第22章《二次函数》单元试题 2025--2026学年人教版九年级数学上册

九年级数学试卷 第22章 一元二次方程 综合练习 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列函数中是二次函数的是（　　） A．y＝x B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝ax2+bx+c D．yx 2．二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．﹣3或1 5．抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3 6．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（6，y3）都在二次函数y＝﹣4（x﹣3）2+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 7．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+11．若“水火箭”的升空高度为4.75m，则此时的飞行时间为（　　） A．0.5s B．2.5s C．12.5s D．0.5s或12.5s 8．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2） 9．若点P（﹣2，y1），M（2，y2），N（5，y3）在二次函数y＝﹣ax2+6ax﹣7的图象上，下列数量关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＝y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线顶点坐标为（2，﹣16）．则下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣b＝0； ③a+b+c＞0； ④； ⑤ax2+（b﹣k）x+c+2k+15＝0（k为实数）有两个不等实根． 正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　 　 ． 12．已知是二次函数且当x＞0时y随x的增大而增大，则a的值为　 　 ． 13．抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 　 　 ． 14．若抛物线y＝x2﹣2x+c（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是　 　 ． 15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　 　 米． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当d﹣n＝1时，则m的取值范围为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．若是关于x的二次函数，求m的值． 18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点（﹣2，5），它的对称轴是直线x＝1，求函数表达式． 19．在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 20．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求二次函数y＝x2﹣4x+3图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象； （3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 21．已知：如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）． （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）已知点C是该抛物线的顶点，若点P是线段BC上的一动点，求OP的最小值． 22．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃AB边为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当AB边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 23．已知抛物线为常数）． （1）若m＝2，，求该抛物线与x轴的交点坐标． （2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（n，p），B（3﹣n，q）是这条抛物线上不同的两点，且，求p+q的取值范围． 24．某超市以30元/千克的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以40元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系． （1）请你直接写出y与x之间的函数关系式为 　 　 ；（不用写出自变量的取值范围） （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为w元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售草莓的利润不低于1500元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价x的范围． 25．点A、B、C的坐标为分别（﹣1，0），（5，0），（4，﹣5），抛物线经过这三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D（t，y1），E（t+4，y2）是抛物线上的两个动点，且点D在直线AC下方． ①如图1，过D点作x轴的垂线DG，垂足为G，交直线AC于点F，连接DE，EF，CG，猜想S△DEF与S△CFG的数量关系，并说明理由； ②如图2，点M在直线DE上，且横坐标为t+1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C D C C B C B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．1． 12．﹣3． 13．y＝2（x+1）2﹣1． 14．1． 15．36． 16．1≤m≤2或． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：∵是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2， 解得m1＝﹣2，m2＝2， 又∵m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝2． 18．解：根据题意得：， 解得：a＝1，b＝﹣2， 则函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 19．解：（1）抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）， 则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a；代入yx+b，解得：b＝2； 将两方程联立得：x2x+2，解方程得：x＝2或， 则B点的坐标为（，）； （2）设直线yx+2与y轴的交点为C，则点C（0，2）， 所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC 2×（2） ． 20．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该二次函数图象顶点坐标为（2，﹣1）； （2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； 当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）， 如图： ； （3）由图象可知，当1＜x＜4时，﹣1≤y＜3． 21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）当OP是BC边上的高时，OP的值最小， ∵点C是的顶点， ∴，即C（1，2）， ∵B（3，0），C（1，2）， ∴，OB＝3，C点到x轴的距离为2， ∴， ∴， ∴OP的最小值是． 22．解：（1）由题意得，BC＝24﹣3AB＝（24﹣3x）米， ∴y＝AB•BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴， ∴x＜8； 故答案为：y＝﹣3x2+24x，x＜8； （2）∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0，x＜8， ∴当x＞4时，y随着x的增大而减小， ∴当x时有最大值，最大值为46， ∴当AB的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是46平方米． 23．解：（1）∵， ∴抛物线， 令y＝0，则， 化简得x2+4x+3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣3，0）； （2）∵抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0， ∴二次函数对称轴为， ∴﹣m＝﹣1， ∴m＝1， ∴， ∵点A（n，p），B（3﹣n，q）是这条抛物线上不同的两点， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，， ∴当时，， ∴． 24．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 将（35，300）、（40，200）代入，得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+1000， 故答案为：y＝﹣20x+1000； （2）w＝（x﹣30）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1600x﹣30000 ＝﹣20（x﹣40）2+2000 ∵﹣20＜0， ∴当x＝40时，w取得最大，w最大＝2000元； （3）由题意得﹣20x2+1600x﹣30000≥1500， 解得：35≤x≤45， 又∵物价局规定商品的利润率不能高于40%， ∴（x﹣30）÷30≤40%， ∴x≤42， 综上可得：35≤x≤42， 答：销售这种草莓的销售单价x的范围为35≤x≤42． 25．解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣5）代入（4，﹣5）得， ﹣5＝﹣5a， 解得：a＝1， ∴y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5， （2）①S△DEF＝4S△CFG，理由如下： 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入A（﹣1，0），C（4，﹣5）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x﹣1， ∴F（t，﹣t﹣1），G（t，0），， ∴DF＝﹣t﹣1﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣t2+3t+4，FG＝t+1， ∵E（t+4，y2）， ∴E点到DF的距离为4， ∵C（4，﹣5），G（t，0）， ∴C到DF的距离为t﹣4， ∴，， ∴S△DEF＝4S△CFG； ②∵将D（t，y1），E（t+4，y2）代入解析式y＝x2﹣4x﹣5可得： ，， 设直线DE为y＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴y＝2tx﹣t2﹣4t﹣5， ∴MN＝﹣[2t（t+1）﹣t2﹣4t﹣5]＝﹣t2+2t+5＝﹣（t﹣1）2+6， ∵﹣1＜0， ∴当t＝1时MN的最大值为6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$