4.2 一元一次方程及其解法 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册

4.2 一元一次方程及其解法 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、一元一次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程。 2. 三要素： 只含有一个未知数 等号两边都是整式 未知数的次数都是1 3. 标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，且a≠0） 二、等式的基本性质 1. 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c（c为一个数或一个式子）。 2. 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么 = 三、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母 依据：等式的基本性质2 做法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 注意事项： 不要漏乘不含分母的项 分子是多项式时，去分母后应将分子作为整体加上括号 2. 去括号 依据：乘法分配律、去括号法则 做法：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（或反之） 注意事项： 括号前是负号时，括号内各项都要变号 不要漏乘括号内的常数项 3. 移项 概念：把方程中的某些项改变符号后，从一边移到另一边 依据：等式的基本性质1 目的：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 注意事项：移项要变号，区别于加法交换律（仅改变位置，不变符号） 4. 合并同类项 依据：合并同类项法则 做法：将同类项的系数相加，字母及指数不变 结果：化为ax=b（a≠0）的形式 注意事项：未知数及其指数不变，系数符号不要遗漏 5. 系数化为1 依据：等式的基本性质2 做法：方程两边同除以未知数的系数a 结果：x= 注意事项：不要颠倒分子分母位置 四、易错点与注意事项 1. 去分母：漏乘不含分母的项；分子是多项式时未加括号 2. 去括号：括号前是负号时漏变号；漏乘括号内常数项 3. 移项：忘记变号；与加法交换律混淆 4. 系数化为1：颠倒除数与被除数位置 5. 化小数分母为整数：依据分数基本性质（仅分子分母同乘），区别于去分母（等式两边同乘） 巩固练习 一、选择题 1．下列运用等式的性质变形正确的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若关于x的方程2x+6=a的解与-2x+5=4-3x的解相同，则a的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3．方程3x-5=4x+8经移项得3x-4x=8+5，这实际上是在方程两边都加上（　　） A．4x-5 B．4x+5 C．-4x-5 D．-4x+5 4． 下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（　　） A．方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2 B．方程-=1，去分母，得2-3(x-1)=1 C．方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-1 D．方程23x=32，系数化为1，得x=1 5．若k为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k 值有(　　). A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 6．将方程去分母后，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．小明在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（ ） A． B． C． D． 8．定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（　　） A．0 B．1 C．8 D．2 二、填空题 9．若代数式的值与的值互为相反数，则的值为　 　． 10．若关于x的方程的解是，则关于x的方程的解为　 　． 11．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　． 12．已知代数式mx+2m，当x取一个值时，代数式mx+2m对应的值如下表所示： x -1 -0.5 0 0.5 1 mx+2m 1 1.5 2 2.5 3 关于x的方程2mx +4m-3=0的解为　 　。 13．张明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致看不清楚，被污染了常数的这个方程是：，怎么办呢？张明想了一下，便翻看了书后的答案，知道了此方程的解是：，于是他很快就补出了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是　 　． 三、解答题 14．解方程： （1）； （2）． 15．已知关于x的方程 ，当a，b为何值时，方程满足下列条件? （1）方程有唯一解. （2）方程有无数个解. （3）方程无解. 16．小明解方程 由于粗心大意，在去分母时，方程右边的-3没有乘6，由此求得的解为x=2，试求 a的值，并求出原方程的解. 17．已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解． （1）求a的值． （2）求多项式的值． 18．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝1． ②去括号，得3x+3﹣4﹣6x＝1． ③移项，得3x﹣6x＝1﹣3+4． ④合并同类项，得﹣3x＝2． 方程两边同除以﹣3，得． （1）小聪的解答过程有错误，从第 　 　步开始出现错误（填序号）； （2）请写出正确的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 一元一次方程及其解法 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、一元一次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程。 2. 三要素： 只含有一个未知数 等号两边都是整式 未知数的次数都是1 3. 标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，且a≠0） 二、等式的基本性质 1. 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果a=b，那么a±c=b±c（c为一个数或一个式子）。 2. 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么 = 三、解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母 依据：等式的基本性质2 做法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 注意事项： 不要漏乘不含分母的项 分子是多项式时，去分母后应将分子作为整体加上括号 2. 去括号 依据：乘法分配律、去括号法则 做法：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（或反之） 注意事项： 括号前是负号时，括号内各项都要变号 不要漏乘括号内的常数项 3. 移项 概念：把方程中的某些项改变符号后，从一边移到另一边 依据：等式的基本性质1 目的：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 注意事项：移项要变号，区别于加法交换律（仅改变位置，不变符号） 4. 合并同类项 依据：合并同类项法则 做法：将同类项的系数相加，字母及指数不变 结果：化为ax=b（a≠0）的形式 注意事项：未知数及其指数不变，系数符号不要遗漏 5. 系数化为1 依据：等式的基本性质2 做法：方程两边同除以未知数的系数a 结果：x= 注意事项：不要颠倒分子分母位置 四、易错点与注意事项 1. 去分母：漏乘不含分母的项；分子是多项式时未加括号 2. 去括号：括号前是负号时漏变号；漏乘括号内常数项 3. 移项：忘记变号；与加法交换律混淆 4. 系数化为1：颠倒除数与被除数位置 5. 化小数分母为整数：依据分数基本性质（仅分子分母同乘），区别于去分母（等式两边同乘） 巩固练习 一、选择题 1．下列运用等式的性质变形正确的是（　　）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】【解答】解：A中，若，则，故A不符合题意； B中，若，则，故B不符合题意； C中，若，则，故C不符合题意； D中，若，则，故D符合题意. 故选：D 【分析】本题主要考查等式的性质，再等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等，据此逐项分析作答，即可得到答案. 2．若关于x的方程2x+6=a的解与-2x+5=4-3x的解相同，则a的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】【解答】解： -2x+5=4-3x， 移项，得-2x+3x=4-5， 合并同类项，得x=-1； ∵ 关于x的方程2x+6=a的解与-2x+5=4-3x的解相同， ∴将x=-1代入2x+6=a，得2×（-1）+6=a， ∴a=4. 故答案为：A . 【分析】根据解一元一次方程的步骤“移项、合并同类项”求出第二个方程的解；由于两个方程的解相同，从而根据方程解的定义把x=-1代入第一个方程可得关于字母a的方程，再解此方程即可. 3．方程3x-5=4x+8经移项得3x-4x=8+5，这实际上是在方程两边都加上（　　） A．4x-5 B．4x+5 C．-4x-5 D．-4x+5 【答案】D 【解析】【解答】解： ∴方程： 经移项得 这实际上是在方程两边都加上 故答案为： D. 【分析】根据等式的性质进而分析即可求解. 4． 下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（　　） A．方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2 B．方程-=1，去分母，得2-3(x-1)=1 C．方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-1 D．方程23x=32，系数化为1，得x=1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2，A正确； B、方程-=1，去分母，得2-3(x-1)=6，B错误； C、方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x+5，C错误； D、方程23x=32，系数化为1，得x=，D错误. 故答案为：A. 【分析】根据解一元一次方程的步骤判断即可. 5．若k为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整数的k 值有(　　). A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【答案】D 【解析】【解答】解： (k-1999)x=2001-2000x， 解得：为整数， 又2001=1×3×23×29，k+1可取±1，±3，±23，±29，±(3×23)，±(3×29)，±(23×29)，±2001共16个值， 即相应的k 值也有16个. 故答案为：D. 【分析】先将方程整理为用k表示x的形式，再根据x为整数，得出k + 1是2001的因数，通过列举2001的所有因数确定k的个数. 6．将方程去分母后，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： 去分母为 故答案为：D 【分析】去分母即可求出答案. 7．小明在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：把代入到 ∴ ∴原方程为： ∴ 故答案为：D. 【分析】根据题意把代入到即可求出m的值，进而得到原方程为解方程即可求解. 8．定义：若，则称与是关于的关联数.例如：若，则称与是关于2的关联数；若与是关于4的关联数，则的值是（　　） A．0 B．1 C．8 D．2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵2x−1与3x−5是关于4的关联数， ∴（2x−1）−（3x−5）＝4， 去括号，得2x−1−3x＋5＝4， 移项，得2x−3x＝4＋1−5， 合并同类项，得−x＝0， 系数化成1，得x＝0． 故答案为：A． 【分析】根据“关联数”的定义可得（2x−1）−（3x−5）＝4，再利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可. 二、填空题 9．若代数式的值与的值互为相反数，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵3a+1与3(a-1)互为相反数 ∴3a+1+3(a-1)=0 ∴6a-2=0 【分析】本题考查相反数的性质和解一元一次方程，首先熟知互为相反的两个数相加为0，根据题意可列出3a+1+3(a-1)=0，其次解这个一元一次方程即可得出答案. 10．若关于x的方程的解是，则关于x的方程的解为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：把x=b代入得： ， 整理，得：a=2b-8， 把a=2b-8代入 方程中，得： ， 解得：x=-4. 故答案为：x=-4. 【分析】首先把x=b代入得： 得a=2b-8，然后再把a=2b-8代入 方程中，得：，解方程即可得出x=-4. 11．小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，， 解得， ∴ =. 故答案为：． 【分析】根据看错的计算结果，得到关于☆的方程求出☆，再代入待求代数式中求解． 12．已知代数式mx+2m，当x取一个值时，代数式mx+2m对应的值如下表所示： x -1 -0.5 0 0.5 1 mx+2m 1 1.5 2 2.5 3 关于x的方程2mx +4m-3=0的解为　 　。 【答案】x=-0.5 【解析】【解答】方程 2mx +4m-3=0变形可得： 2(mx +2m)=3，进而可得： 观察表格可得：当x=-0.5时， mx+2m 的值为1.5 据此可得：方程的解为x=-0.5 所以方程2mx +4m-3=0的解为x=-0.5 故答案为；x=-0.5 【分析】本题考查一元一次方程的解.先对方程进行变形可得：，观察表格可得当x=-0.5时， mx+2m 的值为1.5，利用方程解的定义可求出方程2mx +4m-3=0的解. 13．张明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致看不清楚，被污染了常数的这个方程是：，怎么办呢？张明想了一下，便翻看了书后的答案，知道了此方程的解是：，于是他很快就补出了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是　 　． 【答案】-4 【解析】【解答】解：设被污染的常数为a， ∵关于y的一元一次方程3y-=-y+a的解为：y=-1， ∴a=-4. 故答案为：-4. 【分析】把方程的解代入方程求出被污染的常数即可. 三、解答题 14．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； ​​​​​​​ （2）解： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得． 【解析】【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次方程即可． （1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得． 15．已知关于x的方程 ，当a，b为何值时，方程满足下列条件? （1）方程有唯一解. （2）方程有无数个解. （3）方程无解. 【答案】（1）解： 方程有唯一解时，， 即：a≠2，b为任意实数 （2）解： 方程有无数个解时， ∴ （3）解： 方程无解时， ∴​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）方程 有唯一解 ，系数不等于零，求解即可； （2） 方程有无数个解时，，计算求解即可； （3）方程无解时，，求解即可. 16．小明解方程 由于粗心大意，在去分母时，方程右边的-3没有乘6，由此求得的解为x=2，试求 a的值，并求出原方程的解. 【答案】解：在去分母时方程右边的-3漏乘了6， 此时变形为2(2x-1)=3(x+a)-3， 将x=2代入，得2(2×2-1)=3(2+a)-3 解得a=1，则原方程应为 去分母，得2(2x-1)=3(x+1)-18， 去括号，得44x-2=3x+3-18， 解得x=-13. 【解析】【分析】先根据题意解方程可得a=1，则原方程应为 ，再解方程即可求出答案. 17．已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解． （1）求a的值． （2）求多项式的值． 【答案】（1）解：6－x＝， 去分母得：12－2x＝x＋3， 移项合并得：－3x＝－9， 解得：x＝3， 把x＝3代入a－2(4－x)＝5a得：a－2＝5a， 解得：a＝． （2）解：当a＝时，原式＝－2 【解析】【分析】(1)解方程 6－x＝得x=3，代入 a－2(4－x)＝5a ，计算求解即可； （2）由（1）得a＝，代入多项式，计算求解即可. 18．小聪在解方程时，步骤如下： ①去分母，得3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝1． ②去括号，得3x+3﹣4﹣6x＝1． ③移项，得3x﹣6x＝1﹣3+4． ④合并同类项，得﹣3x＝2． 方程两边同除以﹣3，得． （1）小聪的解答过程有错误，从第 　 　步开始出现错误（填序号）； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）① （2）解：原方程去分母得：3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝6， 去括号得：3x+3﹣4+6x＝6， 移项得：3x+6x＝6+4﹣3， 合并同类项得：9x＝7， 系数化为1得：x＝． 【解析】【解答】解：第 ①去分母时，方程右边的1漏乘。因此从第①步开始出现错误。 故答案为：①。 【分析】（1）两边同时乘以6去分母，但方程右边的1没有乘以6，据此判定即可； （2）解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，据此求解即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$