专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中几何常考点之一，主要是考查学生对圆的性质理解，学会从所给条件中找出共圆的条件，然后就可以应用圆的相关知识点，加强学生对辅助线添加的理解，从而将难题简单化；四点共圆问题一般会出现选择题、填空题的压轴题，难度较大，需要我们分析题意后准确做出辅助线，解答题也会考查相关的四点共圆性质，但难度相对小一点。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （2025·福建南平·一模）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理的推论作答即可； （2）假设点在外，设交于点，连接，利用反正法，根据圆周角定理及三角形的外角性质即可得解； （3）延长至点，使得，过点作于，证明得，再利用勾股定理及 30 度直角三角形的性质得，从而得，进而即可得解． 【详解】解：（1）同弧所对的圆周角相等； （2）证明：如图3，假设点在外，设交于点，连接， 点在上， ， 在中，， ， 这与已知条件矛盾， 点不在外； （3）解：的值不会发生改变；理由如下： 已知四边形中，，若，平分，记，延长至点，使得，过点作于， ，，，四点在同一个圆上， 平分， ， ， ； ，，，四点在同一个圆上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 平分，， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理，反证法，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义，熟练掌握勾股定理， 30 度直角三角形的性质，圆周角定理是解题的关键． （2025·内蒙古通辽·一模）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而得，已知不符，所以假设不成立； （）由可得四点共圆，即得，为直径，进而得，得到，再由得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； （3）解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，在中，，， ， 点分别是和的中点，，，，， ，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴，∵， ∴，是直角三角形，且， ，， 在和中，，，， ，∴．∴故答案为：． 例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 【答案】C 【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知： OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上． A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意． B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意． C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意． D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C． 例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆， ∴，∴，∴是等边三角形； ②解：作于H，∵，∴， 在中，∵，∴，∴． 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 例2（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，        ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 例3（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 【答案】A 【分析】由，推出点四点共圆，连接，根据勾股定理求出，过点A作于E，连接，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推论证得，且共线，过点O作于F，则，通过勾股定理求得，根据中位线求得，最后根据 求得结果． 【详解】解：在四边形中，， 四点共圆，设圆心为O， 连接，则是直径， 在中，，， ， 过点A作于E， ， 连接，则， 共线， 在中，， ， ， 在中，， 过点O作于F，则， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、三线合一、等边对等角等）、直角三角形的性质（勾股定理等）以及四点共圆的判定和性质，三角形的中位线定理，垂径定理的推论等知识，解题的关键在于证明四点共圆的条件，通过共圆得到角之间的关系，再结合等腰三角形和直角三角形的特性进行推理计算．同时，构造辅助线将复杂的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，运用三角形的性质和定理求解 ． 例4（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，， ． 【答案】/ 【分析】如图，连接，则，可证是等腰直角三角形，，如图，延长交的延长线于，则，，如图，将绕着点逆时针旋转到，连接，证明，则，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，可求，由，可得，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交的延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记圆内一点到圆上的最长距离是该点到圆心的距离加上半径是解题的关键． 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M、N的坐标，进而可得出的长度及点E的坐标，结合点C的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最大值． 【详解】解：如图， 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最大， 由得，时，；时，； ，， ，， ， ∵点E为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴长度的最大值是9． 故答案为：9． 例2（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 例3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据面积公式求解即可． 【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示： 点P为内一点，且满足． ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题． 例4（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形是的内接四边形，， ，E为上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，作的外接圆，圆心为F，连接，，，过点作于，交的延长线于，先求出，，进而得优弧的度数为，则劣弧的度数为，故，由此得出为等腰直角三角形，进而可求出，，证四边形为正方形，得，继而得，由勾股定理求得，再由，可得出当点B，E，F在同一条直线上时，为最短，其长度为，据此可得出答案． 【详解】解∶连接，作的外接圆，圆心为F，连接，，，过点作于，交的延长线于，如图所示： ，， 为直径，， ， ， ， 点为的外接圆的圆心， ， ， 优弧的度数为， 劣弧的度数为：， 圆心角， 为等腰直角三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 又，， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 当在同一条直线上时，为最短， 其长度为， ∴的最小值为， 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，构造的外接圆，利用圆的相关性质确定最短时的位置是解决问题的关键． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5） 【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解； （2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解； （3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得； （4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解； （5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解． 【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于， 连接，则． 四边形是的内接四边形， ， ， 与矛盾，故点C不可能在圆内， ∴点C在圆上， ∴点A、B、C、E四点在同一个圆上； （2）如图，作经过点A、B、D的， 在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，， 则， ， ． 点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上， 点A、B、C、D四点共圆； （3）∵， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴， 故答案为：30； （4）由对称可知，， ， ， 由（2）可知，点A、、E、C四点共圆． ， 中，， ； （5）如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴，弦最大值是直径长， 以为边在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴A，E，D三点共线， ∴， ∵四边形周长， ∴当是直径时，四边形的周长有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点． 例2（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补． 如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为． 下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接． 缺失（1） 在与中， ， ∴． ∴， ，， 又， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 【答案】【问题背景】；【问题探究】见解析；【结论应用】 【分析】问题背景：根据圆内接四边形对角互补求解即可； 问题探究：延长至点使，连接．先证明，根据证明得，证明为等边三角形得，进而可求出的度数恒为； 结论应用：延长至点使，连接，．由得，结合可证，进而可证是直径，要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：问题背景：∵点、、、均为上的点，， ∴． 故答案为：； 问题探究：证明：延长至点使，连接． ∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴． 结论应用：延长至点使，连接，． 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是直径， ∴， ∴． ∵四边形的周长， ∴要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值， ∴当过圆心时，取得最大值，的最大值为， ∴四边形周长的最大为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长的弦等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例3（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明； （3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，理由： 延长交于点，连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 即， 故（1）的结论不成立． （3）解：∵，四边形的内角和为1， ∴， 即四边形四点共圆， 分别过点A、C作于点M，于点N，如图：    则四边形面积 故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大， 连接、， ∵， ∴， 又∵， 故为等边三角形， ∴， 则， 则四边形面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的性质是解题的关键． 例4（24-25九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【答案】（1）①，③（2） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而． 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：   ， ， ， ， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上， ，，，，共圆， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂阅读材料，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 1．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 2．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵为中点， ∴, ∴∠ADB=∠ABD，AB=AD， ∵， ∴∠CBD=∠ADB=∠ABD， ∵四边形内接于， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补． 3．（2025九年级·浙江·专题练习）如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得． 【详解】弧、弧的长度分别为、 圆的周长为 （圆内接四边形的对角互补） 弧所对圆心角的度数为 则弧的长度为 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键． 4．（24-25九年级·重庆沙坪坝·自主招生）如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为 ．    【答案】// 【分析】连接，延长交与点H，作，垂足为F．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，利用三角形的面积求出，得到的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，延长交与点H，作，垂足为F．    ∵在中，，点D是边的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得． ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴． ∵， ∴为直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高． 5．（2024·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值． 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆， 点在上运动 ，的半径为 ∴ 又∵， ∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心， 设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题的关键． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 8．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 9．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H． ∵， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴劣弧所对的圆心角：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BP的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出，属于中考填空题中的压轴题． 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于，此时的值最小；根据勾股定理求得问题可求． 【详解】解：∵，G是EF的中点，则有， 则点在以圆心，1为半径的圆在长方形内的弧上运动． 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以1为半径的圆于点， 由两点之间线段最短，此时的值最小， 则的最小值= 且， 则的最小值． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了最短路径问题，点与圆的位置关系，轴对称图形的性质以及勾股定理．关键在于将所求折线和转化两定点之间的连线长问题． 11．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形的三点共圆，圆外一点到圆上的最短距离等知识点，先确定点的运动轨迹，再根据圆外一点到圆上的最短距离是这点与圆心的连线的交点，根据勾股定理求得结果即可； 【详解】解：如图所示， ∵，为矩形内一点， ∴点相等于是以为直径，点为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴的最小值就是连接，交半圆与点，即此时为最小值， 在矩形中， ∴， 又∵， ， ∴， ∴． 12．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【答案】(1)=，= (2)图4：点C在圆的内部时，，证明见解析；图5：点C在圆的外部时，，证明见解析； (3)作图见解析， 【分析】1）根据测量结果以及四边形的内角和解答即可； （2）图4：点C在圆的内部时，如图：连接，然后三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合四边形内角和为即可解答；图5：点C在圆的外部时，同理可解； （3）如图：连接，作、的垂直平分线，其交点O为圆心，然后画出圆即可完成作图；先说明，再说明A、B、C、D三点在上，再根据同圆中等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）解：经测量：； ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A，B，D三点在上， ∴A，B，C、D三点在上， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、圆的内接四边形、三角形外角的性质、圆周角定理、外接圆的作法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，   ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，   ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，   ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 14．（2025·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积． (3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 【答案】(1)在 (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质及折叠的性质得：，则四点B、C、E、F共圆，从而可得答案； （2）由圆内接四边形的性质、勾股定理即可求得四边形的面积； （3）过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F，易证，则，从而可分别求得的面积，两个面积之差即可所求的结果． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴四点B、C、E、F共圆， ∴点B在点C、E、F确定的圆上， 故答案为：在； （2）解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，， ； （3）解：如图，过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F， 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，有一定的综合性，熟练掌握这些知识并正确运用是关键． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，四点共圆的条件，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论； 【详解】解：如图，连接， ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 【答案】（1）圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）①详见解析 ②详见解析 【分析】本题考查四点共圆，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质，确定圆的条件解决问题即可； （2）①根据旋转的性质，等腰三角形的性质推出A，C，B，D四点共圆； ②根据点A，C，B，D四点共圆，得到，求得，根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形的对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：设交于点O． 由旋转变换的性质可知 ， ， ， ∴点A，C，B，D四点共圆； ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】 （1）①根据全等三角形的性质可得，根据，进而得出，即可得出； ②根据四边形对角互补，可得四点共圆； （2）连接，过点D作于点H，勾股定理求得，进而得出，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴ ， ， ， ， ； ②证明： ， ， ， 四点共圆； （2）解：如图，连接，过点D作于点H， ， ， ，， ，， 四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换． 【翻折】 (1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是______． ①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆． 【平移】 (2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由． 【旋转】 (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm． 【答案】(1)①③④ (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据翻折的性质可得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质可证明结论； （3）根据平行线的性质可得，从而可求出旋转角；由旋转的性质可得，得出，过点C作于点P，求出的长即可得出结论． 【详解】（1）由翻折可得：， ∴平分、，故①正确； ∴, ∵ ∴垂直平分，故②错误； 如图， ，故③正确； 取的中点O，连接, ∵均为直角三角形， ∴， ∴、、、四点共圆，故④正确， 故答案为：①③④； （2）∵沿线段向左平移， ∴，． ∵是直角三角形，是的中点， ∴． ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （3）∵， ∴, 又， ∴， 即旋转角的度数为； 由旋转得：， 又， ∴ 过点C作于点P，如图， ∴ ∵, ∴ ∴由勾股定理得，， ∴ 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了图形的翻折，平移的性质，旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四点共圆以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 20．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)， (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，证明即可求证； （2）由（1）可知，在，中即可求解；根据定理一，可知四点共圆，由此即可求解； （3）根据定理二，如图所示（见详解），，证明是等腰三角形，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在，， ∴在中，， ∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同， ∴， 故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，， ∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即， ∴是等腰三角形，且， ∵是外角， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰三角形的性质是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中几何常考点之一，主要是考查学生对圆的性质理解，学会从所给条件中找出共圆的条件，然后就可以应用圆的相关知识点，加强学生对辅助线添加的理解，从而将难题简单化；四点共圆问题一般会出现选择题、填空题的压轴题，难度较大，需要我们分析题意后准确做出辅助线，解答题也会考查相关的四点共圆性质，但难度相对小一点。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 14 16 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。 （2025·福建南平·一模）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图2，假设点在内，延长交于点，连接 点在上， ∴（_____） 在中， 这与已知条件矛盾 点不在内 如图3，假设点在外，； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____； （2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）如图4，已知四边形中，，若，平分，记，的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． （2025·内蒙古通辽·一模）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 1.定点定长共圆模型（圆的定义） 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型） 2.定边对双直角共圆模型 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 3.定边对定角共圆模型 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 4.对角互补共圆模型 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（   ） A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180° 例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 模型2.定边对双直角共圆模型 例1（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 例2（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 例3（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 例4（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，， ． 模型3.定边对定角共圆模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，点，则长度的最大值是 ． 例2（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 例3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形是的内接四边形，， ，E为上一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 模型4.对角互补共圆模型 例1（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 例2（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补． 如图①，点、、、均为上的点，，则有______°； 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为． 下面是小初的证明过程： 证明：延长至点使，连接． 缺失（1） 在与中， ， ∴． ∴， ，， 又， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 缺失（2） 请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______． 例3（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 例4（24-25九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    1．如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 2．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·浙江·专题练习）如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级·重庆沙坪坝·自主招生）如图，在中，，点D是边的中点，连接，将沿直线翻折得到，连接．若，则线段的长为 ．    5．（2024·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 9．（24-25九年级下·湖南衡阳·自主招生）如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别是，边上的两动点，且，点G为的中点，点H为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 11．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 12．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 14．（2025·陕西渭南·一模）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积． (3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 15．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】 如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示： 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上． ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】 （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1：；依据2：． 【拓展延伸】 （2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程： ①证明：A，D，B，C四点共圆； ②证明： 18．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时， ①求的度数； ②利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 19．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换． 【翻折】 (1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是______． ①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆． 【平移】 (2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由． 【旋转】 (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm． 20．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 16 / 30 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