2.2基本不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§2.2 基本不等式 目录 考法1：利用基本不等式求最值 3  配凑法 3  分离常数法 3  分组并项 4  “1”的代换与消元法 4 考法2： 由基本不等式证明不等关系 5 考法3：利用基本不等式解实际应用题 7 考法4：基本不等式的综合应用 8 【强化训练】 9 1. 重要不等式 对于任意实数，有，当且仅当时，等号成立. 因为，有，当且仅当时，等号成立，所以.因此由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式 如果，我们用代替重要不等式中的，可得 当且仅当时，等号成立. 其中，叫做正数的算数平均数，叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. 3. 最值定理 已知都是正数， （1） 若和等于定值，那么当时，积有最大值. （2） 若积等于定值，那么当时，和有最小值. 4. 基本不等式的变式与拓展 (1) 基本不等式链 若，则，当且仅当时，等号成立. 其中，分别叫做的调和平均数和平方平均数。其几何意义如下图： (2) 基本不等式的变式 对于任意实数,有，当且仅当时，等号成立. (3) 基本不等式的拓展 若，则，当且仅当时，等号成立. 考法1：利用基本不等式求最值 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。 · 配凑法 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 如，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 如 【例1.1.】 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【例1.2.】 已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例1.3.】 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【例1.4.】 已知，则的最小值为 ． 【例1.5.】 已知，则的最小值是 ． · 分离常数法 方法提炼 求分式型函数的最值时，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. 【例1.6.】 (1)若，则的最小值是 ; (2)已知，则的最小值是 ． · 分组并项 方法提炼 目的是分组后各组可以单独用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，然后在组与组之间应用基本不等式得出最值.需注意多次使用基本不等式，等号成立的条件一致. 【例1.7.】 （1）已知，则的最小值为 ． （2）已知为正数，则的最小值为 ． 【例1.8.】 设，那么的最小值是 . · “1”的代换与消元法 方法提炼 当已知条件中有等量关系或者有关变量与常数的等量关系，我们可以考虑常数“1”的代换或消元法. 1. “1”的代换 (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 2. 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。 【例1.9.】 已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【例1.10.】 已知，，且，则的最小值为 . 【例1.11.】 已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例1.12.】 已知正实数，满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【例1.13.】 若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【例1.14.】 已知，则的最小值为 ． 【例1.15.】 已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.16.】 已知且，则的最小值为 ． 考法2： 由基本不等式证明不等关系 方法提炼 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的目的;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换。另外,解题中要时刻注意等号能否取到。 【例2.1.】 （多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （多选）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【例2.3.】 （1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【例2.4.】 (1)若，求证：． (2)已知，，，，求证：． 【例2.5.】 （1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 考法3：利用基本不等式解实际应用题 方法提炼 利用基本不等式解决实际问题的思路 (1) 利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解。 (2) 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说,都是从具体的几何图形,通过相关的关系建立关系式。在解题过程中尽量向模型上靠拢。 (3) 在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到，则可利用函数单调性求解(后边会学到)。 【例3.1.】 某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【例3.2.】 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 【例3.3.】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 考法4：基本不等式的综合应用 【例4.1.】 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例4.4.】 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【例4.5.】 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【例4.6.】 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【强化训练】 1. 如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 2. （多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 3. （多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 5. 设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知，则的最小值为 ． 7. 已知，则的最大值为 ． 8. (1)若，， 证明: ; (2)已知，证明：. 9. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 10. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好地服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高万元，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.2 基本不等式 目录 考法1：利用基本不等式求最值 3  配凑法 3  分离常数法 5  分组并项 6  “1”的代换与消元法 7 考法2： 由基本不等式证明不等关系 10 考法3：利用基本不等式解实际应用题 13 考法4：基本不等式的综合应用 16 【强化训练】 18 1. 重要不等式 对于任意实数，有，当且仅当时，等号成立. 因为，有，当且仅当时，等号成立，所以.因此由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式 如果，我们用代替重要不等式中的，可得 当且仅当时，等号成立. 其中，叫做正数的算数平均数，叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. 3. 最值定理 已知都是正数， （1） 若和等于定值，那么当时，积有最大值. （2） 若积等于定值，那么当时，和有最小值. 4. 基本不等式的变式与拓展 (1) 基本不等式链 若，则，当且仅当时，等号成立. 其中，分别叫做的调和平均数和平方平均数。其几何意义如下图： (2) 基本不等式的变式 对于任意实数,有，当且仅当时，等号成立. (3) 基本不等式的拓展 若，则，当且仅当时，等号成立. 考法1：利用基本不等式求最值 利用基本不等式解题时一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。 · 配凑法 方法提炼 (1) 凑系数：和为定值 如，当且仅当时等号成立. (2) 凑项：积为定值 如 【例1.1.】 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 【例1.2.】 已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【例1.3.】 已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. 【例1.4.】 已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则， 当且仅当，且满足， 即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 【例1.5.】 已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 · 分离常数法 方法提炼 求分式型函数的最值时，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. 如，的最值求解，设,转化为的最值模型. 【例1.6.】 (1)若，则的最小值是 ; (2)已知，则的最小值是 ． 【答案】（1）/；（2）7 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. · 分组并项 方法提炼 目的是分组后各组可以单独用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，然后在组与组之间应用基本不等式得出最值.需注意多次使用基本不等式，等号成立的条件一致. 【例1.7.】 （1）已知，则的最小值为 ． （2）已知为正数，则的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】（1）， ， 当且仅当，即，即时等号成立． 故的最小值为． （2）， 当且仅当时等号成立． 故的最小值为4. 故答案为：； 【例1.8.】 设，那么的最小值是 . 【答案】 4 【详解】法一：由，得， 则，当，时取得最小值. 法二：， 则，当，时取得最小值. · “1”的代换与消元法 方法提炼 当已知条件中有等量关系或者有关变量与常数的等量关系，我们可以考虑常数“1”的代换或消元法. 1. “1”的代换 (1) 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. (2) 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 (3) 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 2. 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。 【例1.9.】 已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 【例1.10.】 已知，，且，则的最小值为 . 【答案】； 【详解】由得即， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 【例1.11.】 已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 【例1.12.】 已知正实数，满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当时取等号. 故选：D 【例1.13.】 若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【详解】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 【例1.14.】 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【例1.15.】 已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【例1.16.】 已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小 故答案为：9. 考法2： 由基本不等式证明不等关系 方法提炼 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的目的;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换。另外,解题中要时刻注意等号能否取到。 【例2.1.】 （多选）设，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A，因为，， 所以，当且仅当且， 即时取等号，故A正确， B，因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误， C，因为，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时取等号，所以，即，故C正确， D，因为，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ACD. 【例2.2.】 （多选）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A，若，，， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，取可得，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确； 故选：CD． 【例2.3.】 （1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 【例2.4.】 (1)若，求证：． (2)已知，，，，求证：． 【详解】（1）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 【例2.5.】 （1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 考法3：利用基本不等式解实际应用题 方法提炼 利用基本不等式解决实际问题的思路 (1) 利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解。 (2) 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说,都是从具体的几何图形,通过相关的关系建立关系式。在解题过程中尽量向模型上靠拢。 (3) 在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到，则可利用函数单调性求解(后边会学到)。 【例3.1.】 某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 【例3.2.】 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． 【答案】40 【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则，当且仅当时，等号成立， 即当每批生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元． 故答案为：40 【例3.3.】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 考法4：基本不等式的综合应用 【例4.1.】 已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【例4.2.】 已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【例4.3.】 已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 【例4.4.】 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 【例4.5.】 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【例4.6.】 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 【强化训练】 1. 如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2. （多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 3. （多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 5. 设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 6. 已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 故答案为：. 7. 已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】要求目标式的最大值，则，即同号， 令，得， 所以， 由于的系数与题设比例相同，故，解得，则， 当且仅当，即且同号时等号成立. 故答案为：. 8. (1)若，， 证明: ; (2)已知，证明：. 【详解】(1)，，， 即，当且仅当时等号成立． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 9. （1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 10. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好地服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高万元，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则， 解得． （2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入， 则， 化简得 由于， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以a的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$