乙旅行社的收费为0.8(2+x)元， 可列方程为1+0.75(x+1)=0.8(2+x)， 解得x=3. ​​​​​答：当学生人数等于3时， 甲旅行社与乙旅行社收费一样 . （2）解：设学生人数为a，全部收费为单位1， 甲旅行社收费为1+0.75(a+1)元. 乙旅行社收费为0.8(a+2)元， 则0.8(a+2)-[1+0.75(a+1）]=， 解得 答：学生人数是8. 【解析】【分析】 (1) 设当学生人数等于x时，甲旅行社与乙旅行社收费一样，全部收费为单位1，先用x分别表示出“甲旅行社的收费”、“乙旅行社的收费”，根据“ 甲旅行社与乙旅行社收费一样 ”列方程求解； (2)设学生人数为a，全部收费为单位1，用a分别表示出“甲旅行社的收费”、“乙旅行社的收费”，再根据“ 甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便 ”列出方程求解. 23．某粮仓原有大米132吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨，记作吨；当天运出大米15吨，记作吨.）若经过这一周，该粮仓存有大米88吨 某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 （1）求的值. （2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用. 【答案】解：（1）， 解得； 故星期五该粮仓是运出大米，运出大米20吨； （2）， 故这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2700元. 【解析】【分析】（1）根据根据题意，列出方程，解方程求出m的值即可； （2）根据装卸总费用=装卸费用×装卸总量，列式计算即可. 24．2024年某市在进行“全国文明城市”创城期间，某校策划了“文明城、共参与”的知识竞赛，七（1）班为了给参赛同学准备奖品，让班长为班级购买奖品，下面是班长购买奖品后与生活委员的对话： （1）请用方程的知识帮助班长计算一下，为什么说班长搞错了. （2）班长连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是 2元或 3元，那么笔记本的单价是多少元? 【答案】（1）解：设单价为6元的水笔购买了x支，则单价为10元的水笔购买了(50-x)支，由题意，得6x+10(50-x)=500-78，解得 又∵x为整数， 不合题意，∴班长搞错了. （2）解：设单价为6元的水笔购买了m支，笔记本的单价为a元，则单价为10元的水笔购买了(50-m)支，依题意，得6m+a+10(50-m)=500-78，∴m=78+4a， 当a=2时，m=20，符合题意；当a=3时， 不为整数，舍去.故笔记本的单价是2元. 【解析】【分析】（1）设单价为6元的水笔购买了x支，先用x表示出购买单价为10元的水笔的数量，再根据共用去的钱的数量列出方程求解，再根据笔的数量为整数检验解的合理性； （2）设单价为6元的水笔购买了m支，笔记本的单价为a元，先m表示出购买单价为10元的水笔的数量，再根据共用去的钱的数量列出方程求解，分a=2，a=3两种情况讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $$