精品解析：江苏省淮安外国语学校2024-2025学年八年级下学期6月检测数学试题

初二数学作业（2） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义下列纹样中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各式：，，，中，分式共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（ ） A. B. C. D. 5. 点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（     ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，设，，且是定值．点是上一点，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则的值为__________． 10. 函数中，自变量x的取值范围是____． 11. 化简：_______________． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是________． 13. 已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 14. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是__________． 15. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____． 16. 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 三、解答题（共11题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中a满足． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 21. 定义新运算：，例如：，．若，求x的值． 22. 我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）化简：________； （2）计算：； （3）计算： 23. 如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 24. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，为与网格线的交点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中依次完成下列画图： （1）在图1中，在网格中找格点M，连接，使得； （2）在图2中，先画线段，使，且，再过点画的垂线，垂足为． 25. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 26. 直线：分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点、． （1）若，则x的取值范围是 ； （2）若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为6时，求点P坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分，包含边界），若直线：与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 27. 角平分线的探究： （1）如图，为的角平分线，交于点E，证明：； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点P在线段上，点Q在x轴上方，且， 当时，求的最小值； （3）如图，已知沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边的中点M处，且，求； （4）如图，在中，，的平分线相交于点E，过点E作交于点F，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学作业（2） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义下列纹样中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握其定义，数形结合，找出对称轴中心是关键． 中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义，结合图形，找出对称中心即可求解． 【详解】解：选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形． 选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列各式：，，，中，分式共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 3. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可，被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数不含分母的二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 5. 点都在反比例函数的图像上，并且，下列各式中，正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数图象性质是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵， 点在第二象限，点在第四象限， ∴，， ． 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 8. 如图，在中，，设，，且是定值．点是上一点，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，，，，作交于点，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据勾股定理求得，进而根据不是定值可得不是定值，进而证明是等腰直角三角形，证明得出，则不是定值，进而求得得出是定值，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，作交于点， ∵，，， ∴ ∴不是定值， ∵在中，，点为中点， ∴，则不是定值， ∴， 根据旋转可知：，， ∴和为等腰三角形，， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴，，， ∵， ∴， ∴，则不是定值， ∴ ∵是定值， ∴为定值， ∵不是定值，不是定值，不能根据得出唯一的 ∴不是定值 综上分析可知，为定值， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据等式的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，且）的图象经过点和，则的值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，掌握函数值的计算是关键． 根据题意，算出的值即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：0 ． 13. 已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 【详解】解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 14. 如图，在平行四边形中，点是边上的一点，连结交于点；若，面积为8，则平行四边形的面积是__________． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．由，得到，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴，， ∴的面积是， ∴平行四边形的面积是， 故答案为：140． 15. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2， ∴AB=，AC：BC=1：2， ∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2， 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形， ∵===， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠DEF=∠C=90°， ∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16. 如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 三、解答题（共11题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序为解题关键 （1）先算乘除法，以及运用平方差公式算乘法，再算加减法即可； （2）先算零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，再合并同类项即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程即可； （2）利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验的过程求解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时， 分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，一元二次方程的求解，完全平方公式的运用，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足得，然后整体代入进行计算即可． 【详解】解： ， a满足， ∴， 当时代入求值， 原式． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 21. 定义新运算：，例如：，．若，求x的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：， 而， 当时，，解得：或（舍去） 当时，，解得： 或． 22. 我们知道形如的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． （1）化简：________； （2）计算：； （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给例子进行分母有理数即可； （2）根据题目所给例子进行分母有理化即可； （3）根据题意找出相应规律，然后计算求解即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵， ， ∴ ∴原式 ． 23. 如图，在中，，点分别在边上，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2）的长为2或4． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 24. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，为与网格线的交点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中依次完成下列画图： （1）在图1中，在网格中找格点M，连接，使得； （2）在图2中，先画线段，使，且，再过点画的垂线，垂足为． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图， 【解析】 【分析】本题考查格点作图，平移变换、相似三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理，利用网格的特点是解答本题的关键． （1）根据图形，将线段先向下平移3个单位长度，然后向右平移一个单位长度得到线段； （2）如图，取格点，连接，，取与网格线的交点，连接，则线段即为所求，取格点，可知格点在上，连接，取格点，，可知，连接交于，则即为所求． 【小问1详解】 解：将线段先向下平移3个单位长度，然后向右平移一个单位长度得到线段； 点M即为所求； 【小问2详解】 取格点，连接，，由网格的特点可知四边形为平行四边形，则，， 取与网格线的交点，连接， 由网格的特点可知，，，，则 ∵， ∴四边形为平行四边形，则，， 则线段即为所求， 取格点，可知格点在上，连接， 由勾股定理可知，，， ∴，则， ∴， 取格点，，可知，连接交于， ∴， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，则即为所求． 25. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 【答案】（1） （2）当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，根据每增加1元，每天的销售数量将减少10件，每天的销售数量将减少10件列出代数式即可； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则每件的销售利润为元，每天可销售，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，可列出关于y的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元， 则当天销售量为件， 故答案为：； 【小问2详解】 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（）， 则当天的销售量为件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元． 26. 直线：分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点、． （1）若，则x的取值范围是 ； （2）若点P是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为6时，求点P坐标； （3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分，包含边界），若直线：与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数，可得a，进一步利用反比例函数的解析式求得点B，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）依据题意，画出图形，分两种情况，情况一：直线与反比例函数的图象交于点，，在点A上方的双曲线上取一点P，过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，过点B作轴于点G，连接；情况二：直线与反比例函数的图象交于点，，在点B右侧的双曲线上取一点P，过点P作轴于点G，过点B作轴于点F，过点A作轴于点E，连接，根据面积列式求解即可得到答案； （3）根据题意分析出是平行于的动直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点G的时候，此时直线与y轴的交点是点E；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点H的时候，此时直线与y轴的交点是点F；在这两者之间的与封闭图形有交点，G、H关于点M对称，即有M为的中点，如图所示，求出点G，再借助于G、H关于点E对称，得到，求出过点G、点H时的t的值，即可得解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数， 将点A的坐标代入，得， ， 反比例函数为， 又在反比例函数， ，即， 由图可知当时，或； 【小问2详解】 点，在直线上 ，解得：， 直线的解析式为； ①直线与反比例函数的图象交于点，，在点A上方的双曲线上取一点P，过点P作轴于点E，过点A作轴于点F，过点B作轴于点G，连接，如图所示： 设点， ， 面积为6， ，则， 解得：； ②直线与反比例函数的图象交于点，，在点B右侧的双曲线上取一点P，过点P作轴于点G，过点B作轴于点F，过点A作轴于点E，连接，如图所示： 设点， ， 面积为6， ，则， 解得：， ， 或； 【小问3详解】 依据题意，直线平行于直线，上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点G的时候，此时直线与y轴的交点是点E；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点H的时候，此时直线与y轴的交点是点F；在这两者之间的与封闭图形有交点，G、H关于点M对称，即有M为的中点，如图所示： 由题意，则， 当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根， ，解得：或（由图可知，负数舍去）， 此时，与y轴的交点， ， ， ∴由直线的对称性可知，， 此时，与y轴交点． ． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数解析式、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积方法、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、函数交点个数与一元二次方程解的关系、直线平行的性质、点的对称等知识，熟记一次函数及反比例函数图象与性质、数形结合，熟练掌握并能灵活运用相关性质求解是解决问题的关键． 27. 角平分线的探究： （1）如图，为的角平分线，交于点E，证明：； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，动点P在线段上，点Q在x轴上方，且， 当时，求的最小值； （3）如图，已知沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边的中点M处，且，求； （4）如图，在中，，的平分线相交于点E，过点E作交于点F，求的值． 【答案】（1） 证明：为的角平分线， ， ， ； （2）的最小值为 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得以及两直线平行内错角相等可得到，从而得到，根据等角对等边即可得出结论； （2）取的中点D，连接，根据三点坐标得到，，，利用勾股定理求出的长，判定出是等边三角形，通过角度关系得到，连接，即当D、Q、B在一条直线上时， 的值最小，最小值为的长，过点D作于点E，通过含30度角的直角三角形特征以及勾股定理最后求解求出即可； （3）设与交点为D，过M作交于F，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，由翻折变换的性质得出：，同理由三角形中位线定理得出，设，则，，得出，，利用勾股定理求出即可得出结果； （4）延长交于点D，作于点G，作于点H，由可证四边形是矩形，由角平分线可得，从而知四边形是正方形，再证、得，根据勾股定理求出的长，设，则、，得出，，再证可得，，根据即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点D，连接， ， ，，， ，， 是等边三角形， 又， ， 又 ， 点O与点D关于对称， 连接，即当D、Q、B在一条直线上时，的值最小，最小值为的长，过点D作于点E， ， ， ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，设与交点为D，过M作交于F，如图所示： 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， 由翻折变换的性质得：， 同理：是的中位线， ， 设，则，， ，， 在中，， 【小问4详解】 解：如图，延长交于点D，作于点G，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， 平分、平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， 设，则、， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形特征，中位线的性质，坐标与图形，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $