精品解析：湖北省孝感高级中学2025-2026学年高三上学期7月测试数学试卷

孝感高中2023级高三年级测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 27 7. 已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 时，的增区间为 B. 是值域为的充要条件 C. 存在，使得为奇函数或偶函数 D. 当时，的定义域不可能为 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（　） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 13. 已知集合，集合.若，则实数的取值范围为_____. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 16. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 17. 已知函数在上的最大值为，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的取值范围. 18. 已知函数 （1）求函数的奇偶性. （2）求函数的最小值. （3）设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 19. 设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. （1）判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由；（表示不超过的最大整数） （2）若函数是关联的，且在上，，解不等式； （3）已知正实数满足，函数是关联的，且，求的解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高三年级测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抽象函数定义域的求解原则求出函数的定义域，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则，所以，函数的定义域为. 对于函数，有，解得且. 因此，函数的定义域为. 故选：C. 2. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C． 5. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值. 【详解】由题意，， 所以）， 即．又，所以． 因为，所以． 故选：B． 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定函数定义域取值情况，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数，即可得. 【详解】由题设，的值域为，则或或， 结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从、、中各取至少一个数， 所以共有种. 故选：D 7. 已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解. 【详解】由题意，不妨令，；，， ①当时，在上单调递减， 在上单调递减，易知在上的值域为， 又因为存在最小值，只需，解得，， 又由，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为存在最小值，故， 即，解得，，这与矛盾； ③当时，，易知的值域为，显然无最小值； ④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围． 【详解】已知，其定义域为， 则， 令，即，则，解得． 当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 令，则， 函数恰有个不同的零点， 即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，， 且其中一个根为，另一个根． 则，解得 . 实数的取值范围是． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可. 【详解】如图所示： 由图可得，故A正确；集合不是的子集，故B错误； ，故C错误；，故D正确． 故选：AD. 10. 已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 时，的增区间为 B. 是值域为的充要条件 C. 存在，使得为奇函数或偶函数 D. 当时，的定义域不可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复合函数单调性判断A，根据真数取遍所有正数可判断B，利用奇偶性定义判断C，根据定义域可判断D. 【详解】当时，在上单调递增，故A正确； 当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确； 的定义域是不等式的解集，不论实数取何值， 定义域都是无限集，要使为偶函数，则， 于是，即对定义域内的实数恒成立，， 但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数， 则，即，于是， 即，该式不能恒成立.综上，错误； 的解集为，等价于，即， 所以当时，的定义域不可能为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（　） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】综合应用函数与方程的根，结合二次函数和基本不等式的知识可得答案. 【详解】作出在上的图象，如图所示： 对于A，因为， 又因为方程有四个互不相等的实数根，所以，故A错误； 对于B，由题意可得，，且有，，所以， 故，当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由题意可得，由A可知， 所以，故C错误； 对于D，由题意可知与关于直线对称，且，，所以，故. 因为，所以. 又因为， 所以，在上单调递减， 故, 所以，，所以. 因为，，所以， 在单调递增，所以，故， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知集合，集合.若，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后根据并集的定义求出的取值范围即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的性质可得，即. 所以集合. 因为集合， 对于，都成立，当时等号成立； 当时，，则集合， 当时，集合，即. 因为，所以. 当时，符合题意，此时； 当时，为满足题意，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在区间上的最值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值是18，最小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再求出在指定区间上的最值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再利用导数，结合函数的零点个数求出的范围. 【小问1详解】 函数，，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 所以函数的最大值是18，最小值. 【小问2详解】 设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解， 即直线与函数的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以实数的取值范围是. 16. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 【答案】（1）R； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【小问1详解】 时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； 【小问2详解】 ，即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 17. 已知函数在上的最大值为，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，通过对和讨论确定的值，再代入，利用对数函数的单调性求值域即可得解； （2）通过换元，，构造，将问题转化为，在有解，通过参变分类结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 令，则， 当时，，，（舍） 当时，，，满足， 故． ，，， 故集合 【小问2详解】 由集合，， 设，，则 故， 设 由题意得，，在有解， 故在有解， 所以，当且仅当时取等号. 18. 已知函数 （1）求函数的奇偶性. （2）求函数的最小值. （3）设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）偶函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【小问1详解】 显然的定义域为，， ，为偶函数. 【小问2详解】 ，当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. 【小问3详解】 ，当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则， 方程仅有两个不同的实数根，不合题意. 所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 19. 设是一个定义域为的函数.若是的一个非空子集，且对于任意的，都有，则称是关联的. （1）判断函数和函数是否是关联的，无需说明理由；（表示不超过的最大整数） （2）若函数是关联的，且在上，，解不等式； （3）已知正实数满足，函数是关联的，且，求的解析式. 【答案】（1）函数不是关联的，函数是关联的； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据是关联的定义逐个判断可得结果； （2）根据函数是关联的定义求出在上的解析式，将代入求解； （3）根据，得，令，得对任意恒成立，由此推出为常数函数，可得，. 【小问1详解】 若满足关联，则需满足恒成立. 对于函数，不恒等于， 故不是关联的； 对于函数，恒成立， 故是关联的； 【小问2详解】 由题意得函数满足恒成立， 当时，，当时，， 所以. 得，或，解得，或， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由题意，对任意，，则， 即对任意，，，其中. 任取，则，故， 又对任意，一定存在正整数使得， 此时， 因此存在实常数，使得，又，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $